第2章剪切与扭转 材料力学
剪切和扭转应力
E G 2(1 )
×
四、等直圆杆扭转横截面上的切应力
o1
o2
a
b
B’
A
D
B
o1
C’
o2
A
D
dB
C B’
b’ d c c’
C
dx ⒈ 变形的几何条件
dx C’
bb' d 横截面上b 点的切应变： dx dx d 其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
O
D
D 4
32
极惯性矩的单位：m4
×
d D
环形截面： I P
32
(D4 d 4 )
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应 力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。
T
max
max
T
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
l
0
T dx GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl GI P
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
×
例6
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，
d=20mm，求最大、最小切应力。 解： max
T T d 4 max Wt 3 D (1 4 ) 16 D 16 1000 43 [1 ( 1 ) 4 ] 2 84 .9 MPa
max 1 40.74 MPa
d
－ ○
×
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 1 2 3 4
材料力学第二章
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式 中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方 法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍 意义。
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用 非常广泛。
一些机器和结构中所用的各 种紧固螺栓，在紧固时，要对螺 栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉 力，将发生伸长变形。
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用 非常广泛。
FN F A A
0 , max p sin cos sin sin 2 45 , max 2
2
A A F F F cos F F F p cos cos A A A p 2 k
一 试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
材料压缩时的力学性能
二 塑 性 材 料 （ 低 碳 钢 ） 的 压 缩
p —
S —
比例极限
e —
弹性极限
屈服极限 E --- 弹性摸量
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
材料压缩时的力学性能
三 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全 相同 压缩时的强度极限远大于拉伸时的 强度极限 bc bt
观察变形：
横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴 线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。
F
a b
a
b
c
d
c d
F
平面假设—变形前原为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
从平面假设可以判断： （1）所有纵向纤维伸长相等
（2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
2014-2015学年第2学期《材料力学》复习要点_参考填空题
2014—2015学年第2学期《材料力学》复习要点_参考填空题——仅供参考，有待修改！适用班级：20130300401/2/3/4、20130300501/2/3、20130500901/2/3/4 班第一章绪论1.强度是指构件抵抗破坏的能力，刚度是指构件抵抗变形的能力。
2材料力学的任务，是在保证构件既安全可靠又经济节省的前提下，为构件选择合适的材料，确定合理的的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础、实用的计算方法和实验技术。
3.研究构件的承载能力时，构件所产生的变形不能忽略，因此把构件抽象为变形固体。
4.变形固体材料的基本假设是（1）连续性假设，（2）均匀性假设，（3）各向同性假设，（4）小变形假设。
5.杆件的基本变形形式是拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
第二章拉伸、压缩与剪切1.轴向拉（压）杆的受力特点是：外力（或合外力）沿杆件的轴向作用，变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短，沿横向扩大或缩小。
2.杆件由于外力作用而引起的附加内力简称为杆的内力，轴向拉（压）时杆件的内力称为轴力，用符号F N表示，并规定背离截面的轴力为正，反之为负。
3.求任一截面上的内力应用截面法法，具体步骤是：在欲求内力的杆件上，假想地用一截面把杆件截分为两部分，取其中一部分为研究对象，列静力学的平衡方程，解出该截面内力的大小和方向。
4.由截面法求轴力可以得出简便方法：两外力作用点之间各截面的轴力相等，任意x截面的轴力F N (x)等于x截面左侧（或右侧）全部轴向外力的代数和。
5.应力是内力在截面的单位面积上的力，其单位用N/m2（p a）表示。
由于一般机械类工程构件尺寸较小，应力数值较大，因此应力还常常采用k pa、M pa、Gpa等单位。
通常把垂直于截面的应力称为正应力，用符号δ表示，相切于截面的应力称为切应力，用符号η表示。
6．杆件轴向拉压可以作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且始终与杆的轴线垂直，由此可知，两个横截面之间所有原长相等的纵向线伸长或缩短量是相等的。
材料力学扭转实验报告
材料力学扭转实验报告材料力学扭转实验报告引言材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的学科，扭转实验是其中的重要实验之一。
本报告旨在介绍材料力学扭转实验的原理、方法、实验装置以及实验结果的分析与讨论。
实验原理扭转实验是通过施加一个力矩来引起材料的扭转变形，从而研究材料的力学性能。
在扭转实验中，材料会发生剪切应变，而剪切应力与剪切应变之间的关系可以通过剪切模量来描述。
剪切模量是材料的一项重要力学参数，它反映了材料抵抗剪切变形的能力。
实验方法本次实验采用了经典的圆柱体扭转实验方法。
首先，选择一根具有一定长度的圆柱体样品，将其固定在扭转实验机上。
然后，通过扭转实验机施加一个力矩，使样品发生扭转变形。
同时，通过测量扭转角度和施加力矩的大小，可以得到材料的剪切模量。
实验装置本次实验所用的扭转实验装置包括扭转实验机、样品夹具、测量仪器等。
扭转实验机是用来施加力矩的设备，样品夹具用于固定样品，并保证其能够自由扭转。
测量仪器包括扭转角度测量仪和力矩测量仪，用于测量样品的扭转角度和施加的力矩。
实验结果分析与讨论通过实验测量得到的扭转角度和施加的力矩数据可以用来计算材料的剪切模量。
根据材料力学的理论知识，剪切模量可以通过以下公式计算：G = (L * T) / (J * θ)其中，G表示剪切模量，L表示样品的长度，T表示施加的力矩，J表示样品的截面转动惯量，θ表示样品的扭转角度。
通过对实验数据的处理和计算，可以得到材料的剪切模量。
进一步地，可以通过对不同材料进行扭转实验，比较其剪切模量的大小，从而分析不同材料的力学性能。
结论通过本次材料力学扭转实验，我们了解了扭转实验的原理和方法，并通过实验装置和测量仪器进行了实验。
通过对实验数据的分析和计算，我们得到了材料的剪切模量，并通过比较不同材料的剪切模量，进一步了解了材料的力学性能。
这对于我们深入了解材料的性质和应用具有重要意义。
总结材料力学扭转实验是研究材料力学性能的重要实验之一。
材料力学笔记
作者简介:郭志明,现在就读天津大学固体力学专业绪论基本概念材料力学得任务:载荷,弹性变形,塑性变形设计构件需要满足以下三个方面得要求:强度,刚度,稳定性强度:构件抵抗破坏得能力刚度:构件抵抗变形得能力稳定性:构件维持其原有平衡形式得能力基本假设:连续均匀性,各项同性,小变形研究对象及变形形式:杆:构件得某一方向得尺寸远大于其她两个方面得尺寸平板,壳,块体变形形式:拉伸(压缩),剪切,扭转,弯曲基本概念内力:构件内部相邻两部分之间由此产生得相互作用截面法:假象切开,建立平衡方程,求截面内力第一章:轴向拉伸,压缩与剪切基本概念轴力:截面内力FN及FN’得作用线与轴线重合,称为内力轴力图:表示轴力随横截面位置得变化应力:轴力FN均匀分布在杆得横截面上(正应力)圣维南原理斜截面上得应力:拉压杆得变形:(弹性范围内)EA 称为杆件得抗拉(压)刚度泊松比:弹性范围内。
横向应变与纵向应变之比得绝对值工程材料得力学性能:材料在外力作用下在强度与变形方面表现出得性能。
Eg:应力极限值,弹性模量,泊松比等。
力学性能决定于材料得成分与结构组织,与应力状态,温度与加载方式相关,力学性能,需要通过实验方法获得。
弹性变形:塑性变形:低碳钢拉伸实验四个阶段:弹性,屈服,强化,颈缩屈服:应力在应力-应变曲线上第一次出现下降,而后几乎不变,此时得应变却显著增加,这种现象叫做屈服冷作硬化:常温下经过塑性变形后材料强度提高,塑性降低得现象真应力应变:,(工程应变)其她材料得拉伸实验温度,时间及加载速率对材料力学性能得影响蠕滑现象:松弛现象:冲击韧性:材料抵抗冲击载荷得能力(可以通过冲击实验测定)许用应力:对于某种材料,应力得增长就是有限得,超过这一限度,材料就要破坏,应力可能达到得这个限度称为材料得极限应力。
通常把材料得极限应力/n作为许用应力[σ] ,强度条件:杆内得最大工作应力节点位移计算集中应力:由于试件截面尺寸急剧改变而引起得应力局部增大得现象应力集中系数:,σn就是指同一截面上认为应力均匀分布时得应力值超静定问题:未知力得数目超过独立得平衡方程得数目,因此只由平衡方程不能求出全部未知力,这类问题成为超静定问题。
材料力学 2
判断题1． 杆件的基本变形是拉压、剪切、扭转、弯曲，如果还有另外的变形，必定是这四种变形的某种组合。
（√ ） 2． 材料力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向异性假设。
（ ） 3． 主应力作用面上的剪应力必然为零，剪应力取极值面上的正应力也必然为零。
（× ） 4． 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。
（×） 5．如下图所示，AB 从左至右将分别产生弯曲变形，轴向压缩变形和扭转变形。
（√）5． 常用的四种强度理论，只适用于复杂的应力状态，不适用于单向应力状态。
（×）6． 铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰却不会破坏，这是因为冰的强度比铸铁的强度高。
（×）7． 一点沿某一方向上的正应力为零，则沿该方向的线应变也为零。
（ ） 8． 梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
（√ ） 9． 微体上的最大切应力与材料无关。
（√ ） 10． 连接件的主要变形形式是剪切、挤压与扭转。
（×） 11． 塑性材料无论处于什麽应力状态，都应采用第三或第四强度理论，而不能采用第一或第二强度理论。
（×） 12． 纯剪状态是二向应力状态。
（√ ）. 13． 在单元体的某个方向上有应变就一定有应力，没有应变就一定没有应力。
（×） 14． 由不同材料制成的两圆轴，若长L 、轴径D 及作用的扭转力偶均相同，则其最大剪应力就必相同。
（√ ） 15． 分散载荷或尽可能使载荷作用点靠近支座可减小弯曲变形。
（√ ） 16． 连接件的主要变形形式是剪切、挤压与弯曲。
（ ） 17． 材料力学只限于研究等截面直杆。
（×）18． 相对扭转角的计算公式φ= 适用于任何受扭构件。
（ ）19． 平面弯曲时，梁横截面与中性层的交线即为中性轴。
（√） 20．图所示受拉直杆，其中AB 段与BC 段内的轴力及应力关系为BCAB N N =，BC AB σσ<。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)
C
②
30° No.10
A F
天津大学材料力学
型钢－型钢表
天津大学材料力学
解： （1）列平衡方程，计算轴力。
F FN 1 2F sin 30 FN 2 FN 1 cos 30 3F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。 FN2
FN1
30° C
F
A1 2 10.8cm 2 2.16 103 m 2 A2 2 12.748cm 2 2.55 103 m 2
① A 2m F
天津大学材料力学
② B 1m
解：
（1）取AB为研究对象，画 出受力图。 A （2）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN2 B 2m F 1m
M M
A
0, 3FN 2 2 F 0 0, 3FN 1 F 0
B
FN 1
F 2F , FN 2 3 3
1 2
5kN
4
10kN A
1
5kN B
2 10 kN 5 kN
C
3
D
4
E
FN图：
10 kN
天津大学材料力学
§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
FN lim A 0 A
应力符号： σ 应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
直径改变量：
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素 与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。
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2. 剪切胡克定律
A
B
剪切面上有剪应力
B
在比例极限内，剪应
力与剪应变成正比
D
C
C
比例常数G称为剪切弹性
G 模量，或切变模量
具有应力的量纲，常
材料常数之间的关系
以GPa为单位
G E
三个弹性常数
2(1 ) 中仅两个独立
2020/3/8
9
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.1 剪切与扭转的概念
一、剪切变形
❖受力
• 外力垂直于杆轴，相距很近 • 剪切面上的内力为剪力
❖变形
• 相对错动（相邻截面） • 角度变化
2020/3/8
F
F 剪切面
V F
F
F
4
《 材 料 力 学 》—— 李章政
❖产生剪切变形的构件
• 连接件：螺栓、销钉、铆钉、键 • 木材的齿连接
❖剪切面个数nv
三、剪应变和剪应力 A 1. 剪应变
相邻截面发生相对错动
D
剪切位移（相对错动位移）
BB或CC
相对剪切位移
绝对剪切位移 截面间距
B
B
C
C
BB
tan
小变形假设
AB
直角的改变量（弧度）称为剪应变（shear strain），或角应变、切应变。
2020/3/8
8
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2. 剪切破坏条件
剪切面上的计算剪应力不低 于材料的抗剪强度极限
2020/3/8
V A
b
t
t
22
❖例题2.5
《 材 料 力 学 》—— 李章政
已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限
b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直
径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？
❖解：
在冲孔中，剪切面是一个圆柱面
max
c T / IP
所以
c
T
IP
max
TR IP
T Wt
其中
IP
2dA ——截面的极惯性矩
A
2020/3/8
Wt
IP
/
R
——截面的抗扭系数（模量） 33
《 材 料 力 学 》—— 李章政 极惯性矩按定义计算
dA (d )d
IP
2. 剪应力分布规律
• 实心圆截面：三角形分布 • 空心圆截面：梯形分布 • 最大剪应力：圆轴外边缘
c
2020/3/8
32
《 材 料 力 学 》—— 李章政
3. 剪应力计算公式
dF dA dT dF dA
T
A
dA
c
A 2dA cIP
2dA
2
(
D/ 2 3d )d
A
0 d/2
(D4 d4)
32
D4 (1 4 )
32 此处
d/D
2020/3/8
y
dA
d
x
D 34
《 材 料 力 学 》—— 李章政
截面抗扭系数
Wt
IP R
2IP D
D3 (1 4 )
16
y
实心圆截面（ = 0）
F
80kN
1.25 MPa
承压应力
2020/3/8
bs
Fbs Abs
F Abs
80 103 60 160
8.33 MPa
14
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.2
铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：
A. bs=F/(td)
B. bs=2F/(td)
t/2
F
C. bs=2F/(td) F
d
t/2
D. bs=4F/(td)
解
承压高度 t/2
Abs dt / 2
2020/3/8
bs
Fbs Abs
F dt / 2
2F dt
答案：B
15
❖例题2.3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接， 承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm。计算连 接的剪应力和承压应力。
• 单面剪切 • 双面剪切 • 三面剪切
• ……
F
2020/3/8
FF
F/2 F/2 F/2 F/2
F/3 F/3
5 F/3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、扭转变形
❖外力特点
• 外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行 于杆件轴线
• 外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）
❖变形特点
• 外力偶作用面之间任意 两横截面发生相对转动 （绕轴线）
材料力学
《 材 料 力 学 》—— 李章政
材料力学
费
秦
长
始
房
皇
有
有
缩
鞭
地
石
之
之
方
山东蓬莱阁
法
2020/3/8
2
登高
杜甫
风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。 万里悲秋常作客，百年多病独登台！ 艰难苦恨繁霜鬓，潦倒新停浊酒杯。
3
《 材 料 力 学 》—— 李章政
第2章 剪切与扭转
已知轴之转速1000 r/min，B处输入功率20 kW，A、C 轮输出分别为12 kW和8 kW。
解：
（1）外转矩
M eA
9549 PkA n
9549 12 1000
A
B
C
114.59 N.m
M eC
9549 PkC n
9549 8 1000
76.39 N.m
T (N.m)
F
F
F
F
2020/3/8
20
《 材 料 力 学 》—— 李章政
解答：
f
b v
140
N/mm2
f
b c
305
N/mm2
一个螺栓承载力（双面剪切）
Fvb
nv
d
4
2
f
b v
2 20 2 140
4
87965
N
Fcb d t fcb 208305 48800 N
当Ph (horsepower马力), n (r/min)
2020/3/8
Me
735.5Ph
2n / 60
7024
Ph n
N.m
25
《 材 料 力 学 》—— 李章政
二、任意截面的扭矩
1. 扭矩的正负符号规定
• 右手法则，大拇指所指为T的指向
• T与截面的外法线一致者为正，反之为负
2. 任意截面的扭矩
A dt
t
冲孔条件
V
A
F
dt
b
t
所以
F dtb 3010400 N
377 kN
2020/3/8
23
《 材 料 力 学 》—— 李章政
2.3 扭矩与扭矩图
一、外力偶矩
1. 已知力偶矩Me
Me
2. 已知力 F，力臂a
Me = Fa
x
Me
3. 已知功率和转速
二、剪切强度条件及其应用
1. 剪切强度条件
• 极限状态设计法
• 容许应力法
V A
fv
材料的抗剪 强度设计值
bs
Fbs Abs
fce
材料的承 压强度设
计值
V [ ]
A
材料的容许（许用）剪应力
2020/3/8
bs
Fbs Abs
[ bs ]
材料的许用（容许）承 压（挤压）应力
设功率为 P（power），转速为 n ，则有
2020/3/8
24
《 材 料 力 学 》—— 李章政
做功
dW M ed
功率
dW
d
dt M e dt
d
Me
所以
P M e
Me P/
当Pk (kW), n (r/min)
Me
1000Pk
2n / 60
9549 Pk n
N.m
12
《 材 料 力 学 》—— 李章政
平面承压面
平面承压面
2020/3/8
B A
C D
半圆柱面承压面
13
t
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.1
图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压 面上的承压应力。
解
80kN
80kN
60
剪切应力
400 400
V F 80 103
承压面
A A 400 160 剪切面
既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承 担的轴力
Fmbin min Fvb , Fcb
已知总的轴向拉力（或压力）设计值F，连接
所需螺栓数为
n
F Fmbin
收尾法取整
2020/3/8
19
《 材 料 力 学 》—— 李章政
例题2.4
两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽 360mm，厚8mm；盖板厚6mm。已知轴心拉 力设计值F=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓 （4.8级）M20。试求连接一侧所需螺栓个数。 已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强 度设计值305MPa.