A星算法求解八数码问题

A*算法求解八数码问题1、八数码问题描述所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8，其中一个单元格是空的。

将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定的数码盘的排列（目标状态），如图1所示图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。

如图1的初始排列，数码7右移等于空格左移。

那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。

最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。

所以，问题就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。

2、八数码问题的求解算法2.1 盲目搜索宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法2.2 启发式搜索启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。

先定义下面几个函数的含义：f*(n)=g*(n)+h*(n) (1)式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g 的最短路径的耗散值。

评价函数的形式可定义如(2)式所示：f(n)=g(n)+h(n) (2)其中n是被评价的当前节点。

f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。

利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。

在A算法中，如果对所有的x，h(x)<=h*(x) (3)成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。

采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法，称为A*算法。

针对八数码问题启发函数设计如下：f(n)=d(n)+p(n) (4)其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为图2 A*算法流程图p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。

由于实际情况中，一个将牌的移动都是单步进行的，没有交换拍等这样的操作。

所以要把所有的不在位的将牌，移动到各自的目标位置上，至少要移动从他们各自的位置到目标位置的距离和这么多次，所以最有路径的耗散值不会比该值小，因此该启发函数h(n)满足A*算法的条件。

3、A*算法流程图,如图24、A*算法总结4.1，把起始状态添加到开启列表。

4.2，重复如下工作：a) 寻找开启列表中f值最低的节点，我们称它为BESTNOEb) 把它切换到关闭列表中。

c) 对相邻的4个节点中的每一个*如果它不在开启列表，也不在关闭列表，把它添加到开启列表中。

把BESTNODE 作为这一节点的父节点。

记录这一节点的f和g值*如果它已在开启或关闭列表中，用g值为参考检查新的路径是否更好。

更低的g值意味着更好的路径。

如果这样，就把这一节点的父节点改为BESTNODE，并且重新计算这一节点的f和g值，如果保持开启列表的f值排序，改变之后需要重新对开启列表排序。

d) 停止把目标节点添加到关闭列表，这时候路径被找到，或者没有找到路径，开启列表已经空了，这时候路径不存在。

4.3，保存路径。

从目标节点开始，沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。

这就是求得的路径。

5、数据结构采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点；struct Node{int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格int f,g;//启发函数中的f和g值struct Node * next;struct Node *previous;//保存其父节点};6、实验结果，如图3所示图3 A*算法求解八数码问题实验结果7、源代码//-----------------------------------------------------------------------------//代码：利用A*算法求解八数码问题。

//八数码问题的启发函数设计为：f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。

//后继结点的获取：数码的移动等效为空格的移动。

首先判断空格上下左右的可移动性，其次移动空格获取后继结点。

//-----------------------------------------------------------------------------#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>//八数码状态对应的节点结构体struct Node{int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格int f,g;//启发函数中的f和g值struct Node * next;struct Node *previous;//保存其父节点};int open_N=0; //记录Open列表中节点数目//八数码初始状态int inital_s[3][3]={2,8,3,1,6,4,7,0,5};//八数码目标状态int final_s[3][3]={1,2,3,8,0,4,7,6,5};//------------------------------------------------------------------------//添加节点函数入口，方法：通过插入排序向指定表添加//------------------------------------------------------------------------void Add_Node( struct Node *head, struct Node *p){struct Node *q;if(head->next)//考虑链表为空{ q = head->next;if(p->f < head->next->f){//考虑插入的节点值比链表的第一个节点值小p->next = head->next;head->next = p;}else {while(q->next)//考虑插入节点x，形如a<= x <=b{if((q->f < p->f ||q->f == p->f) && (q->next->f > p->f || q->next->f == p->f)){p->next = q->next;q->next = p;break;}q = q->next;}if(q->next == NULL) //考虑插入的节点值比链表最后一个元素的值更大q->next = p;}}else head->next = p;}//------------------------------------------------------------------------//删除节点函数入口//------------------------------------------------------------------------void del_Node(struct Node * head, struct Node *p ){struct Node *q;q = head;while(q->next){if(q->next == p){q->next = p->next;p->next = NULL;if(q->next == NULL) return;// free(p);}q = q->next;}}//------------------------------------------------------------------------//判断两个数组是否相等函数入口//------------------------------------------------------------------------int equal(int s1[3][3], int s2[3][3]){int i,j,flag=0;for(i=0; i< 3 ; i++)for(j=0; j< 3 ;j++)if(s1[i][j] != s2[i][j]){flag = 1; break;}if(!flag)return 1;else return 0;}//------------------------------------------------------------------------//判断后继节点是否存在于Open或Closed表中函数入口//------------------------------------------------------------------------int exit_Node(struct Node * head,int s[3][3], struct Node *Old_Node) {struct Node *q=head->next;int flag = 0;while(q)if(equal(q->s,s)) {flag=1;Old_Node->next = q;return 1;}else q = q->next;if(!flag) return 0;}//------------------------------------------------------------------------//计算p(n)的函数入口//其中p(n)为放错位的数码与其正确的位置之间距离之和//具体方法：放错位的数码与其正确的位置对应下标差的绝对值之和//------------------------------------------------------------------------int wrong_sum(int s[3][3]){int i,j,fi,fj,sum=0;for(i=0 ; i<3; i++)for(j=0; j<3; j++){for(fi=0; fi<3; fi++)for(fj=0; fj<3; fj++)if((final_s[fi][fj] == s[i][j])){sum += fabs(i - fi) + fabs(j - fj);break;}}return sum;}//------------------------------------------------------------------------//获取后继结点函数入口//检查空格每种移动的合法性，如果合法则移动空格得到后继结点//------------------------------------------------------------------------int get_successor(struct Node * BESTNODE, int direction, struct Node *Successor)//扩展BESTNODE，产生其后继结点SUCCESSOR{int i,j,i_0,j_0,temp;for(i=0; i<3; i++)for(j=0; j<3; j++)Successor->s[i][j] = BESTNODE->s[i][j];//获取空格所在位置for(i=0; i<3; i++)for(j=0; j<3; j++)if(BESTNODE->s[i][j] == 0){i_0 = i; j_0 = j;break;} switch(direction){case 0: if((i_0-1)>-1 ){temp = Successor->s[i_0][j_0];Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0-1][j_0];Successor->s[i_0-1][j_0] = temp;return 1;}else return 0;case 1: if((j_0-1)>-1){temp = Successor->s[i_0][j_0];Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0-1];Successor->s[i_0][j_0-1] = temp;return 1;}else return 0;case 2: if( (j_0+1)<3){temp = Successor->s[i_0][j_0];Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0+1];Successor->s[i_0][j_0+1] = temp;return 1;}else return 0;case 3: if((i_0+1)<3 ){temp = Successor->s[i_0][j_0];Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0+1][j_0];Successor->s[i_0+1][j_0] = temp;return 1;}else return 0;}}//------------------------------------------------------------------------//从OPen表获取最佳节点函数入口//------------------------------------------------------------------------struct Node * get_BESTNODE(struct Node *Open){return Open->next;}//------------------------------------------------------------------------//输出最佳路径函数入口//------------------------------------------------------------------------void print_Path(struct Node * head){struct Node *q, *q1,*p;int i,j,count=1;p = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));//通过头插法变更节点输出次序p->previous = NULL;q = head;while(q){q1 = q->previous;q->previous = p->previous;p->previous = q;q = q1;}q = p->previous;while(q){if(q == p->previous)printf("八数码的初始状态：\n");else if(q->previous == NULL)printf("八数码的目标状态：\n");else printf("八数码的中间态%d\n",count++);for(i=0; i<3; i++)for(j=0; j<3; j++){printf("%4d",q->s[i][j]);if(j == 2)printf("\n");}printf("f=%d, g=%d\n\n",q->f,q->g);q = q->previous;}}//------------------------------------------------------------------------//A*子算法入口:处理后继结点//------------------------------------------------------------------------void sub_A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * BESTNODE, struct Node * Closed,struct Node *Successor){struct Node * Old_Node = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node)); Successor->previous = BESTNODE;//建立从successor返回BESTNODE的指针Successor->g = BESTNODE->g + 1;//计算后继结点的g值//检查后继结点是否已存在于Open和Closed表中，如果存在：该节点记为old_Node，比较后继结点的g值和表中old_Node节点//g值，前者小代表新的路径比老路径更好，将Old_Node的父节点改为BESTNODE，并修改其f，g值，后者小则什么也不做。