基本数学思想(1)(1)
基本数学思想：教材架构与教学思考一、基本数学思想的教材架构数学思想是数学的灵魂，是数学科学发生和发展的根本。
有了数学思想，数学知识便不再是孤立的。
史宁中教授认为，“数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
基本数学思想主要有三种：抽象、推理和模型。
整个数学学科就是建立在基本数学思想的基础上，并按照基本数学思想发展起来的。
”苏教版义务教育小学数学教材坚持用基本数学思想统整全部内容，规划合理的内容结构，侧重引导学生经历简单的数学抽象过程、推理过程、建立模型过程。
（一）以数学抽象为主线引入数学研究的对象数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学研究的对象是一种抽象的存在。
教材在编写时，注重精心选择素材，创设情境，把客观世界中与数量和图形有关的事物或现象抽象成数学研究的对象。
1.数量与数量关系的抽象。
把数量抽象成数。
数概念的形成与发展是“数与代数”学习的起点，整数、小数、分数的学习，是一个从具体事物和数量抽象为数的过程，是抽象水平不断提高的过程，学生认识数的过程也是逐步感悟抽象思想的过程。
比如教学正整数的认识，教材按照“现实情境中的数量—实物（小棒、小方块等）表示数—计数器（或算盘）表示数—写数”的线索，引导学生经历数的抽象过程。
再比如教学负整数的认识，教材选择温度计、海拔高度、收支盈亏、向不同方向走路等现实素材，从大量存在的具有相反意义的量中抽象出负数的意义。
把数量抽象成数，并用符号表达，数学就有了研究的对象。
把数量多少关系抽象成数大小关系。
抽象出研究对象不是根本，数学的本质是研究关系。
数中最重要的关系是大小关系，大小关系是从数量里的多少关系抽象出来的。
教材结合认识10以内的数，通过创设童话情境，先引导学生比较同类事物数量的多少，再抽象出数的大小，进而演变为一般的序关系（一个自然数加1就可以得到下一个比它大1的数）。
有了数的大小关系，就能派生出自然数的加法，进而建构四则运算；有了数概念“序”的特性，就为后面建构大数概念的更高程度的抽象提供经验支撑。
把数抽象成字母。
从算术的学习走向代数的学习，是学生学习数学的重要转折点。
如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，那么字母则是对各种数字符号的抽象概括。
教学用字母表示数，教材以“用式子表示摆三角形用小棒的根数”为载体，引导学生经历“具体事物--个性化地表示--学会数学地表示”的抽象过程，体验字母表示数的概括性和抽象性。
2.图形与图形关系的抽象。
几何学主要是研究几何体和几何图形的空间形式、位置关系和量的关系。
把现实生活中与图形有关的事物抽象成平面图形，为几何学打开研究的大门。
教材从学生熟悉的现实空间中的物体出发,引导学生在观察、操作、比较等活动中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小、位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何图形概念。
比如教学认识长方体，教材引领学生经历了两个层次的抽象过程：观察并交流生活中常见的长方体实物的过程，是学生舍弃它们的材质、颜色、用途等属性，对长方体的形状特征进行抽象的过程；从不同角度观察长方体模型的活动，是促进学生积极调度头脑中已形成的长方体表象，并试图以可视化的方式表示出来，实现用二维的几何图形表示三维的几何体，完成把物体抽象成几何图形的过程。
“方向与位置”为研究图形关系打开大门。
教学“认识方向”，教材通过创设现实情境，让学生在熟悉的环境中体验东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，进而抽象成平面图，为进一步研究图形位置关系提供方法基础；教学“确定位置”，教材提供教室座位图，先让学生利用已有的经验描述小军的位置，再把日常生活中用行和列描述物体位置的经验抽象成有序的数对，过度到用数对表示平面上点的位置，为研究平面直角坐标系做好准备。
分类思想是由抽象思想派生出来的。
分类为数学抽象活动提供必要的基础，教材对分类思想作了精心架构。
在“数的运算”中，通过练习引导学生对式题进行分类，整体把握笔算方法；在“解决问题策略”中，引导学生经历分类列举的过程，感悟策略的价值；在“图形的认识”中，引导学生通过对图形进行分类，引入图形概念；在“数据的收集和整理”中，引导学生按不同的标准对数据进行分类，体会分类标准与分类结果之间的联系。
等等。
（二）以数学推理为主线建构数学内容体系推理是从一个或几个已知判断得出新判断。
人们通过推理得到数学命题和算法，建构数学理论体系大厦。
推理有两种形式，通过特例的分析引出普遍的结论叫归纳推理（包括类比推理），从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论叫演绎推理。
在解决问题的过程中，归纳推理用于推断结论，演绎推理用于证明结论。
数学的发展，既需要演绎推理，也需要归纳推理。
教材在编写时，注重处理好归纳推理与演绎推理的关系，坚持以推理思想为统领，形成数学概念，建立数学知识体系。
1.从特殊到一般。
内容结构的建立。
教材编写注重整体性，突出数学思想在内容结构中的作用，促使学生由此及彼、举一反三地进行探索性学习。
如“图形面积计算”的教学内容，教材以化归思想统领整个内容领域，通过类似的编排线索，促进学生迁移感悟。
数学知识的形成。
受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学中大部分知识的形成和建立，教材都采用归纳（主要是不完全归纳）方式展开。
有的是建立在类比例举之上的归纳，有的是建立在抽象分析之上的归纳。
数学规律的探索。
教材除了注重让学生在知识的形成、发展中经历由具体到一般的抽象、概括过程外，还通过选择一些探索性的问题，让学生在解决问题过程中拓展学习内容，体会归纳思想。
一是通过习题引导学生体会不同领域数学内容之间的联系与综合，积累对基本数学思想的认识。
例如，六年级(下册)“总复习”单元第11题，学生在解决问题的过程中不难归纳出“在正方形里画1×1个、2×2个、3×3个……相同的尽量大的圆，圆面积的和都是正方形面积的78.5%。
”尽管这一结论还需要进一步的证明，但这种由特殊现象归纳一般规律的过程却在学生头脑中留下了深刻的印记。
二是安排“探索规律”专题活动，引导学生经历探索和发现规律的过程，体会由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想。
2.从一般到特殊。
数学结论的推导。
在小学阶段，尽管很少涉及数学证明这样严格规范的演绎推理，但一些数学结论的推导过程同样蕴含了演绎思想。
教材依据儿童的认知水平，从高年级开始安排借助演绎推理建构数学的活动。
比如在“多边形的面积”单元中，教材先安排学生动手操作，建立图形之间的联系，然后组织学生讨论和分析，展开公式的推导过程。
推导的过程，就是演绎方法的应用过程和演绎思想的感受过程。
这种感受有助于建立对数学结论确定性的信念，有利于培养学生合乎逻辑的表达能力。
数学知识的应用。
数学教材编排整体上是遵循“归纳—演绎”线索的，即先按照由具体到抽象、由特殊到一般学习新知识；再由一般到特殊，要求学生根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题。
例如，探索出“三角形的内角和是180°”后，让学生据此计算三角形未知角的度数，求出等腰直角三角形一个锐角的度数，推出顶角是60°的等腰三角形是正三角形。
再如，通过归纳得到乘法分配律后，要求学生根据乘法分配律进行简便计算等。
通过这样一些由一般向特殊的演绎，使抽象的数学概念、规律和原理具体化，有利于促进数学知识的理解和掌握，发展推理能力。
（三）以数学建模为主线搭起数学与外部世界的桥梁数学得到的一些结论要应用于现实世界，主要是通过数学模型。
数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。
从广义上讲，一切数学概念、公式、数量关系、图形、表格，以及由它们所构成的算法系统，都可以称为数学模型。
狭义上，数学模型专指针对一个个比较复杂的具体情境所建立的，旨在解决具体问题的、特定的模型。
在小学数学教材中，数学模型思想主要体现在：实际问题中数量关系的抽象表达。
教材分三个阶段编排数量关系的学习：一年级结合四则运算意义感知实际问题里各个数量之间的关系，体会加减乘除都是解决一类实际问题的数学模型；二年级结合教学内容在练习中有针对性地编排一些表格式练习，引导学生提炼实际问题的具体数量关系式，为今后形成概括的数量关系式积累丰富的素材；四年级编排“常见的数量关系”单元，从大量的同类实际问题中概括出基本数学模型。
学生获得这种概括程度较高的数量关系后，就能推广、识别任何同类数量关系。
列方程（或比例式）解决实际问题。
方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。
教学列方程解决简单的实际问题，教材重在引导学生把实际问题抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式），领会数学模型思想和基本过程。
函数思想是由模型思想派生出来。
函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型，小学数学教学内容中蕴含丰富的函数思想，教材作了整体规划和孕伏。
例如，结合“数的运算”教学，教材通过题组练习或试商、调商活动，引导学生感受变量思想；结合“解决问题的策略”教学，教材引导学生在尝试、假设、验证、调整过程中体会函数关系；结合“正比例和反比例”教学，教材引导学生从变化的数量中研究不变的关系。
等等。
二、基本数学思想的教学思考以基本数学思想统率知识的发生、发展过程，努力使学生在获得具体数学知识的同时受到相应数学思想的熏陶，是教材编写的致力追求。
但教材本身毕竟是一个静态的结构系统，况且数学思想又内隐在该系统的表层之下。
教学中，教师除了应挖掘教学内容的教育价值、把握基本思想的内涵实质外，还应注意以下几方面：（一）数学思想教学的基本方式和目标要求是“感悟”数学本身具有高度的抽象性，数学思想又是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
因此，就教学方式和目标要求而言，隐性的数学思想自然也区别于显性的数学知识，主要表现为“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。
” 这就是说，学生获得数学思想的基本方式与目标要求是“感悟”。
当然，数学课堂深入挖掘教学内容所蕴含的数学思想并融入数学知识的学习过程予以渗透是课程实施的要求，但如果试图将教师所获得的深刻理解也要求学生达到同样认识水平，就不切实际了。
因此，数学思想教学还应根据学生年龄的特点把握教学的度。
（二）数学思想教学“显化”在数学思考的过程之中数学思想教学应通过数学概念的形成和建立过程、数学规律的归纳和总结过程、数学问题的分析和解决过程来体现。
比如，“问题情境—建立模型—求解验证”的过程是感悟模型思想的关键，“猜想—验证”的探索过程对感悟推理思想尤为重要。
学生只有亲身经历运用数学思维方法的思考过程，才能获得对相应数学思想的深刻体验。
例如，“间隔排列”的数学本质是一一对应。
很多教师在教学中根据问题所包含的各种情况采用分类教学，总结出不同的结论，学生常常在“加1”“减1”“不变”之间不知所措。
数学七个主干知识和七个数学思想
七个高中数学主干知识（1）函数和导数（2）数列（3）不等式（4）三角函数（5）立体几何（6）解析几何（7）概率与统计（1）函数和导数函数是高中数学内容的知识主干，是高考考查的重点。
在高中阶段对函数教学内容的学习划分为三个阶段，并不断深化。
第一阶段，主要学习函数的概念，函数的图象与性质，以指数函数和对数函数为例，重点学习反函数和函数的关系、函数的单调性；第二阶段，是以三类三角函数为例，学习函数的奇偶性和周期性；第三阶段，则是在学习函数极限、函数连续性的基础上，重点学习函数的导数，最终落实在导数的应用，由此给出了研究函数性质的一种新方法，即用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值和最大（小）值。
高考对函数内容的考查是考查能力的重要素材，一般考查能力的试题都是以函数为基础编制的，在旧课程卷中多与不等式、数列等内容相综合，在新课程卷中函数问题更多是与导数相结合，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，体现出新的综合热点。
随着函数与导数内容的结合，一般的问题都是先从求导开始，而求导又有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的尺度，具有较强的可操作性，难易适中。
函数和导数的内容在高考试卷中所占的比例较大，每年都有题目考查。
考查时有一定的综合性，并与思想方法紧密结合，对函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想等都进行了深入的考查。
这种综合性的统揽各种知识、综合地应用各种方法和能力，在函数的考查中得到了充分的体现。
函数与导数的解答题在文、理两卷中往往分别命制，这不仅是由教学内容要求的差异所决定的，也与文、理科考生的思维水平差异有关。
文科卷中函数与导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。
在选择题和填空题中更多地涉及函数图象、反函数、函数的奇偶性、函数的极限、函数的连续性和导数的几何意义等重点内容。
基本数学思想的应用
基本数学思想的应用数学思想是数学基础知识，基本技能的本质体现，是形成数学能力，数学意思的桥梁，是灵活应用数学知识，技能的灵魂。
因此，在中考数学中能取得好成绩的关机是正确的运用数学思想方法。
1、整体的思想整体思想是将问题堪称一个完整的整体，吧注意力和着眼点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。
例：已知代数式6y 2y 32++的值为8，那么代数式1y y 232++的值为2、分类的思想分类思想是按周一定的标准，把研究对象分成为数不多的举个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整体为零，各个击破的转化策略。
例：某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K 大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。
印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印刷费无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系如下表： 印数a （千册） 2≤a<5 5≤a<10 彩色 （元/张） 2.2 2 黑白 （元/张） 0.70.6（1）印制这批纪念册的制版费为：（2）若印制2千册，则共需多少费用？（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围。
（精确到0.01千册）例：如图所示，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4,0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D。
（1）求直线l的解析式。
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，⊙O2第一次与⊙O1相切时，直线l恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度。
（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2,FG，那么FG﹒A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果不变化，求其变化范围。
常见的数学思想方法
常见的数学思想方法在数学的学习过程中，有哪些常见的思想方法呢?下面是店铺网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。
常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。
此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。
随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。
常见的数学思想方法：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。
一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
对基本的数学思想方法的认识与理解
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 对基本的数学思想方法的认识与理解对基本的数学思想方法的认识与理解 1、观察法观察是指人对周围的事物或现象进行全面、深入地察看，按事物或现象的本来面目，研究和确定它们的性质和关系的一种心理现象。
在数学教学中，恰当地运用观察来收集材料，发现新事物，探求解题方法与途径，这对于培养学生的观察能力，提高教学效果有很大作用。
数学教学活动中的观察，就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动，也就是说，是指对用符号、字母、数字所表示的数学关系式、命题、问题及对图表、图像、几何图形的结构特点的观察。
2、比较法：比较是在思维中确定对象间的相同点和不同点的思维操作，是以对象间存在相同点和不同点为前提的。
比较的规则：只有对具有确定联系的对象或比较有意义的对象才能进行比较；比较应在同一标准下进行；比较应能按照一定的操作程序进行并在有限步内得出结果；对同一性质做得比较印在所研究的所有对象间进行，也可以说要进行完全比较。
3、分类方法：是根据对象的相同点和差一点将对象区分为不同种类的基本的1/ 9逻辑方法，分类也叫划分。
数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。
分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点把数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。
分类具有三个要素：母项，即被划分的对象；子项，即划分后所得的类概念；根据，即划分的标准。
分类的原则是不重复、不遗漏、标准同一。
4、数形结合方法：数学的研究对象大致分为两类：一类是研究数量关系的，一类是研究空间形式的。
小学数学基本思想
《课标》把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
“基本思想”主要是指演绎和归纳，这理应是整个数学教学的主线，是最上位的思想。
演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。
在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。
之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。
每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。
作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。
这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。
史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。
我们缺少的是根据情况“预测结果”的水平；根据结果“探究成因”的水平。
而这正是归纳推理的水平。
就方法来说，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。
与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。
借助归纳推理能够培养学生“预测结果”和“探究成因”的水平，是演绎推理不可比拟的。
从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳水平的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质理解，是从某些具体数学理解过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性理解。
所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也能够说是解决数学问题的策略。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。
而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。
一般来说，前者给出理解决问题的方向，后者给出理解决问题的策略。
但因为小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。
初中数学最基本的数学思想方法
初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
小学数学基本思想 第一部分 数学抽象思想
3.数学思想和方法有助于培养学生的能力 完善认知结构 指导学习迁移 促进思维发展
培养数学思想和 方法的三个阶段
多次Hale Waihona Puke 育初步形成应用发展
大量渗透，使学 生积累起足够的 感性体验
“正面突破”，使 学生明白其含义， 掌握程序
创造应用 的机会
近些年，在小学数学教学中，采用这样的教学形式，让学 生合作交流、实验探索的过程感悟数学思想方法的教学活 动越来越多。 教育部1992年颁布的《九年义务教育全日 制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》首次明确提出 数学思想和方法是数学知识的组成部分。《义务教育数学 课程标准（2011年版）》关于课程的总目标指出，通过义 务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会和进一步发 展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经 验。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
2020/6/2
11
那么什么是数学的基本思想？小学数学课程中如何体现数学的 基本思想？
二、基本数学思想概述 思考：数学的发展包含哪些过程？ 事实上，数学的发展并不是数学概念、定理、公式、法则在 数量上的简单积累，而是一个复杂的过程。如下图：
图1 数学发展的过程
数学基本思想是指这一过程中，起着核心作用的思想方法。 数学基本思想和方法经常出现三个相关的概念：“数学方法” 、“数学思想”和“数学思想方法”，三者之间存在密切的联系 ，但又有所区别。 1.数学方法 通常是指解决数学问题是所采用的方法途径手段和策略，一般 是从解决具体数学问题角度来认识。从不同的视角来看，存在着 一些差异。如教师所指的数学方法一般是解题方法，这些解题的 具体方法或技巧大多属于数学技能层面，数学家所指的数学思想 方法数学方法则更侧重于数学研究的方法。。
“小学数学基本思想”解读
“小学数学基本思想”解读刘玉和《数学课程标准》（2011版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。
那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想”蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？一、什么是数学基本思想？数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。
通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。
掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。
这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。
二是学习过数学的人所具有的思维特征。
这些特征表现在日常的生活之中。
这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。
通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。
1、什么是抽象抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。
数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想方法(一) (整体思想、转化思想、分类讨论思想)(无答案)
数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。