高中数学竞赛讲义-涂色问题 新人教A 版
高中数学竞赛中的染色、覆盖问题
染色问题和覆盖问题第一部分。
染色问题例1.已知(2)n n >条直线把平面划分成为若干块，其中的一些区域被染上颜色，使得任何两个染色的区域都没有公共边界，求证：染色区域的数目不超过2.3n n + 解答：不妨假定这些直线有相交直线。
设有k 条边的染色区域的数目为(1,2,...,)k m k n =。
注意到2m 就是有两条边的区域，两个射线形成的角域。
至多有2n 个线段。
因为每一段（线段或射线）至多是一个染色区域的边界，所以 22323...n m m nm n +++≤。
因为一条直线上只有两段的射线部分才可能是有两条边的染色区域，所以2m n ≤。
22322323 (333)n n m m nm m n n m m m +++++++≤+≤。
注意：这里有个很关键的不等式2m n ≤需要说明一下。
设12,,...,n L L L 是平面上直线束，那么每一个直线上至多有两个被染色（如题目中定义的染色）的角域；同时每一个被染色的角域值只占有两个直线。
设12,,...,m ΩΩΩ是m 个被染色的角域。
如果某个直线i L 上被染色的角域少于两个，那么根据数学归纳法假设可以直接证明2m n ≤。
否则的话，每一个直线上面恰好有两个被染色的角域。
这样可以得到一个2-正则的二部图()1212,,,{,,...,},{,,...,}.(,)n m i j i j G X Y E X L L L Y L E L ===ΩΩΩΩ∈⇔Ω是的边界这个二部图一定有1-因子。
从而也有2m n ≤成立。
例2. 平面上给定了)2(≥n n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点。
它们将平面划分成为若干个小区域。
试在每一个区域内部填写一个绝对值不大于n 的非负整数，使得任何一条直线的同一侧所有区域中各数之和为零。
解：一个为人们关心的问题是：这个题目是怎样产生的？那个出题人为什么出这个题？它的背景是什么？如果我们将这个问题放在球面上去，让所有的直线对应于一些大圆（从拓扑学的观点看，这是完全允许的），将每一个交点看成一个节点。
数学竞赛中的涂色问题
数学竞赛中的涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
例1．把正方形ABCD 的一边AB 分成n 段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD 的线段，得到n 个矩形。
每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD 两侧的有同色的部分，其面积和相等。
证明：设矩形中涂的是红色，不涂的为白色，则 正方形左白右红右白左红S S S S S 21=+=+另外，正方形左白左红S S S 21=+∴右白右红左白左红S S S S +=+ ∴右红左红S S =注：解决本题的关键在逻辑推理，并没有用到图论本身的专门概念。
例2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？答案：33个红方格。
分析：如图01—02，取任一个红格K 0为中心的3×3正方形。
不能在K 处涂红色。
因为，如果在K 处涂红色，在2×3的矩形：AFHD 、ABST 、MNCD 中均有两个红方格。
为了使矩形BCGE 内含有两个红方格，不论红方格放在任何一处，都将使上述的三个矩形的一个出现三个红方格。
这就说，红方格不能与K 0有公共的边，只能是在其对角线上。
从总体上来说，只能，如图01—03。
因此，每一个3×3的正方形中有且只有3个红方格。
又在9×11矩形中，可分为九个3×3的正方形及三个2×3的矩形，故一共有9×3＋3×2=33个红方格。
高中数学涂色问题
D C
A B
例2、用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4
四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，
(1)若 n 6 ，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求 n 的值.
（1）
（2）
解：结构抽象如图，
(1)涂法数为： A63 （6-2） 480
(2)涂法数为：T4n An4 nn 1n 2n 3 120 ，∴ n 5
（1）
（2）
例3. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色， 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共 有多少种不同的方法？
解：结构抽象如右图，
An
⑤
A1
A3 A2 ⑤
a 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 n 种
(1) 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A42 =12 种，即 a2 =12
An
⑤
A1
A3
A2 ⑤
(2)当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3
⑤⑤
An A1 A2
不同色， ， An1 与 An 不同色，共有 4 3n1 种染色方法，
现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽
120 种同样颜色的花，不同的栽种方法有
种.(以数字作答)
变式1：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少
种涂法？
P
D C
A B
变式2：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
高中数学竞赛染色问题与染色方法
高中数学竞赛染色问题与染色方法第二专题染色问题与染色方法一、区域染色3?的棋盘，用黑色或白色两种颜色去染棋盘上的方例1、有一个7 格，每个方格只染一种颜色。
证明：无论怎样染色，棋盘上必定包含一个矩形（它由铅垂直线或水平线所划出的小正方形构成），它的四角所在的方块都是同一颜色。
2000?方格表中都染上红色或蓝色两种颜色之一，使得例2、2000每种颜色都恰好出现2000000格内，两个红格若同行便称为一副红对，两个蓝格若同行便称为一副蓝对。
求证：所有红对数目和蓝对数目相等。
例3、在一个正六边形的六个区域中的每一个二、点染色例4、已知：将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。
求证：存在一个30。
同色顶点的直角三角形，其斜边为2003，且有一个锐角为例5、将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。
求证：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2003，并且每一个三角形的三个顶点同色。
例6、用红、蓝两种颜色去染正九边形的顶点，每个顶点只染一种颜色，证明：在以这9个点为顶点的所有三角形中，一定有两个全等的三角形，每一个的三个顶点都是同颜色。
三、线段染色例7、证明：在任何六个人中，总可以找到三个相互认识的人或三个互相不认识的人。
（认识是相互的）。
例8、6个点，每两个点之间有一条线相连，线染上红色或蓝色，证明一定有两个以这些点为顶点的三角形，每个三角形的边是同一种颜色（可能有公共边）。
例9、平面上有5个点，无三点共线，两两相连的线段各染上红蓝颜色中的任意一种，求证：图中没有同色三角形的充要条件是可分解为一红一蓝的两条封闭折线，每条恰含有5条连线段。
例10、17名科学家中每一名和其余科学家通信，在他们的通信中仅讨论三个题目，而任两名科学家之间仅讨论一个题目。
证明：其中至少有3名科学家，他们互相通信中讨论同一个题目。
例11、某俱乐部有13 n 名成员，对每一个人，其余的人中恰好有n 个愿与他打网球，n 个愿与他下象棋，n 个愿与他打乒乓。
高中数学中涂色问题的解法
高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。
这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。
根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。
解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。
作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。
下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。
一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。
我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。
解1：只管从左到右依次来种。
若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。
解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。
（1）把这五块地分为3，1，1三组。
①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。
（2）把这五块地分为2，2，1 三组。
①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。
由（1），（2）知共有42种方法。
可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。
若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。
其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。
变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。
证明：如图，设有a n 种不同涂法。
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A =24种涂法。
例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，至少要用三色涂空，才能满足要求。
法1：1） 恰用三色：212334⨯⨯⨯⨯C =48种涂法；2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
高中数学竞赛专题精讲29涂色问题(含答案)
29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
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§29涂色问题
涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题
最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.
2．线段染色和点染色
(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边
染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.
（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.
例题讲解
1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3
的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？
3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换
两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
6．设a1，a2，a3……是一个不减的正整数序列，定义b m是使a n≥m的n的最小值，若a19=85，试求a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85的值。
7．有1987块玻璃片，每块上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色。
（1）求证：无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少块，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；
（2）求证：玻璃片最后变成哪种颜色，与操作顺序无关。
8．把集合M={1，2，…，1987}的元素用4种颜色涂色，求证：至少存在一种涂色方法，使得M中任何等差数列的10项，不是同一颜色。
9．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点称为整点。
设计一种方法，将所有整点涂色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得
（1）每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；
（2）对任意白点A 、红点B 及黑点C ，总可以找到一个红点D ，使得ABCD 为一平行四边形。
证明你设计的的方法符合上述要求。
10．将平面上每个点染上两种颜色中的一种，已知任一边长为1的正三角形都有两种颜色的顶点，
（1）求证：存在边长为3的同色正三形（即顶点同色）；
（2）举出染色满足题设要求的平面的例子。
11．平面上有6点，任何三点都是一个不等边三角形的顶点，求证：这些三角形的边中一定有一条，它在一个三角形中是最长边，而在另一个三角形中是最短边。
12．平面上任一点都染上红、蓝、黄三色中的一种，求证：一定存在一条端点同色且长度为1的线段。
例题答案：
1. 证明：设矩形中涂的是红色，不涂的为白色，则
正方形左白右红右白左红S S S S S 2
1=+=+
另外，正方形左白左红S S S 21=+
∴右白右红左白左红S S S S +=+
∴右红左红S S =
2. 答案：33个红方格。
分析：如图01—02，取任一个红格K 0为中心的3×3正方形。
不能在K 处涂红色。
因为，如果在K 处涂红色，在2×3的矩形：AFHD 、ABST 、MNCD 中均有两个红方格。
为了使矩形BCGE 内含有两个红方格，不论红方格放在任何一处，都将使上述的三个矩形的一个出现三个红方格。
这就说，红方格不能与K 0有公共的边，只能是在其对角线上。
从总体上来说，只能，如图01—03。
因此，每一个3×3的正方形中有且只有3个红方格。
又在9×11矩形中，可分为九个3×3的正方形及三个2×3的矩形，故一共有9×3＋3×2=33个红方格。
3. 由于涂色的格子总共有n －1个，
所以n 列中至少有一列的格子未涂色，
经过调整，可以使最下面的一行中涂色格
子都在对角线下方（如图01—04）。
再考察除去最右一列与最下一行的（n －1）×（n －1）个方格，继续上面的过
程，必可将n －1个涂色的格子移到所设的对角线下方。
4. 证明：设每个小方格的边长为1，考察黑方格区域的边界长度L 。
开始时，
由于只有n －1个方格，∴L ≤4（n －1）。
在以后的涂色过程中，尽管黑方格的总体面积增加了，但其周长不变，即仍有L ≤4（n －1）。
如果要填满n ×n 的方格，就有L=4n ，
显然发生矛盾。
命题得证。
5. 证明：将E 中的点染成红、蓝二色，即证明必存在一个直角三角形，
它们的顶点同色。
在三边上取三等分点P ，Q ，R ，如图01—05。
易知RQ ⊥BC ，QP ⊥AC ，
PR ⊥AB 。
这三点必至少有两点同色。
不妨设R ，Q 为红色。
（1）如果BC 边上除Q 点外还有红色的点X ，
则Rt △RQX 三个顶点同为红色。
（2）如果BC 边上除Q 外不存在红色点，
则B 点是蓝色的。
如果AB 上除B 外还有蓝色点Y ，
作YM ⊥BC ，M 为垂足，显然M 不同于Q 。
所以Rt △YBM 三个顶点均为蓝色；
如果AB 上除B 点外均为红色。
作QZ ⊥AB ，Z 为垂足，
则Rt △RQZ 的三个顶点均为红色。
证毕。
6. 解：如图01—06，第i 行（1≤i ≤19）中的a i 个方格涂黑（例如，a 2=3，则涂3格），在第j 列（1≤j ≤85）中白方格数，是小于a i 的个数（例如，a 3=5），在第5列上方有两个白格子，就是a 1<5，a 2<5，b 5-1=2。
因此，所有的格子（黑的和白的）的个数就是
a 1+a 2+…+a 19+（
b 1－1）+（b 2－1）+…+（b 85－1）=19×85，
∴a 1+a 2+…+a 19+b 1+b 2+…+b 85=19×85+85=20×85=1700。
注：从这几个例子可以看出，既可作为手段，转化问题的形式，便于叙述，也有本来就是涂色的形式，要调整、构造新形式。
思考起来很灵活。
设等差数列首项为k ，公差为d ，则⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-≤≤≤91987,19781k d k ，其中[x]表示x 的整数部分， 941111197814222921978)91986(991985198691987=⨯<⨯⨯+=+++≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=∴∑= k k a 9.解：将y 轴上的整点染上黑色或白色，并且黑、白各有无穷多个（例如黑、白相间）。
再将其余整点都染上红色，则这样的染色满足题设要求。
证明：不难看出到上述设计，白色点、黑色点、红色点出现在无穷多条平行于横轴的直线上，故满足条件（1）。
设A 为白点，B 为红点，C 为黑点，显然B 不在y 轴上，即B 不在AC 上，而且□ABCD 顶点D 的横（纵）坐标，所以D 一定是整点。
由于A ，C 横坐标为0，B 横坐标不为0，所以D 的横坐标不为0，即D 为红点。
满足条件（2）。
注：例8要用到重复排列的问题解法，还要进行计算，放缩。
例9则是设计一种方案，证明它符合要求。
数学竞赛中，常见的是与拉姆赛数有关的问题。
无三点共线的n 个点中，任两点都连成线段，所得的图称为完全图，记为K n .如果设R （k ）表示用k 种颜色涂K n 中所有边时，总能找到同色三形的点数n 的最小数，则称R （k ）拉姆赛数。
10. 证明：（1）取长为2的线段AB ，且两端点不同色，又设AB 的中点C 与A 同色。
作正△AEC 和△ADC （如图01—08），由题设，D ，E 不能与A ，C 同色。
于是△BDE 是边长为3的正三形，其顶点同色。
（2）将平面分成宽度为
2
3的水平带状区域，
每个区域含它下面的一条直线（边界），不含它上面的一条直线。
让相邻的带状区域染上不同颜色即可。