高三上学期摸底自测理科数学试卷
高三理科数学摸底测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有最小正整数解的是（）A. x + 2 = 3x - 4B. 2x - 1 = 3(x + 1)C. 3x - 2 = 2(x + 3)D. 4x + 1 = 3(x + 2)2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10，则a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. x - 1 > 2x - 3C. 3x < 2x + 1D. x + 2 > x + 44. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则a1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC，则sinB的值为（）B. √3/2C. 1D. √36. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x = 1D. y = 17. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 08. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，若b1 + b2 + b3 = 27，b4 + b5 + b6 = 243，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 129. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，∠C = 45°，若AB = 2，则BC的长度为（）A. √2B. 2D. 410. 已知函数y = log2(x + 1)，则函数的值域为（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-1, +∞)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。
高三摸底考试数学(理科)试题
高三摸底考试数学(理科)试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题 (本大题共8小题 ，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上) 1．已知∈b a ,R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．1>b aB ．22b a >C ．()0lg >-b a D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．9B ．10C ．11D ．2323．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．14．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，则)(x f （ ） A．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．1B ．12C ．2D 6.已知平面内不共线的四点C B A O ,,,满足3231+==（ ）A.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a ∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c ∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x x x=⊕>的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．．1二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分 请把答案填在答题卡上） （一）必做题（9～13题） 9．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 10．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是 _11．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示， 则数学期望ξE 的值为___.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是1 1 正视图侧视图俯视图第2题图第5题图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做按第一题给分）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）16. （12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(1) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++…20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立．高三级摸底考试数学(理科)答题卡 总分一、选择题 得分二、填空题 得分9、 10、 11、 12、 13、 选做题14、 15、三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16. (12分)17．(12分)18．(14分)19．(14分)读班级 考试试室 姓名 考试座位号…密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………20. (14分)21．(14分)高三级摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把正确答案填在答题卡上)1．已知∈ba,R且ba>，则下列不等式中成立的是 DA．1>baB．22ba> C．()0lg>-ba D.ba⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛21212．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 CA．9 B．10C．11 D．2323．若实数x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1yxyx则yx+的最小值是 CA．4 B．3 C．2 D．14．设函数)0(112)(<-+=xxxxf，则)(xf AA．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数5．函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0,||2Aπϕ><）的图象如图所示，则(0)f= DA．1B．12C D6.已知平面内不共线的四点CBAO,,,满足OCOAOB3231+== DA.3:1B. 1:3C. 2:1D. 1:27．已知集合{}|4||1|5M x x x=-+-<，{}6N x a x=<< ,且()2,M N b=,则a b+= BA．6B．7C．8D．98．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意,,a b R a b b a∈⊕=⊕；②对任意,0a R a a∈⊕=；③对任意,,,()()()()2a b c R a b c c ab a c b c c∈⊕⊕=⊕+⊕+⊕-；函数1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为A．4 B．3 C．．18B解析：根据条件③，对于任意的,,a b c有()()()()2a b c c ab a c b c c⊕⊕=⊕+⊕+⊕-，∴取0c=得()00()(0)(0)20a b ab a b⊕⊕=⊕+⊕+⊕-⋅得①②得00a a a⊕=⊕=对任意实数a都成立，代入上式得：a b ab a b⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③，∴1111()f x x x x xx x x x=⊕=⋅++=+1()(0)f x x xx=⊕>的最小值为3.二、填空题：本大共7(一)必做题(9～13题)9．设i为虚数单位，则复数i2i+1011．已知抛物线24x y=上一点P12．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE的值为______59_____.13．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部11正视图侧视图俯视图第2题图第5题图分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 1π[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π. 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为 3415.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B ,两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 1 .16. （本小题满分12分） 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(2) 求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分sin 2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分 (2) 解:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. … 7分∴1cos 23θ=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分 17（12分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数， 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a18．（14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量42cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．解: (1) (1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42sin cos 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 22b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分19．（14分）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求12111nS S S +++… 解：（I ）由已知可得223123q a a q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解直得，3q =或4q =-（舍去），26a = 3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=（2）证明：(33)12211()2(33)31n n n n S S n n n n +=∴==-++ 121112*********(1)(1)322334131n S S S n n n ∴+++=-+-+-++-=-++…… 20．（14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， ----2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. ----4分 解得18k =. ---5分 （Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．-------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． ------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． ----------14分 21．（14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立． 解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =----------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=------4分∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； -----5分 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减--6分若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a+∞上单调递增，在1(1,)2a 单调递减；---7分若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， ---------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．----9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n +>-， ----------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑-----14分 【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+，------------11分 显然1ln 2a =也满足该式，故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=--------------12分令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x >则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑． -------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增， 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->， ∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1ni i n i=-+>∑------14分】。
高三上学期摸底自测理科数学试卷答案
高三上学期摸底自测理科数学试卷参考答案一、选择题 1．D2=a ，33)21)(21()21)(2(21212000ii i i i i i ai i a -=-+---+-=++，故选D 。
2．AP ×Q 的元素分别为0×2，0×3，0×4，1×2，1×3，1×4，2×2，2×3，2×4，即0，2，3，4，6，8共有6个，故选A 。
3．A画出不等式组所表示的可行域，如图3—1—6所示，z 的几何意义是直线z ax y +-=在y 轴上的截距。
当a <0时，z 不可能取得最大值7，可排除B 和D 。
当a >0时，z 只能在过B （4，3）的直线上时才能取得最大值7，可得a =1，故选A 。
4．B如图3—1—7，连结B 1C ，交BC 1于E ，则E 为B 1C 的中点，则B 1到平面BDC 1的距离等于点C 到平面BDC 1的距离，过C 点作CH ⊥平面BDC 1，则由CB=CD=CC 1且BD=BC 1=DC 1知，36233=⋅=BH ，故3322=-=BH BC CH ，故选B 。
5．A)('x f 有4个不同的解4321x x x x 、、、，其中在1x 的左右两侧，)('x f 均大于0，故1x 不是函数)(x f 的极值点；在x 2的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，故x 2是函数)(x f 的极大值，同理可得3x 图3—1—6图3—1—7是函数)(x f 的极小值点，x 4不是函数)(x f 的极值点，故选A 。
6．Bc bx ax x f ++=23)('2，由图可知)(x f 在（－∞，－2）上是减函数，所以)(x f 在这个区间上有0)('<x f ，所以0)('<x f 的开口向下，从而a <0，又因为)(x f 的两个极值点都为负数，所以0)('=x f 有两个负根21x x 、，从而，03221<-+abx x ，所以b <0，故选B 。
高三摸底考试理科数学(附答案)
高三摸底考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分.第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A)·P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},,|{Q b P a ab z z Q P ∈∈==*，若P={－1，0，1}，Q={－2，2}，则集合Q P *中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ．62．已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，是m+n i 等于A ．1+2iB ．1－2iC ．2+iD ．2－i3．若,011<<b a 则下列不等式：①ab b a <+ ②||||b a >③b a < ④2>+baa b 中，正确的不等式有A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．若)2,4(412sin ππαα∈=且，则ααsin cos -的值是A ．23 B ．43 C ．－23 D ．－43 5．若数列{a n }满足nn a a a 11,211-==+，则a 2007的值A ．1B ．－1C ．21 D ．26．已知0,2||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=45°，设),(R n m OB n OA m OC ∈+=，则nm等于A ．21 B ．22 C ．2D ．27．把函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象按向量)0,3(π-=a 平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3π D ．2，－3π8．已知向量a 、b 满足||,6||,2||,1||b a b a b a -=+==则等于A ．2B ．3C ．21 D ．33 9．已知实数a ，b 满足等式b a 32log log =，下列五个关系式：①1<a <b ；②1<b< a ；③b< a <1；④a <b<1；⑤a =b ，其中不可能成立的关系有A ．4B ．3C ．2D ．110．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A ．x x f sin )(=B ．|1|)(+-=x x fC ．)(21)(x xa a x f -+=D ．xxx f +-=22ln)( 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，)1,(sin ),cos ,1(θθB A ，其中)2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最小值时，θ的值A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意a 、b ∈[0，1]，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是A ．||log x y a =B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x y D ．3x y =第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
高三摸底考试数学理科及答案
4
D．
5
9．设 a sin15 cos15 ， b sin17 cos17 ，则下列各式中正确的是（
）
a2 b2
A． a
b
2
a2 b2
B． b
a
2
a2 b2 C． b a
2
a 2 b2 D． a b
2
10．在 △ABC 所在的平面内有一点 P，如果 PA PB PC AB ，那么 △PBC 的面积与
高三摸底考试 数学试卷 ( 理科 )
一、选择题（每题 5 分，满分 55 分）
1
1．下列函数中，与函数 y
有相同定义域的是（
）
x
A ． f ( x) log 2 x
1 B． f (x)
x
C． f (x) | x |
2．若 sin cos < 0 ，则角 是（
）
A ．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分）
3
12．曲线 y cosx(0 x
) 与坐标轴所围成的面积是 ________.
2
13．等比数列 { an } 共有 20 项，其中前四项的积是 1 ，末四项的积是 512，
128
y
则这个等比数列的各项乘积是
.
C
14．如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 、 D 分别在 x 轴、 y 轴 D
△ ABC 的面 积之比是（
）
1
A．
3 11．已知 f ( x)
1
B．
2
x
2
x，
g(x)
1
2
2
C．
3
3
理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误； 财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值 极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。
高三理科数学摸底考试试卷
1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -12. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log2(x)D. y = sin(x)3. 若向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. -1/5D. -2/54. 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则△ABC的面积S为（）A. 14B. 21C. 28D. 355. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，|x| ≥ 0D. 对于任意实数x，x|x| ≥ 06. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则S5的值为（）A. 31B. 63C. 127D. 2557. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 = 5，a6 = 15，则a1 + a10的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 408. 若函数y = x^3 - 3x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 0D. -39. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z-1| = |z+i|，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在10. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 - 1 < 0D. x^2 + 1 < 011. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a3 = 2，a5 = 16，则a1的值为______。
12. 若复数z = 3 + 4i的共轭复数为z'，则|z-z'|的值为______。
高三数学理科摸底考试试题+参考答案
高三数学理科摸底考试试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{}2log ,1y y x x =>，B ＝{}2,1xy y x -=>，则A ∪B ＝ （ ） A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}0y y >C ． ΦD ．R 2. 复数212ii+-的虚部是（ ） A ．0B ．iC ．1D ．-13. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，， 在某项测量中，已知()196P.ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9754. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75.在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（ ） A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ．∠A 为直角的直角三角形6．关于θ的方程cos 2sin θθ=在区间[0，2π]上的解的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．47. 己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是( )A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 8. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④9．汕尾市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（ ）A.18B.24C.30D.3610．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 12．设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=（ ）A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.彭湃中学高一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差， 则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 14．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .15. 如果1()nxx 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ______________16.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点第13题图相同，则双曲线的渐近线方程为____.三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）若10,BC =求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()12n n n a a n N *+-∈，在直线x y =上． （1）令11--=+n n n a ab ，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式．19. （本题满分12分）广州大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望。
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高三上学期摸底自测
理科数学试卷
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数i a z 3)2(+-=为纯虚数，则ai
i a ++12000
的值为
A ．i
B ．1
C ．－1
D ．－I
2．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ×Q={ab | a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，1，2}，Q={2，3，4}，则P ×Q 的元素个数是 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．已知x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤-+≤-+>>0
153016400y x y x y x ，且y ax z +=的最大值为7，则a 的值是
A ．1
B ．－1
C ．
5
7
D ．5
7-
4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1到平面BDC 1的距离为
A ．
2
2 B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
3
6 5．已知)(x f y =的导数)('x f y =的图像如图3—1—1，则 A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
图3—1—1
B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
6．已知函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图像如图3—1—2所示，则 A ．00>>b a ， B ．00<<b a ， C ．00<>b a ，
D ．00><b a ，
7．已知a ，m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β； ③若α//γ，β//γ，则α//β；
④若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β； ⑤若β⊥α，a ⊥α，则a //β 其中正确命题的个数有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的焦点为21F F 、，M 为双曲线上一点，以21F F 为直径的圆与双曲
线的一个交点为M ，且2
1
tan 21=F MF ，则双曲线的离心率为 A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
9．已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，且，
，3311b a b a ==57b a =，那么 A ．13b a =
B ．1131b a =
C ．1163b a =
D ．1163a b =
10．在函数x
y 3=，x y x y x y x y cos sin tan log 3====，，，这5个函数中，满足“对［0，1］
图3—1—2
中任意1x 和2x ，任意0≥λ，λ
x f λx f λx λx f ++≤++1)
()(1)(2121恒成立”的函数个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=→
⋅→PB PA ，0=→⋅→PC PB ，0=→
⋅→PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为
A ．2
B ．1
C ．
2
1 D ．
4
1 12．过平行六面体的任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有 A ．150对 B ．162对
C ．174对
D ．186对
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中横线上。
13．已知a =（1，－1），非零向量a +b 与a 反向，则a ·b 的取值范围是________。
14．直线l ：0=+by ax 与圆C ：01222
2
=+--+y x y x 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
=→
⋅→OB OA _________。
15．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是_________。
16．如图3—1—3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个
过程中向量→OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=+6
cos 6sin θ
θ________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题12分）
设函数)(cos sin )sin cos 2()(2
R x x x x a x x f ∈++=，且)4
()2(πf π
f =。
（1）求实数a 的值，并将)(x f 写成sin A (x ω+ϕ)的形式；
（2）利用“五点法”作出)(x f 的图像，并根据图像指出)(x f 取最大和最小值时对应的x 值。
18．（本小题12分）
美国NBA 篮球总决赛采用七局四胜利，即先胜四局的队获胜，比赛结束，2005年美国东部活塞队与西部马刺队分别进入决决赛，已知马刺队与活塞队的实力相当，即单局比赛每队获胜的概率均
为
2
1，若每局比赛组织者可获利100万美元，设各局比赛相互间没有影响，组织者在本次比赛获利ξ万美元，求ξ的概率分布与期望。
19．（本小题12分）
已知函数36)2(2
3
)(23-++-
=x x a ax x f 。
（1）当a >2时，求函数)(x f 的极小值；
（2）试讨论曲线=y )(x f 与x 轴的公共点的个数。
20．（本小题12分）
如图3—1—5所示，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，∠DAB=90°，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。
（1）求证MC//平面PAB ；
（2）在棱PD 上找一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为
2
2； （3）若点N 为平面PAB 内的一点，且MN ⊥平面PCD ，求点N 到平面ABCD 和平面PAD 的距离。
21．（本小题12分）
已知点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，且0=→⋅→PF PM ，动点N 满足02=→
+→NM PN 。
（1）求点N 的轨迹C 的方程；
（2）'F 为曲线C 的准线与x 轴的交点，过点'F 的直线l 交曲线C 于不同的两点A 、B ，若D
为AB 的中点，在x 轴上存在一点E ，使0)(=→-→⋅→AD AE AB ，求||→
OE 的取值范围（O 为坐标原点）；
（3）Q 为直线1-=x 上任一点，过Q 点作曲线C 的两条切线l 1、l 2，求证l 1⊥l 2。
22．（本小题14分）
已知函数)1(1
2
)(-≠++=
x x x x f ，设数列}{n a 满足)(1n n a f a =+。
（1）若11->a ，试比较n a 与2的大小，并证明你的结论； （2）若11->a ，且21≠
a ，试比较12-n a 与12+n a 的大小；
（3）若11=a ，证明：
7
)
122(2|2||2||2||2|321-≤
-++-+-+-n a a a a 。