九年级数学上册21.2.2公式法教案
九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版
21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、温故知新（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知明晰新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac>0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．3(=)(x2-x-1_)(6)3通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac 与方程的根有什么关系吗？三、师生互动促进理解同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是学习二次函数求解的重要内容。
本节内容通过公式法，引导学生掌握二次函数的求解过程，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以实例引入，让学生通过观察、分析、归纳，探索并掌握二次函数的求解公式，并能在实际问题中灵活运用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本概念和图像，但对二次函数的求解方法可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，深入理解公式法的原理和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的求解公式，能够运用公式法解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生探索二次函数求解方法的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的求解公式及应用。
2.难点：灵活运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳，探索二次函数的求解方法。
3.合作交流法：鼓励学生与他人合作，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的求解过程。
2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用公式法求解。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商品打8折后的价格是120元，求原价。
引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的求解方法。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），引导学生观察实例中的二次函数，发现其特点。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用公式法求解一个实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生回答问题：如何判断一个二次方程有实数根、有两个相等的实数根还是有三个实数根？并解释原因。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程 （一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知 探究一 公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k 的取值范围是（ ）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
九年级上册数学21.2.2公式法教案
公式法【知识与技术】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能利用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历研究求根公式的过程，增强推理技术，进一步睁开逻辑思想能力.【感情态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成优秀的运算习惯，培育谨慎仔细的科学态度. 【教课要点】用公式法解一元二次方程.【教课难点】推导一元二次方程求根公式的过程 .一、情境导入，初步认识我们知道，对于随意给定的一个一元二次方程，只需方程有解，都能够利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都能够写成2【教课说明】让学生回想用配方法解一元二次方程的一般过程，进而试试着求ax2+bx+c=0〔a≠0〕的方程的解，导入新课，教课时，应赐予足够的思虑时间，让学生自主研究.二、思虑研究，获得新知经过问题情境思虑后，师生共同商讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b x=-c.配a a方，得x2+bx+(b2=-c+(b2，即(xb2b24ac. a2a)a2a)2a)4a2至此，教师应作适合停留，提出以下问题，指引学生剖析、研究：〔1〕两边能直接开平方吗？为何？〔2〕你以为下一步该怎么办？谈谈你的见解.【教课说明】设置停留并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教课时，应让学生踊跃主动思虑，各抒己见，在互相沟通中促使理解.师生共同完美认知：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的鉴别式，往常用表示，即=b2-4ac.进而有：①当=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成bb24ac，这个式子叫做一元二次方程2x=ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式.2a三、典例精析，掌握新知例1不解方程，鉴别以下各方程的根的状况.(1)x2+x+1=0;(2)x2-3x+2=0;(3)3x2-2x=2.剖析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确立方程中a、b、c的值时，必定要先把方程化为一般式后才能确立，否那么会出现失误.解：〔1〕∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根；〔3〕原方程可化为3x2-2x-2=0,∴a=3,b=-2,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-43×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.例2用公式法解以下方程：(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-22x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x剖析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式求出方程的解.【教课说明】以上两例均可让学生自主达成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对学生的疑惑实时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面指引学生关注其解答能否正确，同时还应注意其解答格式能否标准， 查漏补缺，深入 理解.教师接着指引学生阅读第 12页相关前言中问题的解答，向学生发问： 〔1〕 什么状况下根的取值为正数？〔 2〕列方程解决实质问题在取值时应注意什么？ 四、运用新知，深入理解1.对于x 的方程x 2-2x+m=0有两个实数根，那么m 的取值范围是.2.假如对于x 的一元二次方程k 2x 2-〔2k+1〕x+1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是〔〕＞-14＞-1且k ≠04＜-14≥-1且k ≠043.方程 2x 2+4 3x+62=0的根是〔〕12= 3= 2，x1=6, x 2= 2 1=2 2, x 2= 21=x 2=-64.对于x 的一元二次方程〔m-1〕x 2+x+m 2+2m-3=0有一个根为0，试求m 的 值.〔注：5~6题为教材第 12页练习〕 5.解以下方程：〔1〕x 2〔〕2〔〕2+x-6=0;2x-3x-14=0;33x-6x-2=0;〔4〕4x2〔〕2〔〕x(2x-4)=5-8x.-6x=0;5x+4x+8=4x+11; 6 6.求第节中问题1的答案.【教课说明】经过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中获得牢固和提升. 【答案】≤14.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故m的值为-3.5~6略五、师生互动，讲堂小结经过这节课的学习，你有哪些收获和领会?谈谈看.【教课说明】在学生回想与反省本节课的学习过程中，进一步完美认知，师生共同概括总结.1.部署作业：从教材“习题〞中选用.2.达成创优作业中本课时练习的“课时作业〞局部.1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，所以在教课方案各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一要点内容睁开，问题设计，讲堂学习有益于学生增强运算能力，掌握根本技术，也有益于教师发现教课中存在的问题.2.在教课方案中，指引学生自主研究一元二次方程的求根公式，在师生议论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.3.整个讲堂都以学生着手训练为主，让学生踊跃介入研究活动，体验到成功的愉悦.4.公式法是在配方法的根基上推出的一种解一元二次方程的根本方法，它使解一元二次方程更为简易，在公式的运用中，波及到根的鉴别式，使公式法解一元二次方程获得持续和深入.。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
公式法解一元二次方程(教案)
教学过程 ：
一、感知与尝试： 1、复习引入： 用配方法解一元二次方程的步骤
2、今天学习用公式法解一元二次方程
二次
3、学习目标 ：①、求根公式的推导过程。
项系
数化
②、求根公式的相关概念。
为1
程。
③、用求根公式解一元二次方
4、预习教材 P9-12 页并完成如下内容：
( 2)x2 17 8x
解：
1. 2.
归纳： 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 找
变形: 定系数 :;
3. 求: 4. 代入: 5. 定根:
求
代
写
四、达成与升华：
1.你在学习过程中还有那些疑问？并与小组同学交流解决。
2.我相信我行
（ 1）关于 x 的一元二次方程
有两个实根，则 m 的取值范围
是
.
（ 1）用公式法解方程
2
-3 x
5x
1 可先将其整
移项 配方 变形 开方 求解
理为 _____________,
定解
再求出 b2-4ac =_____从而求出方程的根 x1 ＝________， x2 =
.
（ 2）一元二次方程 x 2 4x 5 0 的跟的情况是（
）
A 有两个不相等的实数根 C 只有一个实数根
b
x1
x2
;
有两个相等的实数解。
2a
（3）当
时， 一元二次方程 ax + bx + c = 0 （a ≠ 0 ）
没有实数根。
一般地， 式子 b 2 4ac 叫做方程 ax 2 bx c 0 (a≠0)根的判别式。 通常用希腊字
人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教学设计
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。
本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。
但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。
三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。
2.能够熟练运用公式法求解二次方程。
3.理解公式法背后的数学原理。
四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。
2.难点：理解公式法背后的数学原理。
五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。
进而引入本节课的主题——公式法。
2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。
让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。
老师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法 教案2
人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”，主要介绍了二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法。
这一节内容是学生在学习了二次函数图像和性质的基础上，进一步深化对二次函数的理解。
本节内容的教学，旨在让学生掌握二次函数的顶点坐标公式，能够运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对于二次函数有一定的了解。
但是，对于二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法，部分学生可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾二次函数的相关知识，帮助学生理解和掌握顶点坐标公式和判别式的计算方法。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的顶点坐标公式。
2.让学生学会运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标公式的记忆和应用。
2.判别式的计算方法和判断二次函数图象与x轴交点个数的方法。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法、练习法等教学方法，以教师为主导，学生为主体，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本概念、图像和性质，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标公式，并通过示例让学生理解公式的含义和应用。
接着，介绍判别式的计算方法，让学生学会判断二次函数图象与x轴的交点个数。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个二次函数的图象，运用顶点坐标公式和判别式计算方法，判断函数图象与x轴的交点个数，并解释原因。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些有关二次函数的判断题，检验学生对顶点坐标公式和判别式计算方法的掌握程度。
九年级数学上册21.2.2公式法教案1新人教版
21．2。
2 公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗?二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程,判断下列方程的根的情况．（1）2x2＋3x－4＝0；(2）x2－x＋错误!＝0；（3）x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时,方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：（1)2x2＋3x－4＝0,a＝2，b＝3,c＝－4,∴b2－4ac＝32－4×2×(－4）＝41＞0。
∴方程有两个不相等的实数根．（2)x2－x＋错误!＝0，a＝1,b ＝－1,c＝错误!.∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×错误!＝0。
∴方程有两个相等的实数根．（3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1,c＝1.∴b2－4ac＝(－1）2－4×1×1＝－3＜0。
∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根;当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ）A．a>2 B．a〈2C．a<2且a≠1 D．a〈－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0,得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1）＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1。
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21.2.2 公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2．会熟练应用公式法解一元二次方程．
阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．
1．用配方法解下列方程：
(1)6x 2－7x ＋1＝0； (2)4x 2－3x ＝52.
2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题 已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a
. 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
知识探究
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a 就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根； (2)x ＝－b±b 2－4ac 2a
叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式； (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根；
(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字“Δ”表示，即Δ＝b 2－4ac.
自学反馈
用公式法解下列方程：
(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；
(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.
活动1 小组讨论
例1 在什么情况下，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
解：Δ＝b 2－4ac ，Δ>0时，有两个不相等的实数根；
Δ＝0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根．
例2 写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的求根公式：x ＝2a
例3 方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是(B )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个实数根
D ．没有实数根
活动2 跟踪训练
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x 2－3x －32
＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.
2．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0；(2)x2－2x－1
4＝0；
(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x2＋2x＝0; (6)x2＋25x＋10＝0.
用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c的值，再判断Δ的正负．活动3课堂小结
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程．
4．一元二次方程根的情况．
【预习导学】
自学反馈
(1)x1＝1＋
6
2，x2＝1－
6
2.(2)x1＝2，x2＝－
1
3.(3)x1＝2，x2＝
5
3.(4)无解．
【合作探究】
活动2跟踪训练
1．(1)有两个不相等的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有两个不相等的实数根． 2.(1)x1＝
3，x2＝－4.(2)x1＝2＋3
2，x2＝
2－3
2.(3)x1＝1，x2＝－
3.(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(5)x1＝0，x2＝－2.(6)
无解．。