【2019-2020年度】中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学案

【2019-2020年度】中考数学一轮复习第20讲等腰三角形导学案
一、知识梳理
等腰三角形的概念与性质
等腰三角形的判定
边也相等
等边三角形
都等于
线段的垂直平分线
的所有
二、题型、技巧归纳
考点1等腰三角形的性质的运用
例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，
并说明理由．
技巧归纳：
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
考点2等腰三角形判定
例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
考点3等腰三角形的多解问题
例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC
底角的度数为( )
A．45° B．75°
C．45°或75° D．60°
技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
考点4等边三角形的判定与性质
例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC 中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE 与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
（1）（2）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
三、随堂检测
1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.
2.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
则MN的长为( )
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是.
5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
参考答案
例1、解： (1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF＝∠ADF，
又∵∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴GD＝GF.
由(1)得，DE＝EF，
∴EG⊥DF.
例2、解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠O CB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．例3、
如图(1)：AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图(2)，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.
∴∠CAB＝∠B＝＝75°，
即此时△ABC底角的度数为75°.
综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
故选C.
例4、（1）=
（2）=
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
（3）3)1或3.
随堂检测
1、【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，
∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°，
∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°.
答案：15
2、【解析】∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴∠CAE=30°.
根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°，
∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.
答案：60°
3．
【解析】选C.连接MA，NA.∵AB的垂直
平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的
垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN= BC=2cm.
4、【解析】∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°.
答案：50°
5、【解析】(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线.
(2)∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30°
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°.
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.
∴∠ABD=∠CBD，
即BD平分∠CBA.。