2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asinωx+φ课时作业含解析人教A版必修一

课时作业54 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)——基础巩固类——一、选择题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( B ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 2．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数是( A )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin2x 的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin(2x －π)＝－sin(π－2x )＝－sin2x 的图象．因为－sin(－2x )＝sin2x ，所以是奇函数．3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( A )解析：当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32<0，故可排除B ，D. 当x ＝π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C ，故选A.4．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( B ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：函数图象右移π2个单位后得到函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，把选项逐一代入验证可得，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，函数单调递增，选B.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，A >0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( A )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：T ＝⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3×4＝π，由T ＝2πω得ω＝2，由题图象知A ＝1，又由2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2得φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故选A.6．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π40，则ω的最小值是( D ) A.13 B ．1 C.53D ．2解析：把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象． ∵所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π40，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sinωπ2＝0，∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 二、填空题7．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的振幅为2，周期为2π3，初期φ＝2π3. 解析：y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＋π ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3.∴振幅A ＝2，周期T ＝2π3，初相φ＝2π3.8．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是3π8.解析：把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象． 由于f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π4的图象关于y 轴对称，所以－2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝－k π2－π8，k ∈Z .当k ＝－1时，φ的最小正值是3π8.9．已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，4π3上单调，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2，则f (0)＝－1.解析：由题意知14·2πω＝4π3－π3，所以ω＝12.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，得12×π3＋φ＝k π，k ∈Z . 所以φ＝－π6＋k π，k ∈Z .又因为|φ|≤π2，所以φ＝－π6.f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1. 三、解答题10．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的解析式．(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin[2(x ＋π6)＋φ]＝3sin(2x ＋π3＋φ)．因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin(2x ＋π6)．(2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(2x ＋π6)的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin(2x ＋π6)的图象．11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求函数y ＝f (x )的周期、最大值和对称中心；(2)在直角坐标系中画出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． 解：(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π，∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，∴f (x )的最大值是1＋ 2.由2x －π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，∴对称中心为(k π2＋π8，1)(k ∈Z )．(2)列表如下：x －π2－π8π8 3π8 π2 f (x )2 1－211＋22函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象如图所示．——能力提升类——12．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由题图可知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8.13．将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D ) A.5π12 B.π3C.π4D ．π6解析：由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝|π2－φ|＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D.14．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝5π6. 解析：y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos[2(x －π2)＋φ]的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin(2x ＋φ－π2)．由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.15．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π120，求θ的最小值．解：(1)根据题表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，得g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π120成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。