4.2.4 模糊控制【6学时】

注意：与普通集合一样，模糊集合满足交换律、结合律、 分配律、吸收律、摩根定律等，但是互补律不成立。 即：
A A
～ ～
A A
～ ～
三、模糊关系
1、关系的概念
描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用 R表示。 若R为由集合X到集合Y的普通关系，则只能有 以下两种情况：
x R y ; 表示x与y有某种关系 x R y ; 表示x与y无某种关系
但是
P QQ P
～ ～ ～
～
例 ：设有A、B、C三组人，A与B间的相象程度为 R ， ～ AB 是一种模糊关系，B与C间 R ，求 R 。
～ BC ～ AC
R
～ AB
0.8 0.2 0.1 0.6
R
～ BC
0.5 0.7 0.1 0
R
～ AC
R
～ AB
C ＝A B
cij max{min[aik , bkj ]} (aik bkj )
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～
～
～
例：
0.8 0.7 P ～ 0.5 0.3
0.2 0.4 Q 0.6 0.9 ～
0.6 0.7 P Q ～ ～ 0.3 0.4 0.4 0.3 Q P ～ ～ 0.6 0.6
4.2.4 模糊控制（6学时）
1
一、模糊控制的定义 二、模糊控制的数学基础 三、模糊控制的理论基础 四、模糊控制原理 五、模糊控制器设计

2
常规控制理论是利用Z变换和脉冲传递函数来设计单输入单输出 的线性系统的，其结构简单，对实现线性时不变系统的一般控 制比较有效，但不能适用于复杂的非线性系统和多变量系统。
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（2）进行合成运算
[较小 ] [若x小则y大] 0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ＝[1 0.5 0.2 0 0] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [0.5 0.5 0.5 0.5 1] 0.5 0.5 0.5 0.5 1 = + + + + = [比较大] 1 2 3 4 5
A
11

（2）有限论域
若论域U由离散元素构成，则论域U上的模糊集合 A 能够用隶属函数 A x 来描述，即模糊集合 A可 表示为：
～
A＝
A ( x1 )
～
x1

A ( x2 )
～
x2


A ( xi )
～
xi

式中的“+”不表示通常数学意义上的加号，只是 表示元素的构成。
12
10
4、模糊集合的表示方法

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（1）无限论域
若论域U由连续元素构成，则论域U上的模糊集合 A
能够用隶属函数 A x 来描述，即模糊集合 A可表示
为：
～
A
x U
(
A x
x
)
式中的 “∫”和“ — ”不表示通常数学意义上的积分 和除号，只是表示对论域U中的每个元素x都定义了相 应的隶属函数 x 。
（1）首先，求出“若x小则y大”的模糊关系矩阵
小大( x, y) [小( x) 大( y)] [1 小( x)]
0 0.5 1 1 1 0 0.5 1 1 1 0 0.5 1 1 1 0.5 0.5 1 1 1 1 0.5 1 R ～ 1 1
0
9
20
0.8
1
0.3
0.95
0.1
0.9
0
0.85
0
0
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4、模糊矩阵
模糊关系可以矩阵来表示，即模糊矩阵。 当X ={ xi | i=1，2，…，m}， Y ={ yi | i=1，2，…，n}是有 限模糊集合时，则 X 到Y 的 模糊关系 R可用下列m×n阶 ～ 矩阵来表示：
r11 r21 R ～ ri 1 r m1 r12 r22 ri 2 rm 2

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5、并集
C A B C ( x ) max A ( x ), B ( x ) A ( x ) B ( x ) ～ ～ ～ 取大运算 6、交集 C A B C ( x ) min A ( x ), B ( x ) A ( x ) B ( x ) ～ ～ ～ 取小运算

常规控制和现代控制理论在实际应用中都会遇到很 多问题，原因在于两者的设计基础都是数学模型， 而实际存在的非线性、不确定性和时不变等因素， 使复杂被控对象的精确数学模型很难求得。 随着人工智能技术的出现和发展，自动控制向高层 次的智能控制方向发展。智能控制不需要建立复杂 精确的数学模型，而是模仿人的思维方式，利用知 识和经验，通过学习或训练，来实现对复杂系统的 控制。
例：电动机转速偏高 负载电流过大 温度比较低
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二、模糊推理
1、假言推理
设a、b分别被描述为X与Y中的模糊子集 A 与B a b 表示从X到Y的一个模糊关系，是X×Y 的一个子集，记作 A B ，如 A 则 B ，它的隶 属函数为：
A B x , y x y 1 ( x ) B A A
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模糊控制的数学基础

一、模糊集合与隶属函数
经典集合（或者叫普通集合）：是指具有某种特定属
性的元素的集合。
1、经典集合
这种属性所表达的概念应该是清晰的、界限分明的。
因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非
此即彼。
7
2、模糊集合（Fuzzy Sets）

模糊集合：就是指具有某个模糊概念所描述的属性 的对象的集合（即表达模糊性概念的集合）。 由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因此对象 对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。
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2、模糊条件语句
三种基本类型的模糊条件语句
在程序设计中，经常用到的三种条件语句
三种普通条件语句
if 条件 then 语句 if 条件 then 语句1 else 语句2 if 条件1 and 条件2 then 语句
模糊条件语句简记形式
if A then B % % if A then B else C % % % if A and B then C % % %
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2、直积集(也称笛卡尔乘积集)
由X到Y的关系R，也可用序对（x，y）来表示。 所有有关系R的序对可以构成一个R集。
在集X与集Y中各取出一元素排成对，所有这样 序对的集合叫做X和Y的直积集，记为：
X×Y=｛(x，y)｜x∈X，y∈Y｝
显然，R集是X和Y的直积集的一个子集，即： R A B
隶属函数 A x 的值越接近1，则元素x属于模糊集

A 的可能性越大；隶属函数 A x 的值越接近0， 合 ～
则元素x属于模糊集合
A 的可能性越小。 ～
例如：老年人集合
1 老年人 ( x ) 5 2 1 ( ) x 50
x＞50
由计算可得： μ老年人(55)=0.5 μ老年人(60)=0.8 μ老年人(70)=0.94

智能控制？

所谓智能控制：就是设计一个控制器或系统， 使其具有学习、抽象、推理、决策等功能， 并能根据环境（被控对象或被控过程）的变 化做出适应性反应，从而实现人机共同完成 任务或无人参与的自主控制。 智能控制方法：主要包括模糊控制、神经网 络控制和基于遗传算法和进化计算的控制等。
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模糊控制的定义
R
～ BC
0.8 0.2 0.5 0.7 0.1 0.6 0.1 0
0.5 0.7 0.1 0.1
5、模糊变换
a1 a2 设 A ～
r11 r 21 R ～ r m1
～ ～
am 是一个m维模糊向量，而
二、模糊集合的运算
1、空集
2、等集 3、子集
A A ( x) 0
～

A B A ( x ) B ( x )
～ ～

A B A ( x ) B ( x )
～ ～

4、补集
B A B ( x ) 1 A ( x )
～ ～
～
r1 j r2 j rij rmj
r1 n r2 n rin rmn
[rij ]mn
式中，元素 rij R ( xi , yi ) 表示序对(xi,yi)的隶属度。
矩阵的合成运算

设A是X到Y的模糊关系，B是Y到Z的模糊关系，则A 和 B 的合成 A ◦ B 是 X 到 Z 的模糊关系。模糊矩阵的合 成运算类似于普通矩阵的乘积运算，即将普通矩阵 乘积运算时的乘法换成取小运算，加法运算换成取 大运算即可。 模糊矩阵的合成运算：
r1n r2 n 是一个m×n维模糊矩阵表示 的模糊关系。 rmn
r12 r22 rm 2
～
则称 A R＝B 为一个模糊变换，可以确定一个唯一 的
b1 n维模糊向量 B ～
b2
bn
模糊控制的理论基础
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一、模糊命题
模糊命题是清晰命题概念的推广，清晰命题的真假 相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值 在[0，1]闭区间中取值，相当于隶属函数值。 模糊命题的一般形式是： e is F e是模糊变量，F是某一模糊概念所对应的模糊集合。

模糊控制理论：是由美国著名的加利福尼亚大学教授控制论 专家L．A．Zadeh于1965年首先提出来的。是以模糊数学为 基础，用语言规则表示方法和先进的计算机技术，由模糊推 理进行决策的一种高级控制策略。