初中数学九年级下册解题技巧专题：解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题
北师大版九年级数学下 解题技巧专题：解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题 精品试题
解题技巧专题：解决抛物线中与系数a ，b ，c 有关的问题◆类型一 由已知函数的图象确定其他函数图象的位置1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的大致位置如图所示，那么直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( )第1题图 第2题图2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ax 与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )3．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )第3题图 第4题图◆类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值 4．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0D ．abc ＞0，b 2－4ac ＜05．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ．a ＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第6题图6．(2017·烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是() A．①④B．②④C．①②③D．①②③④7．(2017·营口一模)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的是________(填序号)．8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b ＋2c|，比较P，Q的大小关系．参考答案与解析1．A2．C 解析：由y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，得a ＜0，－b2a ＞0，∴b ＞0，∴反比例函数y ＝ax 的图象位于第二、四象限，正比例函数y ＝bx 的图象位于第一、三象限．故选C.3．B 解析：由一次函数的图象可知k ＞1，∴－k ＜0，－1<－1k <0，∴抛物线开口向下，对称轴在直线x ＝－1与y 轴之间，与y 轴的交点在(0，1)的上方．故选B.4．B 5.C 6.C7．③④ 解析：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴无交点，∴b 2－4ac ＜0，故①错误；当x ＝1时，y ＝1＋b ＋c ＝1，故②错误；∵当x ＝3时，y ＝9＋3b ＋c ＝3，∴3b ＋c ＋6＝0，故③正确；∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2＋bx ＋c ＜x ，∴x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，故④正确．故正确的为③④.8．解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，－b2a ＞0，∴b ＞0，∴2a－b ＜0.∵－b 2a ＝1，∴2a ＋b ＝0，a ＝－12b .当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12b －b ＋c ＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |＝3b －2c ，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0，∴P ＞Q .。
九年级数学下册解题技巧专题解决抛物线中与系数abc有关的问题新版北师大版
九年级数学下册解题技巧专题解决抛物线中与系数abc有关的问题新版北师大版a ，b ，c 有关的问题◆类型一 由已知函数的图象确定其他函数图象的位置1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的大致位置如图所示，那么直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( )第1题图 第2题图2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝a x 与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )3．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )第3题图 第4题图◆类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值4．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0D．abc＞0，b2－4ac＜05．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第6题图6．(2017·烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( ) A．①④B．②④C．①②③ D．①②③④7．(2017·营口一模)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的是________(填序号)．8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，比较P，Q的大小关系．参考答案与解析1．A2．C 解析：由y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，得a ＜0，－b2a ＞0，∴b ＞0，∴反比例函数y ＝a x的图象位于第二、四象限，正比例函数y ＝bx 的图象位于第一、三象限．故选C.3．B 解析：由一次函数的图象可知k ＞1，∴－k ＜0，－1<－1k<0，∴抛物线开口向下，对称轴在直线x ＝－1与y 轴之间，与y 轴的交点在(0，1)的上方．故选B.4．B 5.C 6.C7．③④ 解析：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴无交点，∴b 2－4ac ＜0，故①错误；当x ＝1时，y ＝1＋b ＋c ＝1，故②错误；∵当x ＝3时，y ＝9＋3b ＋c ＝3，∴3b ＋c ＋6＝0，故③正确；∵当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x 2＋bx ＋c ＜x ，∴x 2＋(b －1)x ＋c ＜0，故④正确．故正确的为③④.8．解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，－b2a＞0，∴b ＞0，∴2a－b ＜0.∵－b 2a ＝1，∴2a ＋b ＝0，a ＝－12b .当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12b －b ＋c＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |＝3b －2c ，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0，∴P ＞Q .。
最新湘教版九年级下数学解题技巧专题：解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题
解题技巧专题：解决抛物线中与系数a ，b ，c 有关的问题◆类型一 由某一函数的图象确定其他函数图象的位置【方法5】1．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则直线y ＝abx ＋c 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第2题图 第3题图 第4题图3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )4．★如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )◆类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①4ac <b 2；②a ＋c >b ；③2a ＋b >0.其中正确的有( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0D ．abc ＞0，b 2－4ac ＜07．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下列4个结论：①c >0；②若点B ⎝⎛⎭⎫－32，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－52，y 2为函数图象上的两点，则y 1<y 2；③2a －b ＝0；④4ac －b 24a<0.其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个第7题图 第8题图 8．(2017·安顺中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列4个结论：①4ac －b 2＜0；②3b ＋2c ＜0；③4a ＋c ＜2b ；④m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．★二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，试判断P ，Q 的大小关系．参考答案与解析1．C 2.D 3.B4．A 解析：∵一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，∴方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的根，分别为点P ，Q 的横坐标x P ，x Q .∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象与x 轴有两个交点，分别为(x P ，0)，(x Q ，0)．∵x P ＞0，x Q ＞0，∴选项A 符合条件．故选A.5．B 6.B7．B 解析：由抛物线交y 轴于正半轴，可知c >0，故①正确；∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线开口向下，－52<－32<－1，∴y 1>y 2，故②错误；∵对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1，即2a －b ＝0，故③正确；由函数图象可知抛物线最高点的纵坐标大于0，∴4ac －b 24a >0，故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选B.8．C 解析：∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴①正确；∵－b 2a＝－1，∴b ＝2a .∵当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，∴12b ＋b ＋c ＜0，∴3b ＋2c ＜0，∴②是正确；∵当x ＝－2时，y ＞0，∴4a －2b ＋c ＞0，∴4a ＋c ＞2b ，∴③错误；∵由图象可知当x ＝－1时该二次函数取得最大值，∴a －b ＋c ＞am 2＋bm ＋c (m ≠－1)，∴m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)，∴④正确．∴正确的结论有①②④.故选C.9．思路点拨：先根据图象判断出2a ＋b ，3b －2c ，2a －b ，3b ＋2c 的正负，然后将P ，Q 去绝对值，再用作差法来比较两数的大小．解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵－b 2a ＞0，∴b ＞0，∴2a －b ＜0.∵－b 2a＝1，∴b ＋2a ＝0.当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12b －b ＋c ＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0.∴P ＞Q .。
九年级数学(RJ)-4.解题技巧专题：抛物线中与系数a,b,c有关的问题--精选练习
解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的序是____________.答案：。
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解题技巧专题：解决抛物线中与系数
a，b，c有关的问题
◆类型一由已知函数的图象确定其他函数图象的位置
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1的大致位置如图所示，那么直线y＝ax＋b的图象可能是( )
第1题图第2题图
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a
x
与正比例函
数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )
3．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x ＋k的图象大致是( )
第3题图第4题图
◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
4．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．abc＜0，b2－4ac＞0
B．abc＞0，b2－4ac＞0
C．abc＜0，b2－4ac＜0
D．abc＞0，b2－4ac＜0
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0
B．c＜0
C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
第5题图第6题图
6．(2017·烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )
A．①④B．②④
C．①②③D．①②③④
7．(2017·营口一模)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b －1)x＋c＜0.其中正确的是________(填序号)．
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q ＝|2a－b|－|3b＋2c|，比较P，Q的大小关系．
参考答案与解析
1．A
2．C 解析：由y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，得a
＜0，－b
2a
＞0，∴b＞0，∴反比例函数y＝
a
x
的图象位于第二、四象限，正比例
函数y＝bx的图象位于第一、三象限．故选C.
3．B 解析：由一次函数的图象可知k＞1，∴－k＜0，－1<－1
k
<0，∴抛物
线开口向下，对称轴在直线x＝－1与y轴之间，与y轴的交点在(0，1)的上方．故选B.
4．B 5.C 6.C
7．③④解析：∵二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴无交点，∴b2－4ac＜0，故①错误；当x＝1时，y＝1＋b＋c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9＋3b＋c ＝3，∴3b＋c＋6＝0，故③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2＋bx＋c＜x，∴x2＋(b－1)x＋c＜0，故④正确．故正确的为③④.
8．解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，－b
2a
＞0，∴b
＞0，∴2a－b＜0.∵－b
2a
＝1，∴2a＋b＝0，a＝－
1
2
b.当x＝－1时，y＝a－b＋c
＜0，∴－1
2
b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∴3b＋2c＞0，∴P＝|2a＋b|＋|3b－2c|＝3b－2c，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|＝b －2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0，∴P＞Q.。