上海市重点：格致中学高三月考数学试卷及参考答案(2020.09)
精品解析：上海市格致中学2023届高三三模数学试题(解析版)
上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
2020年上海市东格致中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海市东格致中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π参考答案：B解答：截面面积为8，所以高，底面半径，所以表面积为.2. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A B C D.2参考答案：A略3. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则·=（▲ ）A．4 B．2 C．1 D．参考答案：D4. 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称，则答点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）。
已知函数则此函数的“友好点对”有对。
参考答案：2略5. 已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）(A)f（x0）=0 (B)f（x0）＞0(C)f（x0）＜0 (D)f（x0）的符号不确定参考答案：C6. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣2x2，函数g （x）=lg|x﹣2|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数为（）A．18 B．19 C．20 D．17参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数，数形结合求得结果．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数．函数g（x）=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数，等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数．在同一坐标系中作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的图象，可得共有18个交点，故选A．7. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A． B． C． D．参考答案：试题分析：由三视图知，该几何体是圆锥的四分之一，底半径和高均为，所以，其侧面积是圆锥侧面积的四分之一与两个等腰直角三角形面积之和.，选.考点：1.三视图；2.几何体的表面积.8. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………………………………………………（）．. . .参考答案：9. 若x，y满足约束条件则的最大值为（）A．－3 B．C．1 D．参考答案：D作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，），代入目标函数z=x+y得z=1+=．即目标函数z=x+y的最大值为．10. 已知数列{a n}的通项公式是，则A ．110B ．100C ．55D ．0参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算法则如下：；若，，则M ＋N ＝．参考答案： 512. 设定义在[﹣2，2]上的奇函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1+m ）+f （m ）＜0，则实数m 的取值范围为 ．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题．【分析】首先要考虑函数的定义域，得出一个参数m 的取值范围，然后在根据奇函数在对称区间上的单调性相同这一性质，得出在整个定义域上的单调情况，从而把原不等式通过移项，根据奇函数将负好移到括号内，再根据单调性去掉函数符号，又得到一个参数的取值范围，最后两个范围求交集可得最后的结果．【解答】解：∵f（x ）定义在[﹣2，2]∴即﹣2≤m≤1 ①又∵f（x ）定义在[﹣2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减 ∴f（x ）在[﹣2，0]上也单调递减 ∴f（x ）在[﹣2，2]上单调递减又∵f（1+m ）+f （m ）＜0?f （1+m ）＜﹣f （m ）=f （﹣m ） ∴1+m＞﹣m 即m ＞﹣ ②由①②可知：﹣＜m≤1 故答案为：（﹣，1]【点评】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的关系性质，即：“奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反”．还要注意考虑定义域的问题，这一点常常容易忽略，所以本题也属于易错题，是一道中档题．13. 已知点是椭圆上的点，直线（O 为坐标原点），P 为平面内任意一点。
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三(上)9月月考数学试卷
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三（上）9月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）不等式 1x＞3的解集为___ ．2.（填空题.3分）已知向量 a ⃗=(7，−1，5)，b ⃗⃗=(−3，4，7) .则 |a ⃗+b ⃗⃗| =___3.（填空题.3分）如果双曲线x 23m−y 2m=1 的焦点在y 轴上.焦距为8.则实数m=___ ．4.（填空题.3分）设函数f （x ）=x 2（x ＞0）的反函数为y=f -1（x ）.则f -1（4）=___ ．5.（填空题.3分）若2sinα•cosα-cos 2α=0.则cotα=___6.（填空题.3分）若复数z 的实部和虚部相等.且 za+2i =i （i 是虚数单位）.则实数a 的值为___ 7.（填空题.3分）已知一组数据-1.1.0.-2.x 的方差为10.则x=___8.（填空题.3分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创.南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法.有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”.自上而下.第一层1件.以后每一层比上一层多1件.最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元.从第二层起.货物的单价是上一层单价的 910.若这堆货物总价是 100−200(910)n万元.则n 的值为___9.（填空题.3分）若函数 f (x )={x 2−2，x ≤1lg |x −m |，x ＞1 在区间[0.+∞）上单调递增.则实数m 的取值范围为___ ．10.（填空题.3分）甲、乙两人玩猜数字游戏.先由甲心中任想一个数字.记为a.再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b.且a.b∈{n|0≤n≤9.n∈N *}.若|a-b|≤1.则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏.得出他们“心有灵犀”的概率为___11.（填空题.3分）若关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.则实数λ的取值范围是___12.（填空题.3分）已知数列a 1.a 2.….a n 是1.2.….n （n≥2.n∈N *）满足下列性质T 的一个排列.性质T ：排列a 1.a 2.….a n 有且仅有一个a i ＞a i+1（i∈{1.2.….n-1}）.则满足性质T 的所有数列a 1.a 2.….a n 的个数f （n ）=___13.（单选题.3分）如图水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A.B.C.D.14.（单选题.3分）点P （2.0）到直线 {x =1+4ty =2+3t .（t 为参数.t∈R ）的距离为（ ）A. 35 B. 45 C. 65 D. 11515.（单选题.3分）a.b 表示两条直线.α表示平面.下列命题正确的是（ ） A.若a⊥α.a⊥b .则b || α B.若a⊥α.b⊂α.则a⊥b C.若a || α.a⊥b .则b⊥α D.若a || α.b || α.则a || b16.（单选题.3分）设向量 a ⃗=(cosα，sinα) . b ⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x 1.x 2.….x 10中有4个 a ⃗ .其余为 b ⃗⃗ .向量y 1.y 2.….y 10中有3个 a ⃗ .其余为 b ⃗⃗ .则x 1y 1+x 2y 2+…+x 10y 10的所有可能取值中最小的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.517.（问答题.0分）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.∠ABC=90°.AB=BC=1.BB 1=2． （1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的大小； （2）求直线B 1C 1与平面A 1BC 的距离．18.（问答题.0分）在△ABC中.a=3.b-c=2.cosB=- 12．（Ⅰ）求b.c的值；（Ⅱ）求sin（B-C）的值．19.（问答题.0分）已知抛物线C关于y轴对称.且经过点（2.-1）（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程（2）设O为原点.过抛物线C的焦点F作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N.抛物线的准线分别交直线OM、ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点20.（问答题.0分）若数列{a n}、{b n}满足|a n+1-a n|=b n（n∈N*）.则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”．（1）若{b n}为常数列.且为{a n}的“偏差数列”.试判断{a n}是否一定为等差数列.并说明理由；（2）若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列.且a3-a2=6.{b n}为数列{a n}的“偏差数列”.求n→∞(1b1+1b2+1b3+⋯+1b n)的值；（3）设b n=6−(12)n+1.{b n}为数列{a n}的“偏差数列”.a1=1.a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1.若|a n|≤M对任意n∈N*恒成立.求实数M的最小值．21.（问答题.0分）已知函数y=f（x）.x∈D.如果对于定义域D内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f（x+T）＞m•f（x）成立.则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数.周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立.则称函数f（x）是D上的m级类周期函数.周期为T．（1）已知函数f（x）=-x2+ax是[3.+∞）上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a的取值范围；（2）已知T=1.y=f（x）是[0.+∞）上m级类周期函数.且y=f（x）是[0.+∞）上的单调递增函数.当x∈[0.1）时.f（x）=2x.求实数m的取值范围；（3）是否存在实数k.使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数.若存在.求出实数k和T的值.若不存在.说明理由．2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）不等式1x＞3的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0. 13）【解析】：将不等式化简后转化为一元二次不等式.由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】：解：由1x ＞3得1−3xx＞0 .则x（1-3x）＞0.即x（3x-1）＜0.解得0＜x＜13.所以不等式的解集是（0. 13）.故答案为：（0. 13）．【点评】：本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法.以及转化思想.属于基础题．2.（填空题.3分）已知向量a⃗=(7，−1，5)，b⃗⃗=(−3，4，7) .则|a⃗+b⃗⃗| =___【正确答案】：[1]13【解析】：先利用向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗⃗ .由此能求出|a⃗+b⃗⃗|．【解答】：解：∵向量a⃗=(7，−1，5)，b⃗⃗=(−3，4，7) .∴ a⃗+b⃗⃗ =（4.3.12）.∴ |a⃗+b⃗⃗| = √16+9+144 =13．故答案为：13．【点评】：本题考查向量的模的求法.考查空间向量坐标运算法则等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（填空题.3分）如果双曲线x23m −y2m=1的焦点在y轴上.焦距为8.则实数m=___ ．【正确答案】：[1]-4【解析】：将双曲线的标准方程.焦点在y轴上.焦距为8.列出方程.即可得到结论．【解答】：解：由题意.双曲线x 23m −y2m=1的焦点在y轴上.焦距为8.则-m-3m=16.∴m=-4．故答案为：-4．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.考查双曲线的性质.属于基础题．4.（填空题.3分）设函数f（x）=x2（x＞0）的反函数为y=f-1（x）.则f-1（4）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出原函数的反函数.取x=4即可求得f -1（4）．【解答】：解：由y=f（x）=x2（x＞0）.得x= √y .则函数f（x）=x2（x＞0）的反函数为y=f-1（x）= √x .∴f -1（4）= √4=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反函数的求法及函数值的求法.是基础题．5.（填空题.3分）若2sinα•cosα-cos2α=0.则cotα=___【正确答案】：[1]0或2【解析】：推导出cosα=2sinα.或cosα=0.由此能求出cotα的值．【解答】：解：∵2sinα•cosα-cos2α=0.∴cosα=2sinα.或cosα=0.∴cotα= cosαsinα=2．或cotα=0．故答案为：0或2．【点评】：本题考查三角函数值的求法.考查同角三角函数关系式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.3分）若复数z的实部和虚部相等.且za+2i=i（i是虚数单位）.则实数a的值为___ 【正确答案】：[1]-2【解析】：设z=m+mi（m∈R）.代入za+2i=i .整理后利用复数相等的条件求解．【解答】：解：设z=m+mi（m∈R）.由za+2i=i .得m+mi=i（a+2i）=-2+ai.∴a=m=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数相等的条件.是基础题．7.（填空题.3分）已知一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.则x=___【正确答案】：[1]7或-8【解析】：先求出一组数据-1.1.0.-2.x的平均数为x−25.再由一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.能求出结果．【解答】：解：一组数据-1.1.0.-2.x的平均数为：x = 15（-1+1+0-2+x）= x−25.一组数据-1.1.0.-2.x的方差为10.∴ 1 5 [（-1- x−25）2+（1- x−25）2+（0- x−25）2+（-2- x−25）2+（x- x−25）2]=10.解得x=7或x=-8．故答案为：7或-8．【点评】：本题考查实数值的求法.考查平均数、方差的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．8.（填空题.3分）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创.南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法.有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”.自上而下.第一层1件.以后每一层比上一层多1件.最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元.从第二层起.货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100−200(910)n万元.则n的值为___【正确答案】：[1]10【解析】：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（910）n-1.再由错位相减法求和得答案．【解答】：解：由题意可得第n 层的货物的价格为a n =n•（ 910 ）n-1.设这堆货物总价是S n =1•（ 910 ）0+2•（ 910 ）1+3•（ 910 ）2+…+n•（ 910 ）n-1. ① 由 ① × 910可得.910 S n =1•（ 910 ）1+2•（ 910 ）2+3•（ 910 ）3+…+n•（ 910 ）n . ②① - ② 可得 110 S n =1+（ 910 ）1+（ 910 ）2+（ 910 ）3+…+（ 910 ）n-1-n•（ 910 ）n =1−(910)n 1−910-n•（ 910 ）n =10-（10+n ）•（ 910）n .∴S n =100-10（10+n ）•（ 910 ）n . ∵这堆货物总价是 100−200(910)n万元.∴n=10. 故答案为：10．【点评】：本题考查了错位相减法求和.考查了运算能力.以及分析问题解决问题的能力.属于中档题．9.（填空题.3分）若函数 f (x )={x 2−2，x ≤1lg |x −m |，x ＞1 在区间[0.+∞）上单调递增.则实数m 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]m≤ 910【解析】：由f （x ）在（1.+∞）上单调递增可得x-m ＞0在（1.+∞）上恒成立.求得m≤1.由f （x ）在（0.+∞）上单调递增可得lg （1-m ）≥-1.从而可求得m 的范围．【解答】：解：由题意可知f （x ）在（1.+∞）上单调递增. ∴当x ＞1时.f （x ）=lg|x-m|=lg （x-m ）. x-m ＞0在（1.+∞）上恒成立． ∴m≤1.又f （x ）在（0.+∞）上单调递增. ∴lg （1-m ）≥-1.解得m≤ 910 ． ∴m 的取值范围是：m≤ 910 ． 故答案为：m≤ 910 ．【点评】：本题考查了分段函数的单调性.不等式恒成立问题.属于中档题．10.（填空题.3分）甲、乙两人玩猜数字游戏.先由甲心中任想一个数字.记为a.再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b.且a.b∈{n|0≤n≤9.n∈N *}.若|a-b|≤1.则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏.得出他们“心有灵犀”的概率为___ 【正确答案】：[1] 2581【解析】：分a=1或a=9.以及a 取2～8两类讨论即可．【解答】：解： ① 依题意.当a=1或9时.每种情况b 可取2个数字.共2×2=4种.他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为：2×2=4；② 当a 取2～8.每种情况b 都可取3个数字.共7×3=21种.他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为：8×2=16； 基本事件的总数为：21个. 所以他们“心有灵犀”的概率为：P= 4+219×9 = 2581． 故答案为： 2581 ．【点评】：本题考查了计数原理.古典概型的概率.分类后运算准确是关键.属于中档题． 11.（填空题.3分）若关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.则实数λ的取值范围是___【正确答案】：[1][-3.+∞）【解析】：由对数函数的单调性可得4x+1+λ•2x ＞1.即λ＞2-x -2x+2在x ＞0时恒成立.设t=2x （t ＞1）.f （t ）= 1t -4t.判定f （t ）的单调性.可得值域.即可得到所求范围．【解答】：解：关于x 的不等式 log 12(4x+1+λ•2x )＜0 在x ＞0时恒成立.可得4x+1+λ•2x ＞1.即λ＞2-x -2x+2在x ＞0时恒成立. 设t=2x （t ＞1）.f （t ）= 1t -4t.可得f （t ）在（1.+∞）递减. 可得f （t ）＜f （1）=-3.则λ≥-3.即λ的范围是[-3.+∞）． 故答案为：[-3.+∞）．【点评】：本题考查指数函数、对数函数的性质的运用.考查参数分离和换元法.运用函数的单调性是解题的关键.属于中档题．12.（填空题.3分）已知数列a 1.a 2.….a n 是1.2.….n （n≥2.n∈N *）满足下列性质T 的一个排列.性质T ：排列a 1.a 2.….a n 有且仅有一个a i ＞a i+1（i∈{1.2.….n-1}）.则满足性质T 的所有数列a 1.a 2.….a n 的个数f （n ）=___ 【正确答案】：[1]2n -n-1【解析】：利用归纳法求解.先求出f （3）．f （4）.f （5）.再由此推出f （n ）.最后证明结论即可．【解答】：解：∵当n=3时.1.2.3所有的排列有：（1.2.3）.（1.3.2）.（2.1.3）.（2.3.1）.（3.2.1）.（3.1.2）.其中满足仅存在一个i∈{1.2.3}.使得a i ＞a i+1的排列有：（1.3.2）.（2.1.3）.（2.3.1）.（3.1.2）； ∴f （3）=4；同理可得：f （4）=11.f （5）=26； ∴归纳出f （n ）=2n -n-1．证明：∵在1.2.….n 的所有排列（a 1.a 2.….a n ）中.若a i =n.（1≤i≤n -1）.从n-1个数1.2.3…n -1中选i-1个数从小到大排列为：a 1.a 2.….a i-1.其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置； ∴满足题意的排列个数为 C n−1i−1 ； 若a i =n.则满足题意的排列个数为f （n-1）.综上：f （n ）=f （n-1）+ ∑C n−1i−1n−1i−1 =f （n-1）+2n+1-1； ∴ f (n )=23(1−2n−3)1−2−(n −3)+f (3)=2n −n −1 ．故答案为：2n -n-1．【点评】：本题考查了数学归纳法.属于难题．13.（单选题.3分）如图水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A.B.C. D.【正确答案】：B【解析】：直接利用几何体和三视图之间的转换求出结果．【解答】：解：由于正三棱柱的两个下底面为等边三角形.所以上面的棱在下底面的射影在两底边的中线位置（实线）.如图所示：故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换.主要考查学生的空间想象能力.属于基础题型．14.（单选题.3分）点P （2.0）到直线 {x =1+4t y =2+3t.（t 为参数.t∈R ）的距离为（ ） A. 35B. 45C. 65D. 115【正确答案】：D【解析】：先把直线的参数方程化成普通方程.再根据点到直线的距离公式可得．【解答】：解：由 {x =1+4t y =2+3t消去参数t 可得3x-4y+5=0. 根据点到直线的距离公式可得d= √32+42 = 115 ．故选：D．【点评】：本题考查了直线的参数方程化成普通方程.点到直线的距离公式.属基础题．15.（单选题.3分）a.b表示两条直线.α表示平面.下列命题正确的是（）A.若a⊥α.a⊥b.则b || αB.若a⊥α.b⊂α.则a⊥bC.若a || α.a⊥b.则b⊥αD.若a || α.b || α.则a || b【正确答案】：B【解析】：当b⊂α时.a⊥α.则a⊥b；当b || α时.a⊥α.则a⊥b故当a⊥b.a⊥α时.故可得b⊂α或b || α；利用线面垂直的性质.可知正确；若a || α.a⊥b.则b与α平行、相交、在平面内；若a || α.b || α.则a.b与α没有公共点.但a || b不一定成立．【解答】：解：当b⊂α时.a⊥α.则a⊥b；当b || α时.a⊥α.则a⊥b故当a⊥b.a⊥α时.可得b⊂α或b || α.故A不正确；利用线面垂直的性质.可知若a⊥α.b⊂α.则a⊥b.故B正确；若a || α.a⊥b.则b与α平行、相交、在平面内.故C不正确；若a || α.b || α.则a.b与α没有公共点.但a || b不一定成立.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查的知识点是线面平行的判定.线面垂直的性质.线面垂直的判定.其中熟练掌握空间线面关系的判定定理和性质定理.是解答此类问题的关键．16.（单选题.3分）设向量a⃗=(cosα，sinα) . b⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x1.x2.….x10中有4个a⃗ .其余为b⃗⃗ .向量y1.y2.….y10中有3个a⃗ .其余为b⃗⃗ .则x1y1+x2y2+…+x10y10的所有可能取值中最小的值是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：B【解析】：先由平面向量数量积的运算可得：又a⃗• •a⃗ =cos2α+sin2α=1. b⃗⃗•b⃗⃗=(−sinα)2+ cos2α =1. a⃗•b⃗⃗=−sinαcosα+sinαcosα=0 .再结合分类讨论的数学思想方法分别讨论向量x1.x2.….x10中的向量与向量y1.y2.….y10中的向量相乘求其和即可得解．【解答】：解：因为向量a⃗=(cosα，sinα) . b⃗⃗=(−sinα，cosα) .向量x1.x2.….x10中有4个a⃗ .其余为b⃗⃗ .向量y1.y2.….y10中有3个a⃗ .其余为b⃗⃗ .又a⃗• •a⃗ =cos2α+sin2α=1. b⃗⃗•b⃗⃗=(−sinα)2+cos2α =1. a⃗•b⃗⃗=−sinαcosα+sinαcosα=0 . 要使x1y1+x2y2+…+x10y10的值最小.则向量x1.x2.….x10中的4个a⃗与向量y1.y2.….y10中的4个b⃗⃗相乘.其和为0.向量x1.x2.….x10中的3个b⃗⃗与向量y1.y2.….y10中的3个a⃗相乘.其和为0.向量x1.x2.….x10中剩下的3个b⃗⃗与向量y1.y2.….y10中剩下的3个b⃗⃗相乘.其和为3.综上可知：x1y1+x2y2+…+x10y10的所有可能取值中最小的值是3.故选：B．【点评】：本题考查了平面向量数量积的运算及分类讨论的数学思想方法.属中档题．17.（问答题.0分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ABC=90°.AB=BC=1.BB1=2．（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角.解三角形可得；（2）可证B1C1 || 平面A1BC.则B1到平面A1BC的距离h即为所求.由等体积法可得V B1−A1BC=V C−A1BB1.代入数据计算可得．【解答】：解：（1）由题意可得BC || B1C1.∴∠A1CB（或其补角）即为异面直线B1C1与A1C所成的角.由题意可知BC⊥平面ABB1A1.∴BC⊥A1B.∴△A1BC为直角三角形.∴tan∠A1CB= A1BBC =√AB2+BB12BC= √5 .∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan √5；（2）∵BC || B1C1.BC⊂平面A1BC.B1C1⊄平面A1BC.∴B1C1 || 平面A1BC.∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离. 不妨取B1.且设B1到平面A1BC的距离为h.由等体积法可得V B1−A1BC = V C−A1BB1.即13S△A1BC×h= 13S△ABB1×BC代入数据可得13 × 12×1× √5 ×h= 13× 12×2×1×1.解得h= 2√55∴直线B1C1到平面A1BC的距离为2√55【点评】：本题考查异面直线所成的角.涉及直线到平面的距离.等体积是解决问题的关键.属中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.a=3.b-c=2.cosB=- 12．（Ⅰ）求b.c的值；（Ⅱ）求sin（B-C）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB.代入已知条件即可得到关于b的方程.解方程即可；（Ⅱ）sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC.根据正弦定理可求出sinC.然后求出cosC.代入即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）∵a=3.b-c=2.cosB=- 12．∴由余弦定理.得b2=a2+c2-2accosB= 9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12) .∴b=7.∴c=b-2=5；（Ⅱ）在△ABC中.∵cosB=- 12 .∴sinB= √32.由正弦定理有：csinC =bsinB.∴ sinC=csinBb =5×√327=5√314.∵b＞c.∴B＞C.∴C为锐角.∴cosC= 1114.∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC= √32×1114−(−12)×5√314= 4√37．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式.属基础题．19.（问答题.0分）已知抛物线C关于y轴对称.且经过点（2.-1）（1）求抛物线C的标准方程及其准线方程（2）设O为原点.过抛物线C的焦点F作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N.抛物线的准线分别交直线OM、ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【正确答案】：【解析】：（1）设抛物线C：x2=-2py（p＞0）.代入点（2.-1）.解方程可得p.求得抛物线的方程和准线方程；（2）抛物线x2=-4y的焦点为F（0.-1）.设直线方程为y=kx-1.联立抛物线方程.运用韦达定理.以及直线的斜率和方程.求得A.B的坐标.可得AB为直径的圆方程.可令x=0.解方程.即可得到所求定点．【解答】：解：（1）设抛物线C ：x 2=-2py （p ＞0）经过点（2.-1）．可得4=2p.即p=2. 可得抛物线C 的方程为x 2=-4y.准线方程为y=1；（2）证明：抛物线x 2=-4y 的焦点为F （0.-1）.设直线方程为y=kx-1.联立抛物线方程.可得x 2+4kx-4=0.设M （x 1.y 1）.N （x 2.y 2）.可得x 1+x 2=-4k.x 1x 2=-4.直线OM 的方程为y= y 1x 1 x.即y=- x14 x. 直线ON 的方程为y= y 2x 2 x.即y=- x 24 x.可得A （- 4x 1 .1）.B （- 4x 2 .1）. 可得AB 的中点的横坐标为-2（ 1x 1 + 1x 2 ）=-2•−4k −4 =-2k. 即有AB 为直径的圆心为（-2k.1）.半径为 |AB|2 = 12 •| 4x 1 - 4x 2 |=2• √16k 2+164 =2 √1+k 2 .可得圆的方程为（x-2k ）2+（y-1）2=4（1+k 2）.化为x 2-4kx+（y-1）2=4.由x=0.可得y=-1或3．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点（0.-1）.（0.3）．【点评】：本题考查抛物线的定义和方程、性质.以及圆方程的求法.考查直线和抛物线方程联立.运用韦达定理.考查化简整理的运算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）若数列{a n }、{b n }满足|a n+1-a n |=b n （n∈N*）.则称{b n }为数列{a n }的“偏差数列”．（1）若{b n }为常数列.且为{a n }的“偏差数列”.试判断{a n }是否一定为等差数列.并说明理由；（2）若无穷数列{a n }是各项均为正整数的等比数列.且a 3-a 2=6.{b n }为数列{a n }的“偏差数列”.求n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n) 的值； （3）设 b n =6−(12)n+1 .{b n }为数列{a n }的“偏差数列”.a 1=1.a 2n ≤a 2n-1且a 2n ≤a 2n+1.若|a n |≤M 对任意n∈N *恒成立.求实数M 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）{a n }不一定为等差数列.如 a n =(−1)n ；（2）设数列{a n }的公比为q.解方程可得首项和公比.由等比数列的通项公式和求和公式.计算可得所求值；（3）由累加法可得数列{a n }的通项公式.讨论n 为奇数或偶数.求得极限.由不等式恒成立思想可得M 的最小值．【解答】：解：（1）{a n }不一定为等差数列.如 a n =(−1)n .则b n =2为常数列.但{a n }不是等差数列.（2）设数列{a n }的公比为q.则由题意.a 1、q 均为正整数.因为a 3-a 2=6.所以a 1q （q-1）=6=1×2×3.解得 {a 1=1q =3 或 {a 1=3q =2. 故 a n =3n−1 或 a n =3×2n−1 （n∈N*）.① 当 a n =3n−1 时. b n =2×3n−1 .1b n =12(13)n−1 . n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) = 121−13 = 34 ； ② 当 a n =3×2n−1 时. b n =3×2n−1 . 1b n =13(12)n−1 .n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) = 131−12 = 23 ； 综上. n→∞(1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n ) 的值为 34 或 23； （3）由a 2n ≤a 2n-1且a 2n ≤a 2n+1得. a n+1−a n =(−1)n [6−(12)n+1] = 6•(−1)n +(−12)n+1 故有： a n −a n−1=6•(−1)n−1+(−12)n . a n−1−a n−2=6•(−1)n−2+(−12)n−1 . …… a 2−a 1=6•(−1)1+(−12)2 . 累加得： a n −a 1=6[(−1)1+(−1)2+⋯+(−1)n−1]+[(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)n ]= 6×−1[1−(−1)n−1]2+14[1−(−12)n−1]1+12= −3[1−(−1)n−1]+1−(−12)n−16 .又a 1=1.所以 a n ={76−16(−12)n−1 n =2m −1， m ∈N ∗为奇数−296−16(−12)n−1 n =2m ， m ∈N∗ . 当n 为奇数时.{a n }单调递增.a n ＞0. n→∞a n =76 .当n 为偶数时.{a n }单调递减.a n ＜0. n→∞a n =−296 .从而0＜|a n |＜ 296 .所以M≥ 296 .即M 的最小值为 296 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式.考查分类讨论思想方法.化简运算能力.属于难题．21.（问答题.0分）已知函数y=f （x ）.x∈D .如果对于定义域D 内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f （x+T ）＞m•f （x ）成立.则称函数f （x ）是D 上的m 级类增周期函数.周期为T ．若恒有f （x+T ）=m•f （x ）成立.则称函数f （x ）是D 上的m 级类周期函数.周期为T ．（1）已知函数f （x ）=-x 2+ax 是[3.+∞）上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a 的取值范围；（2）已知T=1.y=f （x ）是[0.+∞）上m 级类周期函数.且y=f （x ）是[0.+∞）上的单调递增函数.当x∈[0.1）时.f （x ）=2x .求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k.使函数f （x ）=coskx 是R 上的周期为T 的T 级类周期函数.若存在.求出实数k 和T 的值.若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意-（x+1）2+a （x+1）＞2（-2+ax ）对一切[3.+∞）恒成立.转化为a ＜x 2−2x−1x−1 = (x−1)2−2x−1 =（x-1） −2x−1.利用基本不等式求解即可． （2）分类讨论f 得出f （x ）在[0.+∞）上单调递增.m ＞0且m n •2n-n ＞m n-1•2n-（n-1）.即m≥2．（3）当x∈[4n .4n+4].n∈Z 时.f （x ）=mf （x-4）=…=m n f （x-4n ）=m n [（x-4n ）2-4（x-4n ）].分类得出：-1≤m ＜0或0＜m≤1．【解答】：解：（1）由题意可知：f （x+1）＞2f （x ）.即-（x+1）2+a （x+1）＞2（-2+ax ）对一切[3.+∞）恒成立.（x-1）a ＜x 2-2x-1.∵x∈[3.+∞）∴a ＜x 2−2x−1x−1 = (x−1)2−2x−1 =（x-1） −2x−1. 令x-1=t.则t∈[2.+∞）.g （x ）=t −2t 在[2.+∞）上单调递增.∴g （t ）min =g （2）=1.∴a ＜1．（2）∵x∈[0.1）时.f （x ）=2x .∴当x∈[1.2）时.f （x ）=mf （x-1）=m•2x-1.当x∈[n .n+1]时.f （x ）=mf （x-1）=m 2f （x-2）=…=m n f （x-n ）=m n •2x-n . 即x∈[n .n+1）时.f （x ）=m n •2x-n .n∈N *.∵f （x ）在[0.+∞）上单调递增.∴m ＞0且m n •2n-n ＞m n-1•2n-（n-1）.即m≥2．（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0.4]时.y∈[-4.0].且有f （x+4）=mf （x ）. ∴当x∈[4n .4n+4].n∈Z 时.f （x ）=mf （x-4）=…=m n f （x-4n ）=m n [（x-4n ）2-4（x-4n ）]. 当0＜m≤1时.f （x ）∈[-4.0]；当-1＜m ＜0时.f （x ）∈[-4.-4m]；当m=-1时.f （x ）∈[-4.4]；当m ＞1时.f （x ）∈（-∞.0）；当m ＜-1时.f （x ）∈（-∞.+∞）；综上可知：-1≤m ＜0或0＜m≤1．问题（Ⅱ）：由已知.有f （x+T ）=T•f （x ）对一切实数x 恒成立. 即cosk （x+T ）=Tcoskx 对一切实数恒成立.当k=0时.T=1；当k≠0时.∵x∈R .∴kx∈R .kx+kT∈R .于是coskx∈[-1.1].又∵cos （kx+kT ）∈[-1.1].故要使cosk （x+T ）=Tcoskx 恒成立.只有T=±1.当T=1时.cos （kx-k ）=coskx 得到 k=2nπ.n∈且n≠0； 当T=-1时.cos （kx-k ）=-coskx 得到-k=2nπ+π.即k=（2n+1）π.n∈Z ；综上可知：当T=1时.k=2nπ.n∈Z ；当T=-1时.K=（2n+1）π.n∈Z．【点评】：本题综合考查了函数的性质.推理变形能力.分类讨论的思想.属于难题．。
上海市黄浦区格致中学高三(上)第二次月考数学试卷(解析版)
上海市黄浦区格致中学高三（上）第二次月考数学试卷一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于．3．已知||=1，||=，∥，则•=．4．不等式的解集为．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为．9．在的展开式中有项为有理数．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜015．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xsinθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①（2005!!）•（2004!!）=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C 的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于α的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1{a n}的前2n项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．参考答案与试题解析一.填空题1．已知复数，则复数z的虚部为﹣2．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解：复数===﹣1﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于∅．【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M ∩N．解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=∅，故答案为：∅．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，求函数的值域，化简M和N，是解题的关键．3．已知||=1，||=，∥，则•=．【分析】直接利用向量的数量积求解即可．解：||=1，||=，∥，则•=||||cos=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4．不等式的解集为[2，+∞）．【分析】不等式，可得，即可得出结论．解：不等式，可得，∴x≥2，∴不等式的解集为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查不等式的解法，考查学生转化问题的能力，属于中档题．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴是直线，则φ=．【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）求解即可．解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）其对称轴方程为2x+φ=+kπ，（k∈Z）∵图象的一条对称轴是直线，∴φ=+kπ，即φ=kπ，（k∈Z）∵﹣π＜φ＜0，当k=﹣1时，可得φ=．故答案为：．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．6．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．【分析】由不等式可知f（x），g（x）的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．解：x∈[0，π]，由不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f （x）g（x）＞0．根据图象可知，当x＞0时，其解集为：（0，），∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0，∴其解集为：（﹣π，﹣），综上：不等式的解集是，故答案为．【点评】本题以函数的图象为载体，考查函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查数形结合，转化，分类讨论等思想方法，解题的关键是不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f（x）g（x）＞0．7．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为16．【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16，故答案为：16．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状，及底面边长及棱锥的高是解答本题的关键．8．已知动点（x，y）符合条件，则范围为（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义即可得到结论．解：设z=，则z的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，1）由图象可知≥K OA=1，或．的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．9．在的展开式中有9项为有理数．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣1）r××．解：通项公式：T r+1为有理数，则r=0，6，12，18，24，30，当与都为整数且25为整数时，T r+136，42，48．∴展开式中有9项为有理数．故答案为：9．【点评】本题考查了二项式定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若a，b∈{1，2，3，…，11}，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆的概率是．【分析】求出满足题意的椭圆个数，即可求出概率．解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，a≠b，所以有两类，一类是a，b从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A82=56一类是a从9，10，两个数字中选一个，b从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72，所以所求概率为，故答案为．【点评】本题考查古典概型，考查二元一次不等式（组）与平面区域，椭圆的定义，组合知识，考查学生分析问题解决问题的能力．11．若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是．【分析】先换元，分类参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围．解：设a x=t（t＞0）∵∴∵t＞0，∴t+≥2∴∴∴m的取值范围是故答案为：【点评】本题考查方程有解，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=r，记点P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程的解集为．【分析】根据条件确定P的轨迹，利用轨迹对应的长度关系即可得到结论．解：P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．当0＜r≤1时，f（r）=3×=，当r∈（1，]时，轨迹长度由减小到增加，之后逐渐减小，由于f（1）=f（）=，∴关于r的方程的解集为，故答案为．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，解题的关键是认识到P的轨迹为以A为球心，PA为半径的球面与正方体的交线．二.选择题13．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．14．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ca2 D．ac（a﹣c）＜0【分析】根据不等式的基本性质，实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．解：∵c＜b＜a且ac＜0，故c＜0，a＞0，∴ab＞ac一定成立，又∵b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0一定成立，b2与a2的大小无法确定，故cb2＜ca2不一定成立，∵a﹣c＞0，∴ac（a﹣c）＜0一定成立，故选：C．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，实数的性质，难度不大，属于基础题．15．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R），能形成这种效果的只可能是（）A．y=xs inθ+1 B．y=x+cosθC．xcosθ+ysinθ+1=0 D．y=xcosθ+sinθ【分析】由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值，再利用点到直线的距离公式即可；解：由图形分析知转化为：原点到各圆周切线的距离为定值．对A：d=，此时d不是固定值，故舍去；对B：d=，此时d不是固定值，故舍去；对C：d=1，正确；对D：d=，此时d不是固定值，故舍去；故选：C．【点评】本题主要考察了对给定图形的分析推理，以及点到直线距离公式等知识点，属中等题．16．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b=﹣a 是解决本题的关键．17．对于正整数n，定义“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n•（n﹣2）•（n﹣4）…5•3•1；则：①（2005!!）•（2004!!）=2005!；②2004!!=21002•1002!；③2004!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5；上述命题中，正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出．解：①（2005!!）•（2004!!）=2005!，正确；②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=21002•1002!，正确；③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2的个位数是0，正确；④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1的个位数是5；上述命题中，正确的命题有4个．故选：D．【点评】本题考查了排列与阶乘的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，=，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC′所成的角为45°，则==，化为y2+4y+1=0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则，．若满足BP与AC'所成的角为45°，则==，化为y2+8y﹣2=0，∵0≤y≤1，解得，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．三.解答题19．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，；（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．【分析】（1）求出BD=1，AC=，SD=，由此能求出四棱锥S﹣ABCD的体积．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．解：（1）∵四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底面ABCD，，∴BD=1，AC==，SD==，S菱形ABCD===，∴四棱锥S﹣ABCD的体积V===．（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），S（0，0，），M（），B（，，0），=（），=（，﹣），设异面直线DM与SB所成角为θ，则cosθ===，，∴异面直线DM与SB所成角为．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．函数y=2x和y=x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．（1）设曲线C1，C2分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C1，C2对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；（2）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．【分析】（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x ，不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，利用分离参数法，可求k的取值范围；（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，根据零点存在定理，可得两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），由此可得a，b的值．解：（1）由题意，C1对应的函数为f（x）=x3，C2对应的函数为g（x）=2x不等式kf[g（x）]﹣g（x）＜0，等价于k•23x＜2x，则k＜4﹣x对任意x∈（0，1）恒成立∵，∴（2）令φ（x）=g（x）﹣f（x）=2x﹣x3，则x1，x2为函数φ（x）的零点，由于φ（1）=1＞0，φ（2）=﹣4＜0，φ（9）=29﹣93＜0，φ（10）=210﹣103＞0，则方程φ（x）=f（x）﹣g（x）的两个零点x1∈（1，2），x2∈（9，10），因此整数a=1，b=9．【点评】本题考查函数的图象与解析式，考查函数的零点，正确运用零点存在定理是关键．21．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C 的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S；（1）当时，求S关于α的函数关系式；（2）当时，求S的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G，且，求点G在“一个来回”中被照到的时间．【分析】（1）根据题意过点O作OH⊥BC于H．再讨论α的范围，可得当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S=S正方形OABH ﹣S△OAE﹣S△OHF；当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S=S△OEF．由此即可得到当0≤α＜时S关于α的函数表达式；（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；（3）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足当，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），此时，AE=tanα，FH=tan（﹣α），∴S=S正方形OABH ﹣S△OAE﹣S△OHF；当，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），EH=，FH=；（2）当，；即S=2﹣，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．，当tanα=﹣1时，S取得最大值为2﹣（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=，其中点G被照到时，共转了2×=，∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×=2分钟；【点评】本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．23．设函数f（x）=x2﹣（3k+2k）x+3k•2k，x∈R；（1）若f（1）≤0，求实数k的取值范围；，a2k]，求a1+a2+a3+a4及数列（2）若k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1{a n}的前2n项和S2n；（3）对于（2）中的数列{a n}，设，求数列{b n}的前n项和T n的最大值．【分析】（1）由f（1）≤0，可得1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k ﹣1）≤0，解出即可得出实数k的取值范围．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，由于k为正整数，，a2k]，可得：当k=1时，2≤x≤3，a1=2，a2=3．当设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1k=2时，4≤x≤6，a3=4，a4=6．当k=3时，8≤x≤9，a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，a7=12，a8=16．当k≥5时，2k=（1+1）k＞3k．可得a2k﹣1=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．即可得出数列{a n}的前2n项和S2n．（3）对于（2）中的数列{a n}，=．可得：T1=，T2=，…，T2n＜T2n，而T2n≤T2，+1即可得出．解：（1）∵f（1）≤0，∴1﹣（3k+2k）+3k•2k≤0，化为：（2k﹣1）（3k﹣1）≤0，∴，或．解得k∈∅，或．∴实数k的取值范围时．（2）x2﹣（3k+2k）x+3k•2k≤0，化为（x﹣3k）（x﹣2k）≤0，，a2k]，∵k为正整数，设f（x）≤0的解集为[a2k﹣1∴当k=1时，2≤x≤3，∴a1=2，a2=3．当k=2时，4≤x≤6，∴a3=4，a4=6．当k=3时，8≤x≤9，∴a5=8，a6=9．当k=4时，12≤x≤16，∴a7=12，a8=16．当k≥5时，2k=（1+1）k≥2（1++）=k2+k+2＞3k．=3k，a2k=2k．（k=4时也成立）．∴a2k﹣1∴a1+a2+a3+a4=2+3+4+6=15．n≥4时，数列{a n}的前2n项和S2n=a1+a2+…+a8+a9+a10+…+a2n+a2n﹣1=15+8+9+12+16+3（5+6+…+n）+（25+26+…+2n）=60+3×+=+n﹣2+2n+1．经过验证，n=1，2，3时也成立．∴S2n=+n﹣2+2n+1．（3）对于（2）中的数列{a n}，=．∴b1=﹣，b2=，b3=﹣，b4=，…，则T1=，T2=，…，T2n+1＜T2n，而T2n≤T2，∴数列{b n}的前n项和T n的最大值为．。
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年上海中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，若点P，A，B，C，D 都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+（﹣x）2=x2﹣2+4，∴2+x2=x2﹣2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．2. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合的运算A1C因为，所以，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.3. 已知等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．－10 B．－11 C．－12 D．－14参考答案：C4. 若,且,则与的夹角是A. B. C. D.参考答案：D略5. 设函数若，则关于x的方程的个数为（A）（B）（C）（D）4参考答案：答案：C6. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A．B．C．D．参考答案：C略7. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）A．，y1＞y2 B．，y1=y2C．，y1=y2 D．，y1＜y2参考答案：B8. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M （x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①则?=1?x+0?y=x，由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+x﹣3，则f（x）的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点当x＞0时，令f（x）=2x+x﹣3=0，则2x=﹣x+3，分别画出函数y=2x，和y=﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点． 综上所述，f （x ）的零点个数为3个， 故选C ．【点评】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点． 10. 设i 是虚数单位，复数( ) A ．3﹣2iB ．3+2iC ．2﹣3iD ．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i ，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于 ．参考答案：712. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是．参考答案：13. 已知，若实数满足则的最小值为 ▲ .参考答案：略14. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x ，y ）的值依次记为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），若程序运行中输出的一个数组是（t ，﹣8），则t 为 ．参考答案：8115. 已知则与方向相同的单位向量为 .参考答案：16. 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则p∈B的概率是▲．参考答案：答案：17. 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第5行中白圈与黑圈的“坐标”为_______________.参考答案：(40,41)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知复数2iiz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为.2．函数()ln f x x 的定义域为3．若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则实数m ＝．4．已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{40}B x x =-≤<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是.5．等比数列{}n a 满足11a =，23520a a a +=，则1i i a +∞==∑.6．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是.21136830224455941113367895024558897．二项式82x ⎛⎝的展开式的常数项是．8．已知()()000,01P x y x <<是曲线1C =上一点，作曲线C 在点P 处的切线l ，l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB +=.9．如图（1），在长方体ABCD EFGH -中，2AB BC ==，1AE =，O 为上底面EFGH 的中心.现将矩形EFGH 绕点O 在原平面内顺时针旋转π(0)4θθ<≤角，连接AE 、DE 、AF 、BF 、BG 、CG 、CH 、DH ，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球M的球面上，则球M 的表面积是.10．已知())(0,02π)f x x ωϕωϕ+><<，函数()y f x =的部分图像如图所示，已知点A 、D 为()y f x =的图像与x 轴的交点，其中1,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 、C 分别为()y f x =的图像的最高点和最低点，且212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=.11．已知k 为常数，若关于x 的不等式21()e ex kx k -≤对任意的(0,)x ∈+∞都成立，则实数k 的取值范围为.12．从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆1C 、2C ，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为1e 、2e ，2C 在1C 内，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为M l ，若原点O 到直线M l 的距离为定值1，则2212e e -的最大值为.二、单选题13．已知a 、b 是非零实数，若a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b <B ．22ab a b<C ．2211ab a b<D ．b a a b>14．已知事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则下列选项不一定成立的是（）A ．()()()()1P B A B A P P =- ；B ．()()()P A B P A P B =+ ；C ．()()()P A B P P B A = ；D ．()()()P A B P B A P A B =⋂.15．已知圆锥S O -的底面半径为2，高为4，点P 为圆锥底面上任意一点，点Q 为圆锥侧面（点Q 异于顶点S 且不在底面圆周上）上任意一点，则OP SQ ⋅的取值范围为（）A ．(8,8)-B ．[0,8)C ．[4,4]-D ．(4,4)-16．已知数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足对任意正整数n ，都有()()110n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是{}n a 的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{}n a ，不存在等差数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列；②对任意给定的等比数列{}n a ，都存在等比数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列.下列结论正确的是（）A ．①与②都是真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①与②都是假命题.三、解答题17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．已知()sin ()f x x x x =+∈R .(1)是否存在正数m ，使得()()f x f m x =-对x ∈R 都成立？若存在，求出m 的一个值，若不存在，请说明理由；(2)写出函数()y f x =的一个周期，并求函数()y f x =的值域.19．2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A 和B ，已知A 和B 烧制成功率分别为80%和90%，烧制成功一个A ，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个B ，盈利80元，否则亏损20元.(1)设X 为烧制一个A 和一个B 所得的利润之和，求随机变量X 的分布和数学期望；(2)求烧制4个A 所得的利润不少于80元的概率；(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95[)95,100年龄低于45岁61442317年龄不低于45岁4647358根据调查数据完成下列22⨯列联表，并依据显著性水平0.05α=的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？非常满意满意合计年龄低于45岁年龄不低于45岁合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++，2()P k χα≥≈，α与k 的若干对应数值见下表：α0.250.050.005k1.3233.8417.87920．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>A 、B 分别为椭圆Γ的左、右顶点.过点(1,0)C 作斜率为()110k k ≠的动直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点；当1k 变化时，ABM 面积的最大值为2.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当11k =时，求AMN 的面积；(3)如图，设M 关于原点O 的对称点为P ，直线AP 、BN 交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.21．函数()y f x =的导函数为()y f x '=，令()()()g x f x f x '=，称()y g x =是()y f x =的特征函数.若()0g x ≥对一切(,)x m n ∈恒成立，则称函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数.(1)已知()e x f x x =，判断函数()y f x =是否是(0,)+∞上的绝对增函数，并说明理由；(2)已知()sin()f x x θ=+，函数()y f x =是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的绝对增函数，求θ的值；(3)函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数，其特征函数()y g x =在(,)m n 上有唯一的零点0x ，求证：0x 是函数()y f x '=的极值点.。
上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试卷附答案详析
上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．1153．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 4．设向量(cos ,sin )a αα=r ，(sin ,cos )b αα=-r ，向量1210,,,x x x ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有4个a ，其余为b ，向量1210,,,y y y ⋅⋅⋅u r u u r uu r 中有3个a ，其余为b ，则11221010x y x y x y ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅u r u r u u r u u r uu r uu r 的所有可能取值中最小的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题5．不等式13x>的解集为________6．已知向量(7,1,5)a =-r ，(3,4,7)b =-r ，则||a b += ________7．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________8．函数2()f x x =，(0,)x ∈+∞的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=________9．若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________10．若复数z 的实部和虚部相等，且i 2iz a =+（i 是虚数单位），则实数a 的值为________11．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________12．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910，若这堆货物总价是9100200()10n -万元，则n 的值为________13．若函数221()lg 1x x f x x m x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________14．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________15．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____16．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）求直线11B C 与平面1A BC 的距离.18．在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．19．已知抛物线C 关于y 轴对称，且经过点(2,1)-.（1）求抛物线C 的标准方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M 、N ，抛物线的准线分别交直线OM 、ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.20．若数列{}n a 、{}n b 满足1||n n n a a b +-=(n ∈N)，则称{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”.（1）若{}n b 为常数列，且为{}n a 的“偏差数列”，试判断{}n a 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{}n a 是各项均为正整数的等比数列，且326a a -=，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，求1231111lim()n nb b b b →∞++++ 的值；（3）设116()2n n b +=-，{}n b 为数列{}n a 的“偏差数列”，11a =，221n n a a -≤且221n n a a +≤，若||n a M ≤对任意n ∈*N 恒成立，求实数M 的最小值.21．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.解析上海市格致中学2020届高三9月开学考试数学试题(全卷满分150分；考试用时120分钟)一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点()2,0P 到直线14,23,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t R ∈）的距离为（）A ．35B ．45C ．65D ．115【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由1423x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得3x ﹣4y +5＝0，根据点到直线的距离公式可得d 223204511534⨯-⨯+==+．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．若a b 、表示两条直线，α表示平面，下列说法中正确的为（）A ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则b α∥B ．若a α∥，a b ⊥r r ，则b α⊥C ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r rD ．若a α∥，b α∥，则a b 【答案】C 【解析】对于选项A ，b 与α可能平行，也可能在平面内，故A 不正确。
2020届格致中学高三月考数学试卷
2018届格致中学高三月考数学试卷2017.10一. 填空题1. 集合{1,2,3,4,5}A =，{||3|1}B x x =-≤，则A B =2. 直线l 过点(2,1)M 与直线310x y +-=垂直，则直线l 的方程为3. 已知tan 2α=，则3sin cos sin 3cos αααα-=+ 4. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若0d >，且100S =，则使得0n a <的n 的 最大值等于5. 已知实数x 满足2|log 4|5x i +≥（i 是虚数单位），则x 的取值范围是6. 设集合{(,)|10M x y x y =-+≥且20x y +-≤且0}y ≥，P M ∈，A 点坐标为(0,1)-， 则||AP 最大值与最小值之差等于7. 与椭圆22195x y +=有共同焦点，且焦点到渐近线距离等于1的双曲线方程为 8. 从由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个，所取到的 数大于3400的概率等于 （结果用最简分数作答）9. 设正整数m 满足：二项式21()m x x +的展开式含有x 的一次项.若将满足条件的正整数m 由从小到大排成一个数列{}n a ，则此数列的第2017项2017a =10. 定义在D 上的函数()f x ，若存在0x D ∈，对于任意的x D ∈都有0()()f x f x ≤成立， 则称0x 为函数()f x 的极大值点，若函数()sin f x x ω=（0ω>）在区间(0,)π上恰好有三 个极大值点，则ω的取值范围是11. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是正方体（包括表面）中的动点，且满足 11132AB A P ≤⋅≤，则点P 所形成的几何体的体积等于 12. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2]2=，[1.5]1=，[ 1.5]2-=-，若函数()1xxa f x a =+ （0a >，1a ≠），则11()[()][()]22g x f x f x =-+--的值域为二. 选择题13. 给出下列命题：（1）若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；（2）函数()f x 在区间[,]a b 上存在反函数的充要条件是()f x 在区间[,]a b 上是单调函数；（3）函数()f x 在定义域D 上的反函数为1()f x -，则对于任意的0x D ∈都有11000(())(())f f x f f x x --==成立；其中正确的命题为（ ）A.（1）B.（1）（2）C.（1）（3）D.（1）（2）（3）14. 已知1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c 都是非零实数，集合2111{|0,}A x a x b x c x R =++=∈， 2222{|0,}B x a x b x c x R =++=∈，则“A B =”是“111222a b c a b c ==”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 在空间坐标系中，高为1，底面边长也为1的正三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与z 轴平行，设此三棱柱的左视图的面积为S ，则S 的最大值与最小值之差为（ ）A. 12B. 312-C. 232-D. 3416. 已知1{(,)|()()0}A x y y x y x =--≥，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤，则A B 所表示的平面区域的面积等于（ ）A. 3πB. 2π C. 34π D. 45π 三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA λ==，M 、N 分别是1A B 与11B C 的中点；（1）求证：MN ∥平面11ACC A ；（2）是否存在λ的值，使得MN 与AC 所成角为4π？ 若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由； 18. 已知向量(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(cos sin )b x x x ωωω=--，设函数()f x a b λ=⋅+的图像关于直线x π=对称，其中ω、λ为常数，且1(0,)2ω∈； （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图像经过点(,0)4π，求函数()f x 在区间3[0,]2π上的取值范围； 19. 函数()y f x =的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00()f x x =成立，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”； （1）若2()f x ax bx c =++（0a ≠）有两个不动点1-、3，求bc 的最小值；（2）若0a >，且2()f x ax bx c =++有两个不动点m 、n 满足：10m n a<<<， 求证：当(0,)x m ∈时，()f x m <；20. 已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B 两点；（1）若(1,0)Q ，求直线QA 、QB 的方程；（2）设||MQ t =，用t 表示AQB ∠的余弦值，并求QA QB ⋅的最小值；（3）若||3AB =，试求直线MQ 的方程； 21. 已知点111(,)P a b 、222(,)P a b 、、(,)n n n P a b （*n N ∈），都在函数()x f x p =（0p >，1p ≠）的图像上；（1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1p >，函数()f x 的反函数为1()f x -，若函数()y f x =与函数1()f x -的图像有公 共点M ，求证：M 在直线y x =上；（3）设12p =，n a n =（*n N ∈），过点n P 、1n P +的直线n l 与两坐标轴围成的三角形面积 为n c ，问：数列{}n c 是否存在最大项？若存在，求出最大项的值，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. {1,2,3,4,5}2. 310x y -+=3.54 4. 5 5. 1(0,][8,)8+∞6.1- 7. 2213x y -= 8. 1225 9. 6050 10. 913(,]22 11. 1612. {0,1}- 二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）略；（2）存在，1λ=；18.（1）3T π=；（2）[1,2]-；19.（1）38-；（2）略；20.（1）1x =，3(1)4y x =--；（2）22cos 1AQB t∠=-，3；（3）2y =； 21.（1）略；（2）略；（3）max 2()1n c c ==。