【金考卷】2016高考数学(文,通用版)集训指南：指点迷津--高考试题中数列求和的常用方法与技巧(pdf版)
2016届高考数学理命题猜想专题10数列、等差数列﹑等比数列(原卷版)
命题猜想十 数列、等差数列﹑等比数列【考向解读】1.2016年高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、(1)[2015·广东卷] 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________．(2)已知在等比数列{a n }中，a 2a 3a 7＝8，则a 4＝( )A ．1B ．4C ．2D ．2 2【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ，m ＋n ＝2p ⇒a m ＋a n ＝2a p ；等比数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m a n ＝a p a q ，m ＋ n ＝ 2p ⇒a m a n ＝a 2p .【变式探究】 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －1【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n . 【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a n a n －1＝q(q 为常数且q≠0，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题例3 、(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )A ．10B ．15C ．－5D ．20(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a·2n －1＋16，则a 的值为( ) A ．－13 B.13 C ．－12D.12【感悟提升】 数列{a n }中，a n 与S n 的关系为：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1(*)，当n ＝1时，a 1＝S 1.若a 1＝S 1满足(*)，则a n ＝S n －S n －1(n ∈N *)；若a 1＝S 1不满足(*)，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2. 【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合例4 、[2015·天津卷] 已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n ∈N *）.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.【高考真题解读】1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、62.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n 项和，且，，则________．5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．7.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） B. C. D.8.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .9. 【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则( )。
《2017参考》金版教程2016高考数学文二轮复习训练2-1-3数列Word版含解析
1．[2015·郑州质检一]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 答案 D解析 S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2， 故d ＝a 3－a 2＝－2.2．[2015·西安八校联考]在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19答案 A解析 a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.3．设数列{a n }是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1、S 2、S 4成等比数列，则a 2015＝( )A ．4030B ．4029C ．2014 D.40292 答案 D解析 因为S 1、S 2、S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 1＋1)2＝a 1(4a 1＋6)，解得a 1＝12.所以a n ＝12＋(n －1)×1＝n －12(n ∈N *)，故a 2015＝40292，选D.4．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．2＋3 2D ．2＋2 2 答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0.因为a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选A.5．若a ，b ，c 成等比数列，其中0<a <b <c <1，n ∈N *，且n ≠1，则log a n ，log b n ，log c n 组成的数列( )A ．是等比数列B ．是等差数列C ．每项的倒数成等差数列D ．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂 答案 C解析 解法一：1log c n －1log b n ＝log n c －log n b ＝log n c b ，1log bn －1log a n ＝log n b －log n a ＝log nb a ，∵c b ＝b a ，∴1log c n －1log b n ＝1log b n －1log a n ，即各项的倒数成等差数列．故选C.解法二：取a ＝18，b ＝14，c ＝12，n ＝2，则log a n ＝－13，log b n ＝－12，log c n ＝－1，所以各项的倒数成等差数列．故选C.6．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 2＝( )A.34 B ．1 C.43 D.12 答案 A解析 由题意可设数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公差为d (d ≥0)．因为正项数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 3＝3a 1＋3d .又{S n }也是公差为d 的等差数列，所以S 2＝2a 1＋d ＝a 1＋d ，两边平方得2a 1＋d ＝a 1＋2d a 1＋d 2 ①，S 3＝3a 1＋3d ＝a 1＋2d ，两边平方得3a 1＋3d ＝a 1＋4d a 1＋4d 2 ②，②－①得a 1＝－2d ＋2d a 1＋3d 2 ③，把③代入①得d (2d －1)＝0，解得d ＝0或d ＝12.当d ＝0时，代入③得a 1＝0，不合题意；当d ＝12时，代入③得a 1＝14.所以a 2＝a 1＋d ＝14＋12＝34，故选A.7．[2015·沈阳质检一]数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案 323(1－4－n )．解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n )．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝(2＋cos n π)·(a n－1)＋3，n ∈N *，设{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝________(用n 表示)．答案 3n －1＋n 2－1解析 当n 是奇数时，cos n π＝－1；当n 是偶数时，cos n π＝1.所以当n 是奇数时，a n ＋2＝a n ＋2；当n 是偶数时，a n ＋2＝3a n .又a 1＝1，a 2＝2，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数2×3n2－1，n 为偶数，故S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋6＋…＋2×3n －1)＝3n ＋n 2－1，所以S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n ＋n 2－1－2×3n －1＝3n －1＋n 2－1.9．[2015·南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．答案 2解析 记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求{b n }的通项公式．解 (1)因为a n ＋S n ＝1，所以a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减得a n＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，所以2a n ＋1＝a n ， 又当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，所以a 1＝12， 所以{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)因为b n ＋1＝b n ＋a n ，所以b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以当n ≥2时，b 2－b 1＝12，b 3－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，相加得b n －b 1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b n ＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2－12n－1.11．[2015·贵州七校联盟联考]已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36q (2＋d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23，q ＝6∴⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝13(5－2n )b n ＝6n －1. (2)若a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线y ＝2x 2－2上．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)记b n ＝2n －1a n，试求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意得S n ＝2a n －2， 所以S n －1＝2a n －1－2(n ≥2，n ∈N *)．两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 又a 1＝S 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2×2n －1＝2n，b n ＝2n －12n ，所以T n ＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1，两式相减得12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)×12n ＋1，即12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n －12－(2n －1)×12n ＋1＝2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－(2n －1)×12n ＋1，所以T n ＝3－12n －2－(2n －1)×12n ＝3－2n ＋32n .。
2016年金太阳高考押题 精粹 数理(学生用卷)
2016年金太阳高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
一、选择题（30个小题）1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()R A B ð等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A.121 C.1D.124.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos yx =5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）A.12 B.2 C.37.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥xy 的概率是（ ）A.92B.97C.61D.568.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12 C ．－3 D ．139.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.610.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2C. 3D.4＋2 311.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题： p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 312.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cmD.73cm14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4015.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.291616.在某次联考测试中，学生数学成绩X ()()21000N σσ> ,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.217．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ）A.2544B.1332C.2532D.132018.已知()2cos 2,21xxf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 119.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131-21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）3 C.222.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.2B.C.223.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2， C ．[2 D ．(02，24.已知向量AB、AC、AD满足AC AB AD =+,2AB = ,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=- ,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π625.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26B.26-C.26+3D.26-+326.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( )A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,+∞29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(1AC = ,()BD = ,则AB CD ⋅ 的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4-30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题（4个小题）31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30 ，则球O 的表面积为________．32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n项和,则2016S = ___________．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .三、解答题（14个小题）35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+.(1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式；(2)设数列{n b }满足3n n b a =，求适合方程1223145 (32)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b满足1n a nnb a +=，求数列{}nb 的前n 项和n T .39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较； (2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅．若点P 满足+=2． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）． 所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<.47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题 A.选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M .(1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.B.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =,求直线l 的倾斜角α的值．C.选修4-5：不等式选讲 设函数()121f x x x =--+的最大值为m .（1）求m ； （2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.48.（本小题满分12分）从下列三题中选做一题 A.选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ． （1）求证：PC PD =AC BD；（2）若AC=3，求AP •AD 的值．B.选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C .(1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN⋅的取值范围.C.选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆．（1）求实数m 的取值范围B ； （2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m ab c++=, 求证：9232a b c ++≥.参考答案一、选择题（36个小题）1. 【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<< ð2. 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3. 【答案】A【解析】由()1i 1i i z-=-+=i ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z 的实部为12,故选A ． 4. 【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5. 【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6. 【答案】A【解析】1,2,a c ==∴ C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27. 【答案】D 【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8. 【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的 2s =.9. 【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序，10. 【答案】：C【解析】：a 在+a b上的投影为2()||⋅+====+a a b a b11. 【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D. 12. 【答案】B【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B. 13. 【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去一个三棱锥11C B EF -后所得的多面体，其体积为1123222112.323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14. 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +， ∴12020x x +=. 又120516516,20x x x x x x +=+∴+= . 15. 【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16. 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ． 17. 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231*********A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=. 18. 【答案】A【解析】因为()2cos 221xxf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x x x x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0,所以ππ()() 2.33f f -=-=-19. 【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=sin 2ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ． 20. 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++ ，即1283a a a +++=- ．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125aa a a +++=--= ，故选C ．21. 【答案】D 【解析】显然PF PA>,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF=.易知A (0)a ，,P 2()a abc c ， ,所以2222()()()a ab a c a c c-+=-,222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D. 22. 【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin 3θ=． ∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=23. 【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24. 【答案】A【解析】DE BF ⋅= 22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=- .由2CD AB == ,1BC AD == ,可得1cos 2CB CD 〈〉= ，,所以π3CB CD 〈〉= ，,从而π3AB AD 〈〉= ，.故选A.25. 【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D. 26. 【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27. 【答案】C 【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos x f x f x x '<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>()()63f ππ<，故选C ．28. 【答案】B 【解析】设切点为(),ln Qt t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t at=,设()ln t g t t=,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t-'= ,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e ,结合()g t 图象,可得110e ea a <<⇒> ,故选B. 29. 【答案】C【解析】取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则21211.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==-,(221,CD x y =-,求得222211()()2222AB CD x y ⋅=++--≥- ,当11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅ 取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C. 30. 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ．二、填空题（4个小题）31. 【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ，易知1AO 1Rt OO A ∆中，12cos 30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=. 32. 【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =.33. 【答案】2520-【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34. 【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2ng n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++- ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++- ＝113(21)n ++++- ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++- ＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+ ，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=- ．又(1)(1)f g=＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++- ＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-= ．三、解答题（14个小题）35. 【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin 823bc bc π==.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②， 得()2828b c +-=，∴6b c +=.36. 【答案】（1）45；（2 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sincos 4cossin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π. 又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB37. 【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d=或0d =（舍），故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=-(2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n =38. 【答案】（1）21na n =-；（2）1(23)26n nT n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2n n nb n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++-- ∴1(23)26n n T n +=-+.39. 【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；② ()2,E X =().5D X =【解析】：2200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5.其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40. 【答案】（1） 1.5,AB x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人.A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦ . 从B 校样本数据统计表可知：B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分）， B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦ . 因为,AB x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =， 故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41. 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析．【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM - ．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =，因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅= ，所以EM n ⊥ ，又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ， 所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点，所以OM ∥PB ，且12OM PB =．又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO . 因为EM⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-= ，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩ 取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤， 则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=- ，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-．所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅25===． 所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42. 【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1AB C E M ，∴()2,0,1BM =- ，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅= ，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<，设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n = ，∵121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =， ∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ， ∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅=43. 【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=- ．(,)MN m n =-，∴由0=⋅，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由+=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=-- ，224(2,)a FT a y =-- ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a=⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =-- ．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =- ．(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．44. 【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，0(,)P x y，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m = .因为,,A P M 三点共线，所以AP AM，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥ ，即0RM RN ⋅=.因为(,)RM t m =- ，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t +=，整理得2202033yt x =--，又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n 又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m =同理，可得n =，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-， 所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0).45. 【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解．若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤ （3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()l n 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈ ，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n ++++++++<-+-+-+-=-<-46. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x x f x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅-令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)x h x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0x x e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0x h x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0x h x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， 又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<. 令()()0t f t a t e a '=⋅-=，解得t a t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+. 因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x e x x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+， 则22()(1)(21)t g t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0t t t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e =<-=， 又因为122111()(1)0x f x e x x =-->，所以1240()f x e<<. 当10t -<<时，因为2210,210,0t t t e -<-<>，所以'()0g t <，则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=. 综上知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 47.A.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, 同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD .（2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD=∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC =∠∠, 因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅. B. 【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-==∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π． C.【答案】（1）2m =；（2）1． 【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤；当11x -<<时，()132f x x =--<；当1x ≥时，()34f x x =--≤-，故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当2a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.A.【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD .（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC∽△ACD .∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP ACB.【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=, 所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=, 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= ,即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TMTN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . C.【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m 的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭21922≥=.。
2016届高考数学(理)考纲解读及热点难点试题演练专题08数列(专题)8数列(教师版)
【2016年高考考纲解读】 2016高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题． 【重点、难点剖析】1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n－m.2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为 S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1， 特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q， 则S n ＝a －aq n .3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ； (2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *). 4．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列；(3)裂项法：求{a n }的前n 项和时，若能将a n 拆分为a n ＝b n －b n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝b 1－b n ＋1； (4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n 不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S n .例如对于数列{a n }：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，可证其满足a n ＋6＝a n ，在求和时，依次6项求和，再求S n . 5．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式. 【题型示例】题型1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】 (2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案 2011【变式探究】(1)(2014·全国大纲卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．【命题意图】(1)本题主要考查等比数列的性质、对数的运算．(2)本题主要考查等差数列的性质，意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力． 【答案】(1)C (2)8【变式探究】设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的和，满足：a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512.【解析】(1)由{a n }是公差不为0的等差数列，可设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＋a 1＋2d 2＝a 1＋3d2＋a 1＋4d2，7a 1＋7×62d ＝7，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1d ＋5d 2＝0，a 1＋3d ＝1，由d ≠0解得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －7，S n ＝na 1＋n n －2d ＝n 2－6n .(2)由(1)得a n ＝2n －7，所以b n ＝2a n ＝22n －7， 又b n b n －1＝22n －722n －9＝4(n ≥2)，b 1＝2a 1＝125， 所以{b n }是首项为125，公比为4的等比数列， 所以它的前n 项和T n ＝125－4n 1－4＝13×25(4n －1)，于是由T n ＞512，得4n ＞3×47＋1，所以n ≥8时，有T n ＞512.【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为T n ，当n为何值时，有T n ≤2 012?题型2、与等差、等比数列有关的最值问题【例2】 (2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210， 所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.【规律方法】上述两种求A n 最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最值．【变式探究】已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，公差d ≠0，由{a n }的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝2，b 3＝6. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n9的最小值．(2)S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫403＋23＋⎝⎛⎭⎫413＋23＋…＋⎝⎛⎭⎫4n －13＋23＝13(1＋4＋…＋4n －1)＋2n 3＝13·1－4n 1－4＋2n 3＝13⎝⎛⎭⎫4n －13＋2n . (3)由S n ＝13⎝⎛⎭⎫4n－13＋2n ， 得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n －2 006n －1)，若存在n ∈N *， 使得A n ≤A n ＋1，且A n ≤A n －1，则A n 的值最小．于是由⎩⎨⎧194n －2 006n －1≤19[4n ＋1－2 006n ＋1－1]，194n－2 006n －1≤19[4n －1－2 006n －1－1]，解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *)， 取n ＝5，(A n )min ＝2 9839.题型3、等差、等比数列的探求问题【例3】(2015·安徽，14)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1【变式探究】 (2014·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【命题意图】本题主要考查赋值法、数列前n 项和S n 与通项a n 之间的关系、构造新数列等，考查考生的运算求解能力．【审题策略】(1)反复利用递推公式S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，S n －S n －1＝a n (n ≥2)进行递推． (2)由前三项a 1，a 2，a 3归纳猜想出数列{a n }的通项公式，再用数学归纳法证明． 【解析】(1)由题意知，S 2＝4a 3－20，∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1， 则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋k ＋2＝k (k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， ∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6，∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.【变式探究】已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．(2)法一 T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝13⎝⎛⎭⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2＞0，即－2m 2＋4m ＋1＞0，∴1－62＜m ＜1＋62.又m ∈N *，且m ＞1，所以m ＝2，此时n ＝12.因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列． 法二 因为n 6n ＋3＝16＋3n ＜16，故m 24m 2＋4m ＋1＜16，即2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，(以下同上)．【规律方法】在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在． 题型四、数列与恒成立问题【例4】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件． 当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0. 令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得， f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f，f 化简得，⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得，n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在，k 的最小值为5.【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明．【变式探究】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74.(3)证明 1a 1＋1a 2＋1a3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n n －＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n＝54＋12－1n ＝74－1n <74，所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74.题型五、数列与函数的问题例5、 (2015·湖北，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②① －②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 【变式探究】(2014·四川)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .【命题意图】本题主要考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式、导数的几何意义等基础知识，考查考生的运算求解能力．(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2 ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，知a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以T n ＝2n ＋1－n －22n . 【感悟提升】1．数列与函数的综合问题主要有以下两类(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．2．解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．。
2016届高考数学理科(全国通用)考前三个月题型集训中档大题规范练4
1.数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a n a n S n －S 2n＝1 (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.2.已知各项均不为零的数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1 (其中p 为非零常数，n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .3.(2015·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *). 若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .4.(2015·南京模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设数列{b n}满足b n＝a n＋2n.(1)求证数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；6n－3(2)若数列c n＝b n，T n是数列{c n}的前n项和，证明：T n<3.5.(2015·长沙模拟)已知数列{a n }中，a 2＝p (p 是不等于0的常数)，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对任意的正整数n 都有S n ＝n (a n －a 1)2. (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)记b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)记c n ＝T n －2n ，是否存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3.若存在，证明你的结论，并给出一个具体的N 值；若不存在，请说明理由.6.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n(2n＋1)S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由.答案精析中档大题规范练41.解 由已知，当n ≥2时，2a n a n S n －S 2n＝1， 所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n＝1， 即2(S n －S n －1)－S n －1S n ＝1， 所以1S n －1S n －1＝12. 又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列. 所以1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. 2.解 (1)由a n ＋2a n ＝p ·a 2n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝1，c n ＋1＝pc n . 所以c n ＋1c n ＝p (p 为非零常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公比为p 的等比数列， 所以a n ＋1a n＝p n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝p n －2·p n －3·…·p 0·1＝p n 2－3n ＋22， 因为a 1也满足上式，所以a n ＝p n 2－3n ＋22，n ∈N *. (2)a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝p n ·p n －1＝p 2n －1， b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋n ×p 2n －1，① p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)×p 2n －1＋n ×p 2n ＋1，② 当p 2≠1，即p ≠±1时，由①－②得(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p 2n －1－np 2n ＋1 ＝p (1－p n )1－p 2－np 2n ＋1， 即S n ＝p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 而当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n (n ＋1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，p ＝1，－n (n ＋1)2，p ＝－1，p (1－p n )(1－p 2)2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1. 3.解 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2. 由题意知，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n . 于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1. 因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43. 所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49. 4.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 5.(1)证明 由a 1＝S 1＝a 1－a 12＝0，得a 1＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－(n －1)a n －12， 故(n －2)a n ＝(n －1)a n －1.故当n >2时，a n ＝n －1n －2a n －1＝n －1n －2×n －2n －3×…×43×32×21×a 2＝(n －1)p ，由n ＝2时，a 2＝p ，n ＝1时，a 1＝0也适合该式，故对一切正整数n ，有a n ＝(n －1)p ，a n ＋1－a n ＝p ，由于p 是常数，故数列{a n }是以首项为0，公差为p 的等差数列.(2)解 由(1)，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n －1)p 2， 故b n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋2(1－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n ＋2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝2n ＋3－2(1n ＋1＋1n ＋2). (3)解 c n ＝T n －2n ＝3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<3对所有正整数n 都成立. 若c n >52，则3－2⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2>52，即1n ＋1＋1n ＋2<14，记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2，则f (n )单调递减， 又f (6)＝17＋18>18＋18＝14， f (7)＝18＋19<18＋18＝14， 故只要取N ＝6，故当n >N 时，f (n )<14. 故存在正整数N 使得当n >N 时，恒有c n ∈⎝⎛⎭⎫52，3，N 可以取所有不小于6的正整数.6.解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13， ∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， ∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12， 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立.。
2016届高考数学理命题猜想专题11数列求和及数列的简单应用(原卷版)
【考向解读】数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题.从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.【命题热点突破一】分组转化法求和例1、等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【方法技巧】在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.【命题热点突破二】 裂项相消法求和例2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n 都有6S n ＝1－2a n .求数列{a n }的通项公式；【方法技巧】裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）.【命题热点突破三】 错位相减法求和例3、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3nS n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n ＜6.【方法技巧】近年高考对错位相减法求和提到了特别重要的位置上，常在解答题中出现，也是考纲对数列前n 项和的基本要求，错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数.【命题热点突破四】 利用数列单调性解决数列不等式问题 例4、首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. (1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (2)若对一切n ∈N *都有a n ＋1＞a n ，求a 1的取值范围.【方法技巧】涉及到数列不等式，比较大小或恒成立问题，经常用到作差法.法一用了作差法和数学归纳法；法二将a n ＋1－a n 的符号问题转化为a 2－a 1的符号问题，再由a 2，a 1的递推关系，求出a 1的范围.【命题热点突破五】 放缩法解决与数列和有关的不等式例5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4＜T n ＜12.【方法技巧】数列与不等式的证明主要有两种题型：(1)利用对通项放缩证明不等式；(2)作差法证明不等式.【高考真题解读】1．(2015·新课标全国Ⅱ，16)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________．2．(2015·福建，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2015·浙江，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞04．(2015·广东，21)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .5．(2015·浙江，20)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n，证明：12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)． 6．(2015·山东，18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .7．(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1， a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．8．(2014·山东，19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (文科)解析版
D.若 f (a) 2b ，则 a b
【答案】B
考点：函数的奇偶性.
【思路点睛】先由已知条件可得 f x 的解析式，再由 f x 的解析式判断 f x 的奇偶性，进而对
选项逐个进行排除．
8.如图，点列 An , Bn 分别在某锐角的两边上，且 An An1 An1An2 , An An2 , n N* ，
10.已知 a R ，方程 a2x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是
______.
5.已知 a，b>0，且 a≠1，b≠1，若 loga b>1 ，则（ ）
A. (a 1)(b 1) 0
B. (a 1)(a b) 0
C. (b 1)(b a) 0
D. (b 1)(b a) 0
【答案】D
考点：对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式 loga b 1时，一定要注意对 a 分为 a 1和 0 a 1两种情况进行讨论，否
【思路点睛】先求出 nnn1 的高，再求出 nnn1 和 n1 n1 n2 的面积 Sn 和 Sn1 ，进而
根据等差数列的定义可得 Sn1 Sn 为定值，即可得 Sn 是等差数列．
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）
9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
Bn Bn1 Bn1Bn2 , Bn Bn2 , n N* .(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn AnBn ， Sn 为 △An Bn Bn1 的
面积，则（ ）
A.Sn 是等差数列
B. Sn2 是等差数列
2016年北京高考数学,必备指南手册+++
高考状元谈数学学习方法,帮你提高数学成绩.中学时代是人生的春天，是青少年长身体、长知识、形成人生观的一个十分重要的阶段。
但在此学习阶段，却有一部分学生对数学感觉到很吃力。
因此，明确为什么学数学，怎样学数学，是每一个中学生必须认识和学会的问题。
数学知识像海洋那样辽阔，像大山那样宏伟。
一个人无论天资多么高，精力多么充沛，毅力多么顽强，学习条件多么优越，也不可能把所有数学知识学到手。
有的同学总想学到一切，他们希望一串串熟了的葡萄旁边又开放着朵朵鲜花，可是，事实告诉我们：这是不可能的呀！我们必须从第一步起，一步一个脚印，脚塌实地的走下去，才有可能度过那个辽阔的大海、攀上那座宏伟的大山。
数学知识的学习，单靠认真听讲、死记硬背是不行的。
相传有一个人巧遇一位仙翁，仙翁点石成金送给他，但他不要金子，而要仙翁点石成金的指头。
这个人为什么要指头呢？因为他懂得，不管送自己多少金子，金子总是有限的，但如果有了点石成金的指头，那就可以随心所欲了。
我常常给学生讲这个故事，但我却启发学生：仙翁的指头固然好，但那毕竟是别人的。
如果我们拿来使用是否灵呢？可见，我们更应该学到仙翁的点金之术。
古人说：“受之以鱼，只供一饭之需，教人已渔，则终身受用无穷”，也就是这个道理。
数学学习方法是数学学习时采用的手段、方式和途径。
学法是在学习过程中产生和运用的。
掌握良好的方法是很重要的事，但又不是一件容易的事情，这需要付出艰苦的努力，需要持之以恒的精神。
只有每天坚持不懈，日久天长，数学学习才可能成为自觉的行为，从而掌握数学学习的主动权。
所以，数学学习方法并没有什么捷径，它只是踏踏实实、刻苦学习的程序以及在这个学习过程中的各项具体措施。
古人说：“凡事预则立，不预则废。
”智力相同的两个学生有无学习计划，直接影响到学习效果。
科学的利用时间，在有限的时间内有计划的学习，这是科学学习方法的一条重要原则。
所以数学学习缺乏计划性是一些学生天长日久感到吃力的重要原因之一。