数学---福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二年下学期期中考试(理)
《首发》福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二年下学期期中考文科数学试卷Word版缺答案
程溪中学2016-2017学年下学期期中考高二文科数学试题第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设是虚数单位，复数，则｜｜＝（ ） A ．1 B ． C ． D ．22．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )①因为对数函数是增函数；② 所以是增函数；③而是对数函数． A ．① B ．② C ．①② D ．③3．用反证法证明命题“三角形中至多一个内角是钝角”时，结论的否定是( )A ．没有一个内角是钝角B ．有两个内角是钝角C ．有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角 4．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( )A.1a <1b B ．a ＋1b >b ＋1a C ．b ＋1a >a ＋1b D.b a <b ＋1a ＋1 5.下列结论正确的是( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时， x －1x无最大值6．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧x ＝13cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ(θ为参数)7．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)8．已知直线l 1的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 012，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2 012＋t cos 34π，y ＝2 012＋t sin 34π(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．重合9函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值是( )．A ．5B ．4C ．3D ．210．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，其对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 311．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0 B. 2 C.2＋1D.2－112．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置． 13．若复数是纯虚数，则实数的值为14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．15.求函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎫0<x <52的最大值为16．观察下列不等式，……照此规律，第个不等式为 ． 三、解答题（共6题，满分70分）解答应写演算步骤。
福建省龙海市2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
福建省龙海市2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、单项选择题。
（5分*12=60分）1、为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n 为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．202、若复数z 满足（1﹣i ）z=|3﹣4i|，则z 的实部为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3、=-⎰dx 121x -）（（ ） A 、 31- B 、-2 C 、 -1 D 34- 4、A, B, C, D, E 五人并排站成一排，如果B 不排两端，则不同的排法共有（ ）种A ．36B ．8C ．60D ．725、如果复数)(12R a iai ∈+-为纯虚数，则=a （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．26、下列说法中，正确的是（ ）A ．数据2,5,3,4,4,5的众数是4B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据5,4,3,2的标准差是数据10,8,6,4的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数7. 执行右图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）A .203B .165C .72D .1588、若n x x x x ,,,,321 的平均数为x ，标准差为s ，则a x +1，a x +2，…，a x n +的平均数和标准差分别为（ ）A ．a x + sB ．x a 2sC ．x a 2 a +2sD ．2a x + 2s a +9、若如右图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n10、设函数f’(x)是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f （-1）=0，当x>0时，x f’(x )－f (x )＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是(A) (－∞，－1)∪(0，1) (B) (－1，0)∪(1，＋∞)(C) (－∞，－1)∪(－1，0) (D) (0，1)∪(1，＋∞)11、 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动选数为 （ ）A .16B .14C .12D .1012、已知函数32()34f x x ax =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)-+∞D ．(3,)-+∞二、填空题。
福建省漳州市龙海市程溪中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．103．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）6．用反证法证明：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b88．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=09．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=．14．计算定积分：∫dx=．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）16．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．18．设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？21．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．10【考点】排列及排列数公式．【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【解答】解：∵A=10A，∴2n（2n﹣1）（2n﹣2）=10n（n﹣1）（n﹣2），化为：4n﹣2=5n﹣10，则n=8．故选：B．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1）=0，则点P的坐标为（1，0）．故选C6．用反证法证明：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此是成立的．【解答】解：由于反证法是的否定的一个运用，故用反证法证明时，可以设其否定成立进行推证．“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】类比等差数列{a n}与等比数列{b n}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．8．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=0【考点】复数相等的充要条件．【分析】计算复数a+bi（a，b∈R）的平方计算出来，写成代数形式，须虚部为0，再进行选择．【解答】解：（a+bi）2=（a2﹣b2）+2a b i，若是实数，则虚部a b=0，故选D9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选C．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=2﹣ī．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：因为复数===﹣i+2故答案为：2﹣ī．14．计算定积分：∫dx=．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=﹣3所围成的图形的面积即可．【解答】解：解：由定积分的几何意义知∫dx是由曲线y=，直线x=0，x=﹣3围成的封闭图形的面积，故∫dx==，故答案为：．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：1416．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．【考点】归纳推理．【分析】设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数=n，将得到的式子，相加可得答案．比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1【解答】解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，…=n，第n个图中点的个数比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1则a n=1+2+3+4+…+n=；故答案为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，（2）根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3）根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4）根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A 22种顺序，将6个元素进行全排列，有A 66种情况，则共有A 66A 22=1440种不同站法；（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A 33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A 44种情况，共有A 33A 44=144种不同站法；（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A 73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况， 则共有1×A 73=210种不同站法；（4）根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A 52种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时有2×A 52×A 44=960种不同站法，②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A 42种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时共有4×A 42×A 44=1152种不同站法，则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．18．设函数f （x ）=ln （2x+3）+x 2（1）讨论f （x ）的单调性；（2）求f （x ）在区间[﹣，]的最大值和最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f ′（x ）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f （x ）在区间[﹣，]的最小值为f （﹣）求出得到函数的最小值，又因为f （﹣）﹣f （）＜0，得到f （x ）在区间[﹣，]的最大值为f （）求出得到函数的最大值．【解答】解：f （x ）的定义域为（﹣，+∞）（1）f′（x）=+2x=当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；当x＞﹣时，f′（x）＞0从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）=ln2+又f（﹣）﹣f（）=ln+﹣ln﹣=ln+=（1﹣ln）＜0所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）=+ln．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】函数与方程的综合运用；定积分．【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，∴△=4﹣4c=0⇒c=1，∴f（x）=x2+2x+1（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），∴两函数图象所围成的图形的面积为=．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm321．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1，a2，a3，a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，则当n=k+1时，=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（1+）＜即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜．【解答】解：（1）∵，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，∴方程组有一解．由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．（2）由（1）可知，∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．∴．∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．∵0＜b＜a，∴﹣a，∴．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．∴f（a+b）﹣f（2a）＜2016年7月3日。
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）（2015春•龙海市校级期中）设复数z 的共轭复数是，z=3+i ，则等于（ ）A ． 3+iB ． 3﹣iC ． i+D ．+i考点： 复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数．分析： 由已知求出，代入化简计算． 解答： 解：z=3+i ，所以=3﹣i ，则；故选：D ．点评： 本题考查了复数的共轭复数以及复数的除法运算；属于基础题．2．（5分）（2015春•龙海市校级期中）若a ∈{1，2，3，5}，b ∈{1，2，3，5}，则方程y=x 表示的不同直线条数为（ ） A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合．分析： 先不考虑重复情况，有16种情况，再减去其中斜率为1时重复三次，故可得答案． 解答： 解：由题意，不考虑重复情况，有4×4=16种情况，其中斜率为1时重复三次，故方程y=x 表不同的直线有16﹣3=13条，故选：C点评： 本题以直线为载体，考查排列问题，注意排除重复情况． 3．（5分）（2014秋•崇义县校级期末）以正弦曲线y=sinx 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A ． ∪B ． [0，π）C ．D ．∪考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题．分析： 先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．解答：解：y'=cosx∵cosx∈[﹣1，1]∴切线的斜率范围是[﹣1，1]∴倾斜角的范围是[0，]∪故选A点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，导函数的基本知识．考查了学生对基础知识的灵活运用．4．（5分）已知C n+17﹣C n7=C n8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据题意，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．解答：解：根据题意，C n+17﹣C n7=C n8，变形可得，C n+17=C n8+C n7，由组合数的性质，可得C n8+C n7=C n+18，即C n+17=C n+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．点评：本题考查组合数的性质，C n m+C n m﹣1=C n+1m是一个常用的性质．5．（5分）（2015春•龙海市校级期中）函数y=x2e x的单调递减区间是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）与（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）与（0，+∞）D．（﹣2，0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由y′=2xe x+x2e x≤0，解得x的取值范围即可．解答：解：由y′=2xe x+x2e x＜0，解得﹣2＜x＜0．∴函数y=x2e x的单调递减区间是（﹣2，0）．故选D．点评：熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）“可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不一定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f'（0）=0，但x=0不是极值．若函数y=f（x）在这点取极值，则根据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，∴“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数极值的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）（2015春•龙海市校级期中）函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：先求导函数，令导数等于0 求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．解答：解：y′=1﹣2sinx=0 x∈[0，]解得：x=当x∈（0，）时，y′＞0，∴函数在（0，）上单调递增当x∈（，）时，y′＜0，∴函数在（，）上单调递减，∴函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时x=故选B．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．8．（5分）（2014•昌邑区校级三模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．B．个C．个D．个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论．解答：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个故选A．点评：本题考查排列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）（2015春•祁县校级期中）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．解答：解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x﹣）|=；故选C．点评：本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．10．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（2015春•龙海市校级期中）dx=+．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，分割法求之．解答：解：dx=2dx，由定积分的几何意义，dx所求表示如图阴影部分的面积，即直角三角形OAB与扇形OAC的面积和，其中AB=，∠AOC=30°故S阴影=S扇形BOC+S△AOB=×π×4+=+，∴dx=2dx=+，故答案为：+．点评：本题考查了定积分的几何意义的运用；关键是明确所求对应的几何图形．12．（4分）（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣120．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r=2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．解答：解：（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和∵（1﹣2x）5展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C5r x r令r=3得到x3项的系数为﹣8C53=﹣80令r=2得到x2项的系数为4C52=40所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40=﹣120故答案为﹣120点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．13．（4分）（2015春•龙海市校级期中）定义在R上的可导函数f（x），已知y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是R考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：通过图象得到f′（x）＞0在R上恒成立，从而求出函数f（x）的单调区间．解答：解：由图象得：f′（x）＞0在R上恒成立，∴函数y=f（x）在R上递增，故答案为：R．点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．14．（4分）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．解答：解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：32点评：本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．15．（4分）（2015春•龙海市校级期中）如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；若类比该，如图（2），三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论．通过连接DM，据BC⊥AM，BC⊥AD得到BC⊥ADE得到BC⊥ED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证解答：解：由已知在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；类比：三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S△ABC2=S△BCM•S△BCD．在图（2）中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC．因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE．又AM⊥DE，所以AE2=EM•ED．于是S△ABC2=（BC•AE）2=（BC•EM）•（BC•ED）=S△BCM•S△BCD．故有S△ABC2=S△BCM•S△BCD点评：本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论．考查空间想象能力，逻辑思维能力．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（13分）（2015春•龙海市校级期中）已知（+x2）2n的展开式的系数和比（3x﹣1）n 的展开式的系数和大992．求在（2x﹣）2n的展开式中：（1）常数项（用数字表示）；（2）二项式系数最大的项．．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：由已知的两个二项式的系数关系得到n，然后求出（2x﹣）2n的展开式通项，化简后取字母指数．解答：解：由题意得（+x2）2n的展开式的系数和为22n比（3x﹣1）n的展开式的系数和2n大992，所以22n﹣2n=992，解得n=5，所以（2x﹣）10的展开式通项为=，令10﹣2r=0，则r=5，所以常数项为；（2）在（2x﹣）10的展开式二项式系数最大的为，所以二项式系数最大的项为﹣8064．点评：本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，由此确定特征项．17．（13分）（2015春•龙海市校级期中）已知曲线（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程（2）求曲线过点P（1，0）处的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；解答：解：（1）∵P（1，1）在曲线曲线，且y'=﹣∴在点P（1，1）处的切线的斜率k=y'|x=1=﹣1；∴曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）设曲线线，过点P（1，0）的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率k=﹣，∴切线方程为y﹣═﹣（x﹣x0），∵点P（1，0）在切线上，∴﹣═﹣（1﹣x0），解得x0=故所求的切线方程为4x+y﹣4=0点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．18．（13分）（2015春•龙海市校级期中）4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况：（1）男生甲和女生乙相邻排队的概率；（2）男生甲和女生乙顺序固定的概率；（3）男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种．考点：排列、组合的实际应用；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；排列组合．分析：（1）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：①、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，②、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，由分步计数原理可得男生甲和女生乙相邻排队的情况数目；由古典概型计算公式计算可得答案；（2）根据题意，先由排列数公式计算8人排成一排的情况数目，再由倍分法计算甲、乙顺序一定的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲站右端，将剩下的7个人进行全排列，安排其他位置即可，②男生甲不站右端，依次分析甲、乙、以及其他6人的站法数目，可得此时的站法数目；最后由分步计数原理计算可得答案．解答：解：（1）根据题意，先将8个人排成一排，进行全排列，有A88=8A77=40320种情况，再分2步计算男生甲和女生乙相邻排队的情况：①、将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，②、将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A77=5040种情况，共有2×A77=2×5040=10080种情况；则男生甲和女生乙相邻排队的概率为=；（2）先对8个人全排列，有A88=40320种情况，其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半，则甲、乙顺序一定的情况有×40320=20160种，则男生甲和女生乙顺序固定的概率为=；（3）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲站右端，将剩下的7个人进行全排列，安排其他位置即可，有A77=5040种站法，②男生甲不站右端则有6种选择，而女生乙也有6种选择，剩下6人进行全排列，安排其他位置有A66=720种排法，则有6×6×720=25920种站法；所以共有5040+25920=30960种．点评：本题主要考查排列、组合的运用，涉及古典概型的计算，解题的关键要掌握常见排列、组合问题的处理方法，优先分析受限制的元素，不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法．19．（13分）（2015春•龙海市校级期中）某大型商厦一年内需要购进电脑5000台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%（例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则=10%为年保管费用率），求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：设每次订购电脑的台数为x，由题意可得每年的保管费用为x•4000•10%元，每年的订货电脑的其它费用为•1600元，则有每年的总费用为y=•1600+x•4000•10%元．运用导数求得极小值点，也为最小值点，可得最小值．解答：解：设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x•4000•10%元，而每年的订货电脑的其它费用为•1600元，这样每年的总费用为•1600+x•4000•10%元．令y=•1600+x•4000•10%，y′=﹣•5000•1600+•4000•10%．令y′=0，解得x=200（台）．当x＞200时，y′＞0，当0＜x＜200时，y′＜0，也就是当x=200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80000元．点评：本题考查函数的最值的求法，主要运用导数判断单调性进而得到最值，由题意得到函数的解析式是解题的关键．20．（14分）（2014春•邳州市校级期末）已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，（1）试求f（x）中的x2的系数的最小值（2）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数（3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值（精确到0.01）考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：（1）根据题意求得m+n=7，再根据f（x）中的x2的系数为+==+，利用二次函数的性质求得x2的系数的最小值，以及此时的m、n的值．（2）分当m=3、n=4时；和当m=4、n=4=3时两种情况，求得x3的系数．（3）根据f（0.003）=（1+0.003）4+（1+0.003）3≈+×0.003++×0.003，计算求得结果．解答：解：（1）根据题意得：+=7，即m+n=7①，f（x）中的x2的系数为+=+=．将①变形为n=7﹣m代入上式得：x2的系数为m2﹣7m+21=+，故当m=3，或m=4时，x2的系数的最小值为9．（2）当m=3、n=4时，x3的系数为+=5；当m=4、n=4=3时，x3的系数为+=5．（3）f（0.003）=（1+0.003）4+（1+0.003）3≈+×0.003++×0.003=2.02．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．21．（14分）（2015•河南二模）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（2）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．解答：（1）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，ln2）ln2 （ln2，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）单调递减 2（1﹣ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．。
福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二年下学期期中
程溪中学2016-2017学年下学期期中考高二文科数学试题第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设i 是虚数单位，复数21iz i=+，则｜z ｜＝（ ）A ．1B ．22．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是( )①因为对数函数)1(log >=a x y a 是增函数；② 所以x y 2log =是增函数；③而x y 2log =是对数函数．A ．①B ．②C ．①②D ．③3．用反证法证明命题“三角形中至多一个内角是钝角”时，结论的否定是( )A ．没有一个内角是钝角B ．有两个内角是钝角C ．有三个内角是钝角 D.至少有两个内角是钝角 4．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( )A.1a <1b B ．a ＋1b >b ＋1a C ．b ＋1a >a ＋1b D.b a <b ＋1a ＋1 5.下列结论正确的是( )．A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时， x －1x无最大值6．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧x ＝13cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ(θ为参数)7．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)8．已知直线l 1的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 012，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2 012＋t cos 34π，y ＝2 012＋t sin 34π(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．重合9函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值是( )．A ．5B ．4C ．3D ．210．已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，点M 在椭圆上，其对应的参数φ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．2 311．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0 B. 2 C.2＋1D.2－112．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)(1a 2＋1b 2＋1c2)最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置． 13．若复数i a a a )2()232-++-（是纯虚数，则实数a 的值为14．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．15.求函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎫0<x <52的最大值为16．观察下列不等式213122+< ,353121122<++474131211222<+++，……照此规律，第n 个不等式为 ． 三、解答题（共6题，满分70分）解答应写演算步骤。
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题： (共12题；共24分)1．（2分）3(1−i)2=（）A．32i B．−32i C．i D．﹣i2．（2分）用数学归纳法证明1+ 12+ 13+…+ 12n−1＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式（）A．1+ 12＜2B．1+ 12+ 13＜3C．1+ 12+ 13+ 14＜3D．1+ 12+ 13＜23．（2分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f （x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确4．（2分）若P= √a+2+√a+5，Q= √a+3+√a+4（a≥0），则P，Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定5．（2分）2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．34B．14C．110D．3106．（2分）已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ～B（10，0.6），则Eη，Dη分别是（）A．6和2.4B．2和5.6C．6和5.6D．2和2.47．（2分）设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么a0+a2+a4a1+a3的值为（）A．﹣122121B．﹣6160C．﹣244241D．﹣18．（2分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．240B．300C．150D．1809．（2分）（x+ 1x﹣2）5展开式中常数项为（）A．252B．﹣252C．160D．﹣16010．（2分）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.271811．（2分）设a，b，c都是正数，那么三个数a+ 1b ，b+ 1c，c+ 1a（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于212．（2分）下面给出了四个类比推理：①由“若a，b，c∈R则（ab）c=a（bc）”类比推出“若a，b，c为三个向量则（a⃗• b⃗）• c⃗= a⃗•（b⃗• c⃗）”；②“a，b为实数，若a2+b2=0则a=b=0”类比推出“z1，z2为复数，若z12+z22=0则z1=z2= 0”；③“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）= 14，则P（﹣1＜ξ＜1）=．14．（2分）在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是．15．（2分）一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．16．（2分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有f(x1)+f(x2)+⋯+f(x n)n ≤f（x1+x2+⋯+x nn），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为三、解答题 (共6题；共75分)17．（10分）简答题（1）（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，求复数z．（2）（5分）实数m取何值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i，①是实数；②是纯虚数．18．（20分）有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）．（1）（5分）共有多少种不同的分配方案？（2）（5分）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？（3）（5分）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）（5分）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？19．（10分）观察以下5个等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子规律：（1）（5分）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）（5分）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）20．（10分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：（1）（5分）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：b̂=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1，â=y﹣b̂x̅）（2）（5分）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）21．（10分）某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：附表：．K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）（5分）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）（5分）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．22．（15分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：（1）（5分）求q2的值；（2）（5分）求随机变量ξ的数学期望Eξ；（3）（5分）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：3(1−i)2−32i3(1−i)2=3−2i2=3i−2i2=3i2=32i故选A．【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：当n=2时，左侧=1+ 12+ 13，右侧=2，左侧＜右侧．用数学归纳法证明1+ 12+ 13+…+ 12n−1＜n（n∈N*，n＞1），第一步应验证不等式1+ 12+13＜2，故选：D【分析】利用n=2写出不等式的形式，就是第一步应验证不等式．3．【答案】A【解析】【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵a≥0，∴a2+7a+12＞a2+7a+10．∴Q2﹣P2= ﹣（）=＞0．∴P＜Q．故选：C．【分析】平方作差即可比较出大小．5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，P（A）=，P（AB）=，∴P（B|A）=，故选：A．【分析】求出P（A）=，P（AB）=，利用P（B|A）= ，可得结论．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵ξ～B（10，0.6），∴Eξ=10×0.6=6，Dξ=10×0.6×0.4=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=2，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故选：D．【分析】根据变量ξ～B（10，0.6）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．7．【答案】B【解析】【解答】解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=﹣121．结合a5=﹣1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=﹣6160，故选：B．【分析】令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=﹣1，即可求得要求式子的值．8．【答案】C【解析】【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33种分法，分成2、2、1时，有c 52c 32A 22 •A 33种分法，所以共有C 53•A 33+c 52c 32A 22 •A 33=150种方案，故选：C ．【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．9．【答案】B【解析】【解答】解：（x+ 1x﹣2）5 的展开式的通项公式为T r+1= C 5r • (x +1x )5−r •（﹣2）r ，0≤r≤5， 对于 (x +1x)5−r，它的通项为 C 5−r k •x5﹣r ﹣2k，令5﹣r ﹣2k=0，求得r+2k=5，0≤k≤5﹣r ， 故当r=1，k=2； 或r=3，k=1，或r=5，k=0；可得展开式的常数项，故展开式中常数项为 C 51 •（﹣2）• C 42 + C 53 •（﹣8）• C 21 +（﹣2）5=﹣60﹣160﹣32=﹣252，故答案为：B ．【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544， P （μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826， μ=4，σ=1，∴P （2＜X≤6）=0.9544， P （3＜X≤5）=0.6826，∴P （2＜X≤6﹣P （3＜X≤5）=0.9544﹣0.6826=0.2718， ∴P （5＜X ＜6）= 12×0.2718 =0.1359故选B ．【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P （2＜X≤6）=0.9544，P （3＜X≤5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．11．【答案】D【解析】【解答】解：∵a ，b ，c 都是正数，故这三个数的和（a+ 1b ）+（b+ 1c）+（c+ 1a）=a+ 1a+b+ 1b+c+ 1c≥2+2+2=6．当且仅当a=b=c=1时，等号成立．故三个数a+ 1b ，b+ 1c，c+ 1a中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6）．故选D．【分析】把这三个数的和变形为a+ 1a +b+ 1b+c+ 1c，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于6，从而得到这三个数中，至少有一个不小于2．12．【答案】B【解析】【解答】①由向量的运算可知(a⋅b⃗)⋅c为与向量c⃗共线的向量，而由向量的运算可知a⃗⋅(b⃗⋅c⃗)与向量a⃗共线的向量，方向不同，故错误．②在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22=0，则可能z1=1且z2=i．故错误；③平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．④由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确故选：B．【分析】逐个验证：①向量要考虑方向．②数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，③④由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由圆的性质类比推理到球的性质．13．【答案】12【解析】【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）= 14，∴P（1＞ξ＞0）= 14，∴P（﹣1＜ξ＜1）= 12，故答案为：12．【分析】随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=14，得到P（1＞ξ＞0），再根据对称性写出要求概率．14．【答案】0.768【解析】【解答】解：至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是0.768．故答案为：0.768．【分析】至少连续2天预报准确包含3种情况：①三天都预报准确；②第一二天预报准确，第三天预报不准确；③第一天预报不准确，第二三天预报准确．由此能求出在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率．15．【答案】2【解析】【解答】解：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）= C63C183= 20816，P（X=1）= C121C63C183= 180816，P（X=2）= C122C61C183= 396816，P（X=3）= C123C183= 220816，∴X的分布列为：E（X）= 0×20816+1×180816+2×396816+3×220816=2．故答案为：2．【分析】由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的期望E（X）．16．【答案】3√32【解析】【解答】解：∵f （x ）=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，且A 、B 、C ∈（0，π），∴≤f （ A+B+C 3）=f （ π3 ），即sinA+sinB+sinC≤3sin π3 = 3√32，所以sinA+sinB+sinC 的最大值为 3√32．【分析】已知f （x ）=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，利用凸函数的性质可得： sinA+sinB+sinC 3≤sin A+B+C 3，变形得 sinA+sinB+sinC≤3sin π3 问题得到解决．17．【答案】（1）解：∵（1+i ）z=2，∴（1﹣i ）（1+i ）z=2（1﹣i ），∴2z=2（1﹣i ），即z=1﹣i ．（2）①当z 为实数时，m 2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2．②当z 为纯虚数时 {m 2−1=0m 2−3m +2≠0，解得m=﹣1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则即可得出．（ 2）①当z 为实数时，m 2﹣3m+2=0，解得m ．②当z 为纯虚数时 {m 2−1=0m 2−3m +2≠0，解得m ．18．【答案】（1）解：每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得共有44=256种不同的分配方案（2）解：先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有 C 42A 33 =36种，故共有4×36=144种（3）解：先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，故共有 C 4232=54种（4）解：先选出2个学校，有 C 42 =6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，有（ C 42 ÷ A 22 + C 41 ） A 22 =84种【解析】【分析】（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得结论；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有 C 42A 33=36种，根据乘法原理，可得结论；（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，根据乘法原理，可得结论；（4）先选出2个学校，有 C 42 =6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，即可得出结论．19．【答案】（1）解：由已知中：﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…归纳可得：第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n（2）解：下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n①当n=1时，由已知得原式成立；②假设当n=k时，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）k k那么，当n=k+1时，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1时，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立【解析】【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n n成立．20．【答案】（1）解：由已知：x̅=6，y̅=10，∑x i yi =2425 i=1，∑x i2=2205i=1，b̂=∑x i y i−5x̅y̅5i=1∑x i2−5x̅25i=1=−1.45，â=y̅−b̂x̅=18.7所求线性回归直线方程为ŷ=−1.45x+18.7（2）解：L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜L′（x ）=﹣0.03x 2+0.18x=﹣0.03x （x ﹣6）x ∈（0，6）时，L′（x ）＞0，L （x ）单调递增，x ∈（6，10]时，L′（x ）＜0，L （x ）单调递减 所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L （x ）最大．【解析】【分析】（1）由表中数据计算b ，a ，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L （x ）=y﹣w ，利用导数求出x=6时L （x ）取得最大值．21．【答案】（1）解：K 2= 25×(5×3−6×11)216×9×11×14≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （2）（ⅰ）记题设事件为A ，则 所求概率为P （A ）=C 51C 112+C 52C 111C 163 = 1116（ⅱ）根据题意，X 服从超几何分布，P （X=k ）= C 3k C 63−kC 93，k=0，1，2，3．X 的分布列为X 的期望E （X ）=0× 521 +1× 1528+2× 314 +3× 184 =1【解析】【分析】（1）由题设知K 2= 25×(5×3−6×11)216×9×11×14≈2.932＞2.706，由此得到结果．（2）（i ）记题设事件为A ，利用组合数公式得P （A ）=C 51C 112+C 52C 111C 163 ，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率．（ii ）根据题意，X 服从超几何分布，P （X=k ）= C 3k C 63−kC 93，k=0，1，2，3．由此能求出X 的分布列和期望．22．【答案】（1）解：设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P （A ）=0.25，P （ A̅ ）=0.75，P （B ）=q 2，P （ B ̅ ）=1﹣q 2． 根据分布列知：ξ=0时P （ ABB ̅̅̅̅̅̅ ）=P （ A̅ ）P （ B ̅ ）P （ B ̅ ）=0.75（1﹣q 2）2=0.03， 所以1﹣q 2=0.2，q 2=0.8（2）解：当ξ=2时，P 1=P=（ A ̅ B B ̅ + AB ̅̅̅̅ B ）=P （ A ̅ B B ̅ ）+P （ AB̅̅̅̅ B ）=P（A̅）P（B）P（B̅）+P（A̅）P（B̅）P（B）=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24̅̅̅̅）=P（A）P（B̅）P（B̅）=0.25（1﹣q2）2=0.01，当ξ=3时，P2=P（A BB当ξ=4时，P3=P（A̅BB）P（A̅）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，当ξ=5时，P4=P（A B̅B+AB）=P（A B̅B）+P（AB）=P（A）P（B̅）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63（3）解：该同学选择都在B处投篮得分超过（3分）的概率为P（B̅BB+B B̅B+BB）=P（B̅BB）+P（B B̅B）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大【解析】【分析】（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B 相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．。
福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=06．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[] B．[] C．[] D．[]7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2] B．C．[2）D．[0，4]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ= ．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为．15．已知双曲线的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y 轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A 1，且直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．如图所示，设A 为△ABC 所在平面外一点，HD=2CH ，G 为BH 的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||17．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，E 为面A 1D 1DA 的中心， CF=3FC 1，AH=3HD ，（1）求异面直线EB 1与HF 之间的距离 （2）求二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值．18．已知椭圆C ：的左右焦点为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l 向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C 截得的弦长为，则求椭圆C 的方程．19．已知中心在原点的双曲线C 的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C 的标准方程（2）若直线l ：y=kx+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且（其中O 为原点），求k的取值范围．20．如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）．（I ）若动点M 满足，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）若过点B 的直线l′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值福建省龙海市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间点、线、面的位置；向量的共线定理．【专题】证明题．【分析】本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C 一定共面；这是正确的．②如果=，则与不一定共线，所以②错误；③不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立．④若=x +y，则共面，故四点 P、M、A、B共面，故④正确．所以①④正确．故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．【解答】解：∵方程表示双曲线∴（k﹣4）（k+4）＞0解得：k＞4或k＜﹣4∵k≤﹣5⇒k＞4或k＜﹣4是真命题，反之是假命题∴p是q的充分非必要条件故选A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．【考点】向量的几何表示；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．【解答】解：∵ ======故选A．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】计算题．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直 故选B【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）A ．x+4y=0B ．x+4y ﹣10=0C ．x+4y ﹣6=0D ．x ﹣4y ﹣10=0【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【专题】计算题．【分析】设这条弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点坐标公式知x 1+x 2=4，y 1+y 2=4，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得，4（x 1﹣x 2）+16（y 1﹣y 2）=0，，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】解：设这条弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点坐标公式知x 1+x 2=4，y 1+y 2=4， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得，①﹣②，得4（x 1﹣x 2）+16（y 1﹣y 2）=0，∴，∴这条弦所在的直线的方程，即x+4y ﹣10=0．故选B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．6．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[] B．[] C．[] D．[]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．【解答】解：二次曲线为双曲线，则，∴，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】设圆心为（x，y），则动圆的半径为x，因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x的范围为0＜x≤1．再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），由动圆切于y轴，故r=|x|．又由动圆与已知圆内切可知=2﹣|x|，整理得y2=﹣4|x|+4．由于半圆需满足0≤x≤2的条件，∴y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）．故选A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件．8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0，①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线，结合选项可判定【解答】解：若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义B：由于2q+p＞q＞0，表示焦点在x轴上的椭圆，D：由于2p+q＞p＞0，表示焦点在x轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线A：由于﹣（2q+p）＞﹣p＞0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆B：由于2q+p＜q＜0，方程没有意义C：由于﹣2p﹣q＞﹣p＞0，表示焦点在x轴上上的椭圆D：由于2p+q＜p＜0，方程没有意义综合可得C符合题意故选C【点评】本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查9．已知定点N （0，1），动点A ，B 分别在抛物线及曲线上，若B 在A的上方，且AB ∥y 轴，则△ABN 的周长l 的取值范围是（ ）A ．（，2）B ．（）C ．（） D ．（）【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】计算题．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A ，B 点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B 点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的B 点纵坐标范围计算即可．【解答】解：由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则0≤y 1≤，≤y 2≤2，由可得，三角形ABN 的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=y 1++y 2﹣y 1+a ﹣ey 2=+a+y 2=3+y 2，∵，≤y 2≤2，∴≤3+y 2≤4故选C ．【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．10．已知点P 是椭圆上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．C ．[2） D ．[0，4]【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】计算题．【分析】结合椭圆的图象，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM|取最小值0；当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点M 与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．【解答】解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与 O重合，|OM|取得最小值等于0．重合，|OM|取得最大值等于c=2．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ= 0 ．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】根据向量的夹角公式即可求出答案．【解答】解：向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），∴=2×3+2λ﹣1×4=2+2λ，||==3，||==，∵、的夹角的余弦值为，∴==，解得λ=0，故答案为：0．【点评】考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】先求出的坐标，利用向量的知识，点P（﹣2，1，2）到α的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值．【解答】解： =（﹣1，﹣2，2），在法向量方向上的投影等于=，∴则点P（﹣2，1，2）到α的距离为故答案为：【点评】本题考查点面距离的计算．利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，设线段AB的中点为M（3，y过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8【点评】本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为2π，A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1）和（x 2，y 2），则|y 2﹣y 1|的值为 3 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得a 和c ，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值．【解答】解：椭圆：，a=3，b=，∴c=2，左、右焦点F 1（﹣2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，而△ABF 2的面积=△AF 1F 2的面积+△BF 1F 2的面积=×|y 1|×|F 1F 2|+×|y 2|×|F 1F 2|=×（|y 1|+|y 2|）×|F 1F 2|=2|y 2﹣y 1|（A 、B 在x 轴的上下两侧）又△ABF 2的面积═×|r（|AB|+|BF 2|+|F 2A|=×1×（2a+2a ）=2a=6． 所以 2|y 2﹣y 1|=6，|y 2﹣y 1|=3． 故答案为3．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF 2的面积，属于中档题．15．已知双曲线的实轴为A 1A 2，虚轴为B 1B 2，将坐标系的右半平面沿y 轴折起，使双曲线的右焦点F 2折至点F ，若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A 1，且直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为，则a= 1 ．【考点】双曲线的简单性质；直线与平面所成的角． 【专题】计算题．【分析】由题意可得直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角为∠FB 1A 1，可得==，求得 FA 1 的值，直角三角形FA 1O 中，由勾股定理可得 FO 2=A 1O 2+FA 12，由此求出a 的值．【解答】解：如图所示：由题意可得 实轴A 1A 2 =4，B 1B 2，=2，FA 1⊥面A 1B 1B 2，直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角为∠FB 1A 1．∴==，∴FA 1=．又FO=c=，A 1O=2．直角三角形FA 1O 中，由勾股定理可得 FO 2=A 1O 2+FA 12，即4+a=4+，解得 a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于 中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．如图所示，设A 为△ABC 所在平面外一点，HD=2CH ，G 为BH 的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出═即可；（2）利用（1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得．【解答】解：（1）====（2）==×4+×4++++2×2×3cos45°=+，【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律．17．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为4，E 为面A 1D 1DA 的中心， CF=3FC 1，AH=3HD ，（1）求异面直线EB 1与HF 之间的距离 （2）求二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算． 【专题】计算题．【分析】（1）求出异面直线EB 1与HF 的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB 1与HF 之间的距离等于．（2）求出平面HB 1E 的法向量为，平面A 1B 1E 的法向量为，二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．【解答】解：如图建立直角坐标系D 1﹣xyz ，则E （2，0，2），B 1（4，4，0），H （1，0，4）（1）=（2，4，﹣2），=（﹣1，4，﹣3）=（﹣1，0，2），设=（x ，y ，z ）即，取x=1，则z=﹣3，y=﹣2，则=（1，﹣2，﹣3）异面直线EB 1与HF 之间的距离为=（2））=（2，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（﹣1，0，2），设平面HB 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则即取x=2，则y=，z=1．∴ =（2，，1）令平面A 1B 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）∴|cos |==．∵二面角H ﹣B 1E ﹣A 为钝二面角．∴二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．18．已知椭圆C ：的左右焦点为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l 向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C 截得的弦长为，则求椭圆C 的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 【专题】综合题．【分析】（1）直线l 方程与椭圆方程联立，求出交点M 的坐标，利用得到e 值．（2）由（1）中求得的e 值，可求出直线l 方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C 截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）y=ex+a ，∴A （﹣，0），B （0，a ）由，∴∴M （﹣c ，），由，得（﹣c+，）=（，a ），即∴e 2=1﹣=，∴e=（2）∵e=，设椭圆的方程为3x 2+4y 2=3a 2，l ：y=x ﹣+a即消y ，得4x 2+（4a ﹣2）x+a 2﹣4a+1=0．设l 交椭圆于B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=∴l===∴a=∴椭圆的方程为【点评】本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．19．已知中心在原点的双曲线C 的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C 的标准方程（2）若直线l ：y=kx+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且（其中O 为原点），求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质． 【专题】综合题．【分析】（1）由，得，由此能求出双曲线方程．（2）由，知．由直线l 与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k 2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．【解答】解：（1）∵，∴a=，c=2，∴双曲线方程为=1．（2），∴（1﹣3k 2）x 2﹣6kx ﹣9=0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k 2）=0，即k 2≠，且k 2＜1①x 1+x 2=，由＞2，得x 1x 2+y 1y 2＞2，而=（k 2+1）x 1x 2+=．于是＞2，即，∴＜3，②由①②得＜1，．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．20．如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P （2，1），且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为（2，0）．（I ）若动点M 满足，求点M 的轨迹C ；（Ⅱ）若过点B 的直线l′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I ）对抛物线方程进行求导，求得直线l 的斜率，设出M 的坐标，利用求得x 和y 的关系．（II ）设l'方程代入椭圆的方程，消去y ，利用判别式大于0求得k 的范围，设出E ，F 的坐标，利用韦达定理表示出x 1+x 2和x 1x 2，令，则可推断出，进而表示出（x 1﹣2）•（x 2﹣2）和（x 1﹣2）+（x 2﹣2），最后求得k 和λ的关系，利用k 的范围求得λ的范围．【解答】解：（I ）由x 2=4y 得， ∴． ∴直线l 的斜率为y'|x=2=1，故l 的方程为y=x ﹣1，∴点A 的坐标为（1，0）．设M （x ，y ），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆． （II ）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k （x ﹣2）（k≠0）=1 ①，将 ①代入，整理，得（2k 2+1）x 2﹣8k 2•x+（8k 2﹣2）=0，由△＞0得．设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由 ②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与抛物线交于C ，D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O ，F 1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值． 【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c 的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a ，b 关系式，椭圆方程可解．（Ⅱ）由圆过点O ，F 1可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．（Ⅲ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 方程与椭圆方程联立，得x 1x 2与x 1+x 2，再代入，化简，即可得到关于k 的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，∴c=1∵过F 1的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与抛物线交于C ，D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，∴AB 为椭圆通径，CD 为抛物线通经，∵，∴ =，b 2=a ，∵a 2=b 2+c 2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（﹣，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=﹣﹣（﹣2）=∴，n=，∴所求圆方程为．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，∴x1x2=，x1+x2=..=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2==﹣﹣∵k2∈[0，+∞），∴∈[﹣1，）②当直线l斜率不存在时，可得啊（﹣1，）B（﹣1，﹣），此时， =．综上，∈[1，]．∴最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．。
【化学】福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二下学期期中考试试题
福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二下学期期中考试试题考试时间：150分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本大题共14小题，每题4分，共56分)1.可逆反应a A（s）+b B（g）c C（g）+d D（g）△H=Q，反应过程中，当其他条件不变时，某物质在混合物中的含量与温度（T）、压强（p）的关系如图所示据图分析，以下正确的是（）A.T1＞T2，Q＞0B.T l＜T2，Q＞0C.P1＞P2，a+b=c+dD.P l＜P2，b=c+d2.在一个绝热、固定容积的密闭容器中可逆反应m A（g）+n B（g）p C（g）+q D（g），当m、n、p、q为任意整数时，反应达到平衡的标志是（）①混合气体的密度不再改变②体系的温度不再改变③各组分的浓度不再改变④体系的总压不再改变⑤反应速率v（A）：v（B）：v（C）：v（D）=m：n：p：q⑥单位时间内m mol A断键反应，同时p mol C也断键反应⑦v正（B）：v逆（D）=n：q．A.①③④⑦B.①③④⑤C.②③⑥⑦D.③④⑤⑥3.某密闭容器中发生如下反应：2X（g）+Y（g）Z（g）；△H＜0 如图表示该反应的速率（v）随时间（t）变化的关系图，t2、t3、t5时刻外界条件有所改变，但都没有改变各物质的用量．则下列说法中不正确的是（）A.t3时降低了压强B.t5时提高了温度C.t1-t2时该反应的平衡常数小于t6时反应的平衡常数D.t6时刻后反应物的转化率最低4.在容积固定的密闭容器中充入一定量的X、Y两种气体，一定条件下发生可逆反应3X（g）+Y（g）2Z（g），并达到平衡．已知正反应是放热反应，测得X的转化率为37.5%，Y的转化率为25%，下列有关叙述正确的是（）A.若X的反应速率为0.2mol•L-1•s-1，则Z的反应速率为0.3mol•L-1•s-1B.若向容器中充入氦气，压强增大，Y的转化率提高C.升高温度，正反应速率减小，平衡向逆反应方向移动D.开始充入容器中的X、Y物质的量之比为2：15.将等浓度的一元酸HA溶液与N a OH溶液等体积混合，不能证明HA是弱电解质的方法是（）A.测得0.1mol/L HA的p H＞1B.测得N a A溶液的p H＞7C.p H=1的HA溶液与盐酸稀释100倍后，盐酸的p H变化大D.足量锌与相同p H、相同体积的盐酸和HA溶液反应，产生的氢气一样多6.室温下，用0.100mol/L N a OH 溶液分别滴定20.00m L 0.100mol/L的盐酸和醋酸，滴定曲线如图所示．下列说法正确的是（）A.Ⅰ、Ⅱ分别表示盐酸和醋酸的滴定曲线B.V（N a OH）=10.00m L 时C.p H=7时，两种酸所用N a OH溶液的体积相等D.V（N a OH）=20.00m L 时，c（C l-）＜c（CH3COO-）7.下列说法中正确的是（）A.在25℃纯水中，c（H+）=c（OH-）=10-7mol/L，呈中性B.溶液中，若c（H+）＞10-7mol/L，则c（H+）＞c（OH-），呈酸性C.c（H+）越大，则p H 越大，溶液的碱性越强D.p H为0的溶液，其中只有H+而无OH-8.在恒温条件下，欲使CH3COON a的稀溶液中的比值增大，可在溶液中加入少量下列物质中的①固体N a OH ②固体KOH ③固体N a HS ④固体CH3COON a⑤冰醋酸（）A.只有①②B.只有②⑤C.只有②④⑤D.只有①⑤9.常温下，0.1mol•L-1的三种盐溶液N a X、N a Y、N a Z的p H分别为7、8、9，则下列判断中正确的是（）A.HX、HY、HZ的酸性依次增强B.离子浓度：c（Z-）＞c（Y-）＞c（X-）C.电离常数：K（HZ）＜K（HY）D.c（X-）=c（Y-）+c（HY）=c（Z-）+c（HZ）10.等物质的量浓度的下列溶液中，NH4+的浓度最大的是()A.NH4C lB.NH4HCO3C.NH4HSO4D.NH4NO311.已知常温下：某N a HSO3溶液的p H=5，则在N a HSO3溶液中微粒的物质的量浓度关系一定正确的是（）A.c（N a+）＞c（HSO3-）＞c（OH-）＞c（H+）＞（SO32-）B.c（N a+）+c（H+）=c（OH-）+c（SO32-）+c（HSO3-）C.c（N a+）=c（SO32-）+c（HSO3-）+c（H2SO3）D.c（OH-）=c（H+）+c（HSO3-）+c（H2SO3）12.反应A（g）+3B（g）2C（g）+2D（g）在四种不同情况下的反应速率分别如下，其中反应速率最大的是（）A.v A=0.15mol•L-1•min-1B.v B=0.6mol•L-1•min-1C.v C=0.4mol•L-1•min-1D.v D=0.01mol•L-1•s-113.某研究小组采用往一定体积的食醋中滴入已知浓度的N a OH溶液的方法测定食醋中醋酸的浓度．下列说法正确的是（）A.滴定时，使用酚酞作指示剂，溶液颜色恰好由无色变为浅红色，且半分钟内不褪色时，为滴定终点B.滴定时眼睛要注视着滴定管内N a OH溶液的液面变化，防止滴定过量C.碱式滴定管若滴定前平视读数、滴定后俯视读数，则测定结果偏高D.锥形瓶用水洗净后未用食醋润洗，则测得的食醋浓度偏低14.常温下，下列各组离子，在所给的条件下，一定能够大量共存的是（）A.在c（H+）/c（OH-）=1×1012的溶液中：F e2+、M g2+、CO32-、NO3-B.在由水电离出的c（H+）=1×10-12mol/L的溶液中：HCO3-、A l3+、NH4+、C l O-C.在滴加酸碱指示剂酚酞试液后呈现红色的溶液中：N a+、C l-、A l O2-、CO32-D.在A l C l3溶液中：K+、NO3-、S2-、N a+二、填空题(本大题共3小题，共44分)15.(10分) (1)常温下，0.1mol/L的醋酸和0.1mol/L的盐酸各100m L，分别与足量的锌粒反应，产生的气体体积前者____________后者(填“＜”“＞”或“=”)．(2)常温下，0.1mol/L的醋酸和p H=1的醋酸各100m L，分别与足量的锌粒反应，产生的气体前者比后者____________(填“多”或“少”)．(3)在25℃条件下将p H=3的醋酸稀释100倍，稀释后溶液的p H为(填选项字母，下同)____________．A．5 B．7 C．3～5之间D．5～7之间(4)25℃时，向0.1mol/L的醋酸溶液中加入少量醋酸钠晶体，当晶体溶解后测得溶液p H将____________．A．增大B．减小C．不变D．无法确定(5)常温下，向0.1mol/L的H2SO4中加入足量的锌粒，若想减慢H2产生的速率，但又不影响H2的体积，可以向硫酸溶液中加入____________试剂．(多选)A．碳酸钠晶体B．醋酸钠晶体C．滴加少量硫酸铜溶液D．水16.（19分）如何降低大气中CO2的含量及有效地开发利用CO2引起了全世界的普遍重视．目前工业上有一种方法是用CO2来生产燃料甲醇．为探究该反应原理，进行如下实验：在容积为1L的密闭容器中，充入1mol CO2和3mol H2，在500℃下发生发应，CO2（g）+3H2（g）OH（g）+H2O（g）实验测得CO2和CH3OH（g）的物质的量（n）随时间变化CH如图1所示：（1）从反应开始到平衡，氢气的平均反应速率v（H2）= ______ ．500℃达平衡时，CH3OH （g）的体积分数为______ ，图2是改变温度时化学反应速率随时间变化的示意图，则该反应的正反应为______ 反应（填“放热”或“吸热”）（2）500℃该反应的平衡常数为______ （保留两位小数），若提高温度到800℃进行，达平衡时，K值______ （填“增大”“减小”或“不变”）．（3）下列措施中不能使CO2的转化率增大的是______ ．（多选）A．在原容器中再充入1mol H2B．在原容器中再充入1mol CO2C．缩小容器的容积D．使用更有效的催化剂E．将水蒸气从体系中分离出（4）500℃条件下，测得某时刻，CO2（g）、H2（g）、CH3OH（g）和H2O（g）的浓度均为0.5mol/L，则此时v（正）______ v（逆）（填“＞”“＜”或“=”）（5）下列措施能使n（CH3OH）/n（CO2）增大的是______ ．A．升高温度B．在原容器中充入1mol H eC．通入水蒸气D．缩小容器容积，增大压强．17.（15分）（1）常温下，0.1mol•L-1 N a HCO3溶液的p H等于8，①写出HCO3-水解的离子方程式：______ ；②N a HCO3溶液中N a+、HCO3-、H2CO3、CO32-、OH-五种微粒的浓度由大到小的顺序为：______ ．（2）多元弱酸在水中的电离是分步进行的．已知H2CO3是二元弱酸，请写出H2CO3的第一步电离平衡常数的表达式K1= ______ ．（3）B a（OH）2是一种强电解质，现有25℃、p H=13的B a（OH）2溶液．①该B a（OH）2溶液的物质的量浓度为______ ；②溶液中由水电离出c（OH-）= ______ ；③与某浓度盐酸溶液按体积比（碱与酸之比）1：9混合后，所得溶液p H=11（假设混合溶液的体积等于混合前两溶液的体积和），该盐酸溶液的p H= ______ ．化学参考答案【答案】每题4分1.D2.C3.C4.D5.D6.B7.A 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D 13.A 14.C15.每题2分共10分（1）= （2）＜（3）C （4）A （5）BD16.（19分）（1）0.225mol/（L•min）；3分；30%；3分；放热；2分（2）5.33；3分；减小；2分；（3）BD；2分；（4）＞；2分；（5）D；2分17.（15分）（1）①HCO3-+H2O=H2CO3+OH-；3分②c（N a+）＞c（HCO3-）＞c（OH-）＞c（H2CO3）＞c（CO32-）；3分（2）；2分（3）①0.05mol/L；2分②10-13mol/L；2分③2 （3分）。
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福建省龙海市程溪中学2016-2017学年高二年下学期期中考试（理）（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)，第一步应验证不等式（ ）A.1＋12<2B.1＋12＋13＜3C.1＋12＋13＋14＜3D.1＋12＋13＜23．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么 是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确 4.若，，，则p 、q 的大小关系是（）A.B. C. D.由的取值确定5．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A ）=（ ） A ． B ． C ．D ．6．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ～B （10，0.6），则Eη，Dη分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和5.6 C ．6和5.6 D ．2和2.4 7．设（2﹣x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5，那么的值为（ ）()231i -32i 32i -i i -()f x 0()0f x '=0x x =()f x 3()f x x =0x =(0)0f '=0x =3()f x x =p =q =0a ≥p q >p q =p q <aA ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣18．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ．240B ．300C ．150D ．1809.展开式中常数项为（ ）A ．252B ．-252C ．160D ．-16010.已知随机变量服从正态分布，且，，若， 则（ ）A. 0.1358B. 0.1359C. 0.2716D. 0.2718 11.设a 、b 、c 都为正数，那么三个数（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 12.下面给出了四个类比推理：（1）由“若则”类比推出“若为三个向量则”；（2）“a ,b 为实数，则a =b =0”类比推出“为复数，若”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”. 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分．）512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭X ），（2σμN 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 6826.0)(=+≤<-σμσμX P 1,4==σμ=<<)65(X P ac c b b a 1,1,1+++,,a b c R ∈()()ab c a bc =a,b,c (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)220a b +=若12,z z 22121200z z z z +===则13.设随机变量服从正态分布，，则 14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是15.一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为，则的期望=16. 凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n , 有，已知函数y=sin x 在区间（0,π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）(I)设复数满足，其中为虚数单位，求复数.(II)实数取何值时，复数,(i)是实数；（ii ）是纯虚数.18．（本题满分12分）有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）．（1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？ （3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？ （4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？19.(本题满分12分)观察以下5个等式：-1=-1ξ(0,1)N 1(1)4P ξ>=(11)P ξ-<<=X X )(X E 1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤ z (1)2i z +=i z m ()22132z m m m i =-+-+-1+3=2 -1+3-5=-3 -1+3-5+7=4 -1+3-5+7-9=-5……根据以上式子规律．．．．．．．．： （1）写出第6个等式，并猜想第n 个等式；（n ∈N *）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立．（n ∈N *）20．（本题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（1）试求关于的回归直线方程；（参考公式：） （2）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？（利润＝售价－收购价）21．(本题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）： (010)x x <≤y y x 1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑2.1745.109.001.023+--=x x x w x )(x L（1）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．附表：22.(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 2的值；（2）求随机变量的数学期望E ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
参考答案1-12 ADACA DBCBB DBξξξ13.14． 0.76815. 2 16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 解：(I)设 (II)当为实数时，解得或当为纯虚数时 ，解得18．（本小题满分12分）解：（1）每个新毕业的老师都有4种不同的分配方案，根据乘法原理，可得共有44=256种不同的分配方案；（2）先选择不分配老师的学校，有4种方法，再从4个老师中选择两个老师，分配到3个学校有=36种，故共有4×36=144种．（3）先从4个新毕业的老师，选出2个安排到一所学校，再将其它两个人安排到其余3个学校，故共有；（4）先选出2个学校，有=6种方法，再将4个人分配到两所学校任教，有（÷+）*6=84种． 19.(本小题满分12分)解:（1）第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6第n 个等式为 -1+3-5+7-9+……+（-1）n （2n-1）=（-1）n n（2）下面用数学归纳法给予证明：-1+3-5+7-9+……+（2n-1）=n （1）当时，由已知得原式成立；12i iz bi a z -=+=+=112，z 2320m m -+=1m =2m =z 2210320m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩-1m =n)1(-n)1(-1n =20．（本题满分12分）解：（1）由已知：，，， ， 所求线性回归直线方程为（2）时，，单调递增，时，，单调递减,所以预测时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大。
21．(本小题满分12分)解：（1）K 2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．… （2）（ⅰ）记题设事件为A ，则所求概率为P （A ）==． …6=x 10=y 24251=∑=ii i yx 220512=∑=i i x 45.155ˆ251251-=--=∑∑==xx yx yx bi i ii i 7.18ˆˆ=-=x b y a7.1845.1ˆ+-=x y )2.1745.109.001.0(7.1845.1)(23+---+-=-=x x x x w y x L 5.109.001.023++-=x x )100(≤<x )6(03.018.003.0)(2'--=+-=x x x x x L )6,0(∈x 0)('>x L )(x L ]10,6(∈x 0)('<x L )(x L 6=x )(x L（ⅱ）根据题意，X 服从超几何分布，P （X=k ）=，k=0，1，2，3．X 的分布列为X 的期望E （X ）=0×+1×+2×+3×=1． …22. (本小题满分12分)解：（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q 2,.根据分布列知: =0时=0.03,所以 ，q 2=0.8.（2）当=2时, P 1==0.75 q ( )×2=1.5 q ( )=0.24当=3时, P 2 ==0.01, 当=4时, P 3==0.48,当=5时, P 4==0.24所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.()0.75P A =2()1P B q =-ξ22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-210.2q -=ξ)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=221q -221q -ξ22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-ξ22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==ξ()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+ξξ00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。