2016-2017学年高中数学人教A版必修3课件：3.2.1 第二课时 古典概型的综合问题

[类题通法] 解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有 顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论 选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为 先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题 的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每 一件产品被取出的机会都是均等的．
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，再从袋中随 机取一个球，记下编号为 n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)， (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个． 又满足条件 n≥m＋2 的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个． 所以，满足条件 n≥m＋2 的事件的概率为 P1＝136， 故满足条件 n＜m＋2 的事件的概率为 1－P1＝1－136＝1136.
[活学活用] 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然 后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n＜m＋2 的概率． 解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有： 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4，共 6 个．从袋中取出的两 个球的编号之和不大于 4 的事件有：1 和 2,1 和 3，共 2 个，因此 所求事件的概率为 P＝26＝13.
[解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切 可能的结果组成的基本事件有 6 个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2， a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产品．总的事件 个数为 6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
概率与统计的综合问题
[例 3] 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分 层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率．
故事件 B 所包含的基本事件数为 m2＝81×106. 所以由古典概型概率公式，得 P(B)＝mn2＝811×08106＝0.81.
[类题通法] 解决数字型问题
(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会 是相等的，且首位也可以为 0.
(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常 借助整数的有关性质求解．
[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为 A4，A5，大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有 可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)， (A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)， (A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 15 种． ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所 有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共 3 种． 所以 P(B)＝135＝15.
用 A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件， 所以 A＝a1，b，a2，b，b，a1，b，a2. 因为事件 A 由 4 个基本事件组成， 所以 P(A)＝46＝23.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)， (a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b， a2)，(b，b)，共 9 个基本事件组成．由于每一件产品被取到的 机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用 B 表示“恰有一件次品”这一事件，则 B＝{(a1，b)，(a2，b)， (b，a1)，(b，a2)}．事件 B 由 4 个基本事件组成，因而 P(B)＝49.
2016-2017学年高中数学人教A版必修 3课件：3.2.1 第二课时 古典概型的综
合问题Βιβλιοθήκη 有序和无序型问题[例 1] 从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b 的三件产品中， 每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有 一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一 件次品的概率．
数字型问题
[例 2] 某城市的电话号码是 8 位数，如果从电话号码本中任 取一个电话号码，求：
(1)头两位数字都是 8 的概率； (2)头两位数字都不超过 8 的概率． [解] 电话号码每位上的数字都可以由 0,1,2，…，9 这十个 数字中的任意一个数字组成， 故试验基本事件总数为 n＝108.
(1)记“头两位数字都是 8”为事件 A，则若事件 A 发生，头 两位数码都只有一种选法，即只能选 8，后六位各有 10 种选法， 故事件 A 包含的基本事件数为 m1＝106.所以由古典概型概率公 式，得 P(A)＝mn1＝110068＝1010＝0.01.
(2)记“头两位数字都不超过 8”为事件 B，则事件 B 的头两 位数码都有 9 种选法，即从 0～8 这 9 个数字中任选一个，后六 位各有 10 种选法，
[活学活用] 储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任取． (1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码 的概率是多少？ (2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字 正好按对密码的概率是多少？
解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有 从 0 到 9 共 10 种取法，故这种号码共有 106 个．由于随意按下 一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，故正 好按对密码的概率 P＝1106. (2)按六位号码的后两位数字共有 10×10＝100 种按法，随意按 下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为 P＝1100.