迭代法的改进与应用
迭代法解决复杂问题
迭代法解决复杂问题迭代法解决复杂问题在解决复杂问题时，迭代法是一种常用的解决方法。
迭代法是通过将一个问题拆分成一系列较小的子问题，并逐步逼近最终解的方法。
它是一种逐步逼近的过程，每一步的解决方案都是在上一步的基础上进行优化和改进。
迭代法的核心思想是通过多次迭代，逐步逼近问题的最优解。
在每一次迭代过程中，都会对上一次迭代的结果进行评估和分析，然后根据分析结果进行调整和改进。
这种逐步迭代的方式可以帮助我们更好地理解问题，找到更合理的解决方案。
迭代法的优点之一是它可以解决复杂的问题。
复杂问题往往涉及多个变量和约束条件，通过一次次的迭代，我们可以逐步优化这些变量和约束条件，最终达到问题的最优解。
迭代法的另一个优点是它可以在解决问题的同时提供反馈，使我们能够及时了解问题的进展和改进方向。
迭代法的应用领域非常广泛。
在工程领域，迭代法可以用来解决复杂的结构设计问题和优化问题。
在金融领域，迭代法可以用来解决组合优化问题和风险管理问题。
在计算机科学领域，迭代法可以用来解决搜索和优化问题。
无论是在哪个领域，迭代法都能发挥出其独特的优势。
当然，迭代法也存在一些挑战和限制。
首先，迭代法需要进行多次迭代，这会消耗较多的时间和资源。
其次，迭代法的结果可能只是问题的一个近似解，而不是最优解。
最后，迭代法的效果取决于初始值的选择，不同的初始值可能会导致不同的结果。
总的来说，迭代法是解决复杂问题的一种有效方法。
它通过逐步逼近的方式，帮助我们不断优化和改进解决方案，最终找到问题的最优解。
虽然迭代法存在一些挑战和限制，但只要我们合理选择初始值和进行充分的迭代次数，迭代法仍然是一种非常可靠和有效的解决方法。
无论是在哪个领域，迭代法都可以发挥其独特的优势，帮助我们解决复杂问题。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是指未知数的高次幂或三角函数、指数函数等构成的方程。
非线性方程的求解是数值计算中的一个重要问题，常用的方法有迭代法、试位法、牛顿法等。
下面介绍三种新的迭代法。
1. 牛顿法的改进牛顿法是一种求解非线性方程的常用方法，通过选择合适的初始值，可以得到方程的一个根。
在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，甚至可能发散。
为了克服这个问题，有人提出了牛顿法的改进方法。
改进的思想是在每一步的迭代中引入一个修正因子，使得每一步的迭代都能够加速收敛。
这个修正因子可以选择为方程导数的逆矩阵，或者通过数值计算方法来估计。
通过引入修正因子，可以使得牛顿法的收敛速度更快，提高求解非线性方程的效率。
2. 弦截法弦截法是一种求解非线性方程的迭代法，它可以看作是牛顿法的一种变形。
在牛顿法中，通过选择切线与x轴的交点作为新的逼近解，而在弦截法中，通过选择切线与两个初始逼近解的连线的交点作为新的逼近解。
弦截法的迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn) * (Xn - Xn-1) / (f(Xn) - f(Xn-1))在每一步迭代中，选择两个初始逼近解Xn和Xn-1，代入上述迭代公式即可求得新的逼近解Xn+1。
通过不断迭代，可以逐渐接近方程的根。
3. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种变步长的牛顿法，它的主要思想是通过动态调整迭代步长的大小来提高求解非线性方程的效率。
在牛顿-拉夫逊法中，首先根据初始解得到牛顿法的逼近解，然后根据逼近解和方程的误差，动态调整迭代步长。
如果逼近解接近方程的根，将步长增加，以加快收敛速度；如果逼近解偏离方程的根，将步长减小，以避免迭代发散。
λ为步长调整因子，可以根据迭代过程中的收敛情况进行动态调整。
牛顿法的改进、弦截法和牛顿-拉夫逊法是三种求解非线性方程的新的迭代法。
这些方法通过引入修正因子、变化逼近解和动态调整步长等方法，可以提高求解非线性方程的效率和收敛速度。
牛顿迭代法在物理学中的应用
牛顿迭代法在物理学中的应用牛顿迭代法是一种求方程根的数值方法，它是由17世纪著名的英国物理学家和数学家牛顿发明的。
他的方法是通过利用导数的概念来不断优化猜测值，从而找到一个方程的根。
在物理学中，牛顿迭代法被广泛应用于各种实验和理论计算中，例如求解粒子加速器中的粒子轨迹的方程，或者求解天体物理学中的引力场方程等。
在粒子物理学中，牛顿迭代法被用来优化束流的传输，这是一个非常关键的问题。
束流经过各种控制器后，其轨道可能产生偏差和失真，这就需要对牛顿迭代法进行改进和优化。
一种改进的方法是使用多项式牛顿迭代法，它可以减少迭代次数，从而提高计算效率。
此外，还有一些其他的方法，例如使用人工神经网络和遗传算法等，来优化牛顿迭代法的求解过程。
另一个典型的应用是天体物理学中的引力场方程。
引力场方程描述了恒星和行星之间的相互作用，它是一个高阶非线性方程。
由于该方程的求解过程非常复杂，通常需要使用数值方法进行计算。
牛顿迭代法是目前最常用的求解方法之一。
在电磁场理论中，牛顿迭代法也被广泛应用。
电磁场方程是一个包含电场和磁场的非线性偏微分方程，牛顿迭代法可以帮助求解电场和磁场的强度分布。
例如，在核磁共振成像中，可以使用牛顿迭代法来重建原始信号，从而得到更精确的图像。
总之，牛顿迭代法在物理学中发挥了至关重要的作用。
不仅能够解决各种高阶非线性方程，而且也可以优化相关的理论和实验计算。
这种方法的广泛应用表明了数学和物理学之间的密切联系。
在未来的发展中，我们有理由相信，牛顿迭代法和其他基于数值计算的方法将会不断推动物理学的进步。
迭代法的应用
迭代法的应用迭代法，又称递归法或回代法，是一种数学计算方法，通过逐步逼近的方式寻找方程的解。
迭代法广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、物理学和工程学等等。
本文将介绍迭代法的基本原理，并探讨其在不同领域中的应用。
一、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过逐步逼近的方式解决问题。
具体而言，迭代法使用一个初始值作为起点，然后通过一定的计算规则不断更新这个值，直到满足特定的条件为止。
这个过程可以理解为在数轴上不断靠近目标点的过程。
迭代法的核心在于不断重复更新值的操作，直到找到满足精度要求的解。
二、迭代法在数学中的应用1. 方程求解：迭代法广泛应用于方程求解中。
例如，使用牛顿迭代法可以求解非线性方程，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。
迭代法不仅可以解决简单的方程，还可以应用于更复杂的方程组，如线性方程组和常微分方程等。
2. 数值积分：在数值方法中，迭代法也经常用于数值积分的计算。
通过将积分区间划分为多个小区间，利用迭代法逼近每个小区间的积分值，最后将这些积分值相加得到整个区间的积分近似值。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
三、迭代法在计算机科学中的应用1. 数值优化：在计算机科学中，迭代法被广泛应用于数值优化问题。
例如，通过不断迭代调整参数的值，可以优化机器学习算法中的模型参数，使得模型在给定数据集上的表现达到最佳。
2. 图像处理：迭代法也可以应用于图像处理领域。
例如，通过不断迭代计算，可以对图像进行降噪、边缘检测和图像增强等操作。
迭代法能够逐步改进图像的质量，提高图像处理的效果。
四、迭代法在物理学和工程学中的应用1. 计算流体力学：在计算流体力学中，迭代法被广泛应用于求解流体动力学方程。
通过将流体域离散成网格，利用迭代法逐步求解每个网格点上的流体状态，可以模拟流体在不同条件下的行为，如风洞实验和飞行器设计等。
2. 结构分析：在工程学中，迭代法也可以用于结构分析和设计中。
通过不断迭代更新结构的参数，可以实现结构的优化和调整。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
科克伦奥科特迭代法
科克伦奥科特迭代法科克伦奥科特迭代法是一种求解非线性方程的迭代方法，也称为收敛加速方法，其主要思想是通过适当构造迭代函数使原问题的收敛速度加快。
科克伦奥科特迭代法的基本形式为：$x_{i+1}=g(x_i)$其中，$g(x)$是迭代函数，$x_i$和$x_{i+1}$分别为第$i$和第$i+1$次迭代的解。
在实际应用中，科克伦奥科特迭代法可以通过以下两种方式进行改进，以提高其求解效率。
一、牛顿下山法在科克伦奥科特迭代法中，迭代函数的构造是基于原问题的某些特性，这种迭代方式有可能会导致收敛速度过慢，甚至发散。
为了克服这种不足，可以将牛顿下山法引入到科克伦奥科特迭代法中，即将牛顿迭代法的步长乘上一个因子，从而得到一个更优的迭代函数。
具体而言，牛顿下山法的迭代函数为：$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\lambda_i$其中，$\lambda_i$为步长因子，一般取小于$1$的正实数。
二、Aitken加速法由于科克伦奥科特迭代法的收敛速度依赖于迭代函数的构造和初始值的选取，因此有时会由于初始点选取不当而使其收敛速度过慢。
为了克服这种不足，可以引入Aitken加速法来提高其收敛速度。
Aitken加速法的基本思想是，计算出三个近似解$x_i,x_{i+1}$和$x_{i+2}$，然后通过以下公式进行加速：$x_{{i+1}}^{(1)}=g(x_i),$$x_{{i+1}}^{(2)}=g(x_{i+1}),$$x_{{i+1}}^{(3)}=g(x_{i+2}),$$\bar{x}_{i+1}=x_{{i+1}}^{(3)}-\frac{(x_{{i+1}}^{(2)}-x_{{i+1}}^{(1)})^2}{x_{{ i+1}}^{(3)}-2x_{{i+1}}^{(2)}+x_{{i+1}}^{(1)}}.$其中，$\bar{x}_{i+1}$为加速后的近似解。
算法的设计(第8章迭代改进法)
迭代改进法需要大量的计算资源和时间，特别是在大规模 数据集上。此外，如何获取有效的反馈并进行合理的调整 也是一大挑战。
对未来的展望
• 技术发展：随着计算能力的不断提高和算法的不断改进，迭代改进法有望在更 短的时间内获得更好的结果。未来，随着技术的进步，迭代改进法有望在更多 领域得到应用。
• 算法创新：未来，迭代改进法可能会与其他算法或技术相结合，产生新的算法 或方法。例如，将迭代改进法与深度学习相结合，可能会产生更高效的模型和 算法。
06 迭代改进法的案例分析
线性规划问题
总结词
迭代改进法在解决线性规划问题中，通过不断迭代和改进，寻找最优解。
详细描述
线性规划问题是在满足一系列线性等式或不等式约束条件下，最大化或最小化 一个线性目标函数的问题。迭代改进法通常采用梯度下降法或牛顿法等优化算 法，通过不断迭代和调整变量的值，逐步逼近最优解。
近似算法
对于一些难以精确求解的问题，迭代改进法 可以用来设计近似算法，以获得可接受的近 似解。
处理复杂问题
1 2
多目标优化问题
当目标函数和约束条件较多时，迭代改进法可以 用来处理多目标优化问题，以平衡不同目标之间 的冲突。
高维优化问题
对于高维优化问题，迭代改进法可以通过逐步降 低搜索空间维度，简化问题的复杂性。
• 应用拓展：随着数据规模的扩大和需求的多样化，迭代改进法有望在更多领域 得到应用。例如，在自然语言处理、智能推荐、自动驾驶等领域，迭代改进法 有望发挥更大的作用。
• 挑战与机遇：虽然迭代改进法面临一些挑战，如计算资源和时间的限制、如何 获取有效反馈等，但同时也带来了许多机遇。未来，随着技术的进步和应用需 求的增加，迭代改进法有望成为算法设计领域的重要方向之一。
jacobi迭代法解析：原理与应用
jacobi迭代法解析：原理与应用标题：Jacobi迭代法解析：原理与应用导语：在数值计算和线性代数中，Jacobi迭代法是一种常用的迭代方法，用于解决线性方程组。
本文将深入探讨Jacobi迭代法的原理、应用和相关领域的研究，以帮助读者对这一数值算法有更全面和深刻的了解。
一、Jacobi迭代法介绍1.1 基本原理Jacobi迭代法是一种迭代法，用于求解线性方程组Ax = b，其中A是一个方阵，x和b是向量。
该方法通过不断迭代计算逼近线性方程组的解，直至满足预设的精度要求。
1.2 迭代公式详细介绍Jacobi迭代法的迭代公式，包括终止条件和迭代收敛性分析。
1.3 算法流程介绍Jacobi迭代法的算法流程和步骤，以及如何选择合适的初始解向量和迭代次数。
1.4 算法复杂性分析分析Jacobi迭代法的时间和空间复杂性，以便读者可以评估它在实际问题中的应用可行性。
二、Jacobi迭代法的应用2.1 线性方程组求解探讨Jacobi迭代法在解决大规模线性方程组时的应用，包括稀疏矩阵和高度并行计算环境下的性能优化。
2.2 特征值求解介绍Jacobi迭代法在计算特征值和特征向量时的应用，以及与其他方法（如幂法和QR算法）的比较和优势。
2.3 图划分与图分割探讨Jacobi迭代法在图划分和图分割问题中的应用，以及如何利用迭代过程提高划分结果的质量。
2.4 数值模拟与优化讨论Jacobi迭代法在数值模拟和优化问题中的应用，如流体力学、结构力学和优化设计等领域。
三、Jacobi迭代法的扩展与改进3.1 并行Jacobi迭代法介绍并行Jacobi迭代法的思想和实现策略，包括数据并行和任务并行，并讨论其对迭代收敛性和算法效率的影响。
3.2 加速算法与预条件技术探讨Jacobi迭代法的加速算法和预条件技术，如超松弛迭代法（SOR）、不完全LU分解和多重网格方法等，以加快迭代收敛速度和提高求解精度。
3.3 进一步的应用领域介绍Jacobi迭代法在其他领域的应用，如图像处理、信号处理和机器学习等，并指出其优势和适用性。
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有了上面两次大的简化。这样整个解题程序也就只有下面三步了
解：
=
这是一种全新的解法，因为是本人发现的，读者你也许将会使用这个方法，而且此法的特点是“拉”，所以本人将这个方法命名为马你拉法，谐音：马尼拉法
四助记诗。现在我们已经知道怎么用马尼法解题了，但这还不够，时间长了就会遗忘的。为了帮大家理解记忆我花了很长的时间编了一首助记诗，叫马尼拉诗，现有3个版本：
核分裂流程：每一次分裂产生一个新的核和一个未成熟的配子p,另加一个待配项 ，壁外待分配子则与待配项 进行分配，产出新生项 ，并被拉到适当的位置排好，同时，新配子p成熟并移至壁外与原有配子 结合成待分配子 并储存下来等待下一次分配。至此，一次核分裂就算完成了。如此重复下去，将会不断地有新生项诞生，队（展开式）也将排得越来越长了，象拉杆天线！象生长的乐口销，象流水线，象卷尺！。而递推公式正好给出了这种核裂变的机理。到此，我们就知道，每一个等式的第二项即新生项就是这样产生，这样“拉”出来的。
两和一降相差2：它告清楚无误地告诉我们相邻两项p的指数永远是相差1的，并且是左大右小，这是先天的，与生俱来的，所以p当然是降幂排列的。a,q的指标永远相差2=(n+1)-(n-1)，从遗传学的角度看，它正好是所隔的代数2。第二项是n+1次齐次式。核心是：首项指标和相等，和为n，a,q指标差相等，差为2，这两条就是整个递推关系的密钥！而等差是核心的核心！因为这是一条我们以前未发现的性质，也正是我们写不出展开式第二项的原因所在。通俗地讲：首项的指标就是把n折成两个正整数的和，而a,q的指标就是把常数2折成两个正整数的差，这就是这个递推公式的核心。一般地讲，不同的递推公式aq有着不同的差，也就是所隔的代数一般是不同的。
三方法改进
1程序优化
由于迭代展开图上下是一种帘式反应，所以我们只要知道起点就可知终点，还可以写出中间的任意一行的展开式。因此展开时只须写起点和终点的程序，而中间点则成为行的通式，即
起点①
中间⑥=
终点=⑦
这大大地简化了解题的程序
2．计算简化
⑦是等比数列求和，我们将改进计算方法，不是直接用等比数列的求和公式而是用两个字母的求和公式而且是它的变式即公式 ①
迭代法的改进与应用
武汉市第48中学马芳鑫2011.4.5定稿
核心提示：本文对传统的迭代法作了一些改进，使得这方法简单，更加便于应用，同时自编了一首助记诗，便于记忆。这种方法的特征在于拉，因此我把这种新的迭代法命名为马尼拉法，简称拉法。可以这样说，一法在手，扫遍天下。
核心词；迭代法，改进，简单，易记。拉法。
一句话，有了正常的配子，又有了正常的待配项，生产出正常的新生项是再自然不过的事，这样说也许对我们理解展开式每一个等式的第二项是怎么来的会有所帮助了！
从理论上我们还可以证明每一新生项的次数一定是n+1次
我们假定现在已递归到第m代，即 ，由于p,a的指标和是定值n,所以壁外已成熟的配子数只能是n-m-1.由于是隔2代分配，所以待配项q的指数一定是m+2,即 ，分配后生出来的新生项就是 ，它的次数是(n-m-1)+(m+2)=n+1.由于展开式从第二项起每一项都是这样生出来的，所以每一项的次数都是n+1,因此，展开式从第二项起，都是n+1次齐次式，ok!
2011.4.5.10:26完稿.
2011-4-516：40定稿
设 则
下面如何进行？我看好多人会束手无策了！当然可用除幂对应转化法来做：
① ② ③{ 是首项为 公差 的等差数列. ④ ⑤ ⑥共有6步.
再用马尼拉法法试试：
①
多么简洁飘亮!3步就搞定了！真的是：理解加记忆做题真给力！同时充分说明迭代法是通法通则，思维呈线性，解题步骤少于构造法。缺点是：展开式易写错，倒数第二步如果用等比求和公式则较繁。
正文：迭代法是一种古老而实用的方法，但因解题程序冗长，且不容易记住展开式的第二项，且往往计算量很大，而让很多学生却步。本人经过详细研究，对迭代法进行了大胆的改进，使得它既简单又便于记忆，现在把它介绍给大家。
一．迭代法及解题程序.迭代，最直白的意思就是代代相传，就是对输出的结果进行同样的操作。要完成一次迭代必须给定种子和迭代法则。根据这个原理总结出的解题程序就叫迭代法。
核机制、马尼拉诗实破了前一个难点，公式①则实破了后一个难点，并且只要具备有理数运算知识就能完成上面的工作，特别适合文科学生，因此不失为一种好方法，让古老的数学方法焕发出了青春！
你能自编一些题目做做吗？或许你还会有新的发现！祝你成功！
变更法则再迭代，也就是所谓的构造等比数列法，其实叫等倍数列法也许更确切。下面举例说明
两幂之积：
中间相加；
降幂排列，
指数补差，=
提出补差，
上加下差，
通分化简，
检验作答。
这个版本适合于只会加减乘除，正负数的学生做。
3. （ ）
解：加1括号：
首项பைடு நூலகம்调：
向后一拉：
两幂之积：
中间相加；
降幂排列，
指数补差，
提出第二，
系数相乘，
上加下差，
通分化简，
检验作答
做完了这几道题目可以看出，诗的有些句子是可减的，基础好的学生甚或可以直接写出结果了！
综上所述，我们对迭代展开图有了一个清析动态的理解：它象卷帘一样象下拉的菜单，可以自由的上下拉动，左右拉动。各项之间相互联系，各元素之间相对运动，矛盾对立但和谐共生。随着上下的拉动，展式向右逐次展开，整个展开式图呈梯形结构，就象列车运行票价图。这样我们就把静止的迭代展开图变得生动活泼了。从量的关系上看，一个等和，一个等差，是递推的核心！是密钥！
马尼拉1.0:加1括号，首项对调；
向后一拉，中间相加，
降幂排列，指数补差；
妙用公式，检验作答。
马尼拉2.0:加1括号，首项对调；
向后一拉，两底之积，中间相加；
降幂排列，一降一升，指数补差；
提取补差，系数相乘，上加下差。
通分化简，检验作答！
这是个完整版，适合基础很差的学生用。
马尼拉3.0：加1括号，首项对调，一拉就到！妙，妙，妙！
例如 加1括号，一拉就到
公式了！马尼拉3.0真给力！
三个经典例子显现这个方法的优越性
1．
解： 加1括号，首项对调，
= 一拉就到。
=1.
这就是我们熟知的常数列1，1，1，1，…
2
解：
这就是.等比数列
如果用构造法将会出现：
设
得x=-3
于是
这是一个常数数列，并非等比数列.这并不是每一个人都能理解的.
3．
下面先用等比构造法来做：
1．
解：
只有一项就对调。此法可以叫做等倍迭代，今后遇到等倍迭代只须指标对调就到了答案了，不用担心首项是否为零。它是马尼拉法的特殊情形,只有首项，对调即可。因此这个方法也可叫马特法！唯马首是瞻。
2．
解：用一点换元的思想，把（ ）看成一项
现在你明白了吧，等比构造法只是我们马尼拉法的特例。
由于迭代展开图可以象卷帘一样上下拉动，所以，我们还可以象乘公交车一样在中途的任意一个站点下车，也可以象查家谱一样想查哪一代就查哪一代。请看下例
，改写成 ， ，用马尼拉法得到展开式后，再错位相减。
现在我们可以下结论了：马尼拉法好理解，好记，应用广，是真正的通法通则！
真是理解加记忆，做题真给力！
后记：我所教的学生是那些数学基础可以视为零的学生，他们没有考取高中，而且读的是文科。这篇文章是我根据教案改写的。课后学生反响强烈，第一次课自编自练测试，班上听课的27位学生（共有32位学生，其中有5位学生去上传媒课去了）有17位学生交卷，只有1位学生出现实质性错误，有13人全对！原本估计有2至3人做对就不错了，结果却大大出乎我的所料。而出错的那位学生竟然是学习基础最好的那位。为什么会这样呢？这也是值得我们深入思考的！
下面重点看每个等式的第二项是怎么产生的，也就是下一项是怎么脬出来的，比如
下面我们用“核分裂”说，来解释这一现象，我们先作一个约定：每一个 都可以看成是一个可分裂的“核”。一次迭代视作一次分裂。p叫做配子，只有成熟的配子才能分配。因此，上面的递推关系就可以改述成：核向外膨胀到一定的程度就会发生分裂，每一次分裂都产生一个新的“核”和一个未成熟的配子p，另加一个待配项。
例：
，这是用马特法
直接用马尼拉法也不算烦
=
由于我们已经深刻地了解了迭代展开式产生的机制及计算方法，因此，我们还可以试着编制更复杂的题让人去做，也就是说我们不仅能做别人出的题，还能出题给别人做，比如可以这样编：
你能试着直接写出答案吗？
，哦,aq是以这种方式等差的！
猜想： ，你可以马尼拉法证明吗？
你还可以做类似于下面的题目
让我们先作纵向的分析：先看迭代图左边的第一列，从上往下看，p的指数从1到n-1,是递升的，a下标由n-1到1，是下降的，p,a的指标和是定值n，也就是数n的折分。从整体看，它就是等比数列的通项公式，因此这个数列的通项公式应当有等比的成分，再加一个修正项才是合理的，而最后的结果⑩正是这样，而等比数列又是我们相当熟悉的，因此，我们就能理解第一列是怎么产生的，1到m再到n-1,上标与下标相对运动，最终对调了，象下拉的窗帘，下拉的菜单，而这些东西都是可上可下的，因此我们的展开式应当也是可以随意展开到任何一步的，象滚动的屏幕。这样，我们是不是对第一列是怎么产生的有了一个动态的形象的理解了，也就不存在不理解的理由了。
再看最后的一列，斜线形的，每一项是 ，象阶梯。因此，我们可以得出这样的结论，斜线展开，尾项不变。
把上面这两点结合起来就可以得出这样的概念：整个展开式象梯形结构
下面再作横向的分析：先从左至右看每一行，容易看出，每一项都都是由pq的幂组成的积 ，p的指数成降幂排列，一直到0，