三角形射影定理
直角三角形的射影定理
直角三角形的射影定理
直角三角形的射影定理指的是几何学中被广泛使用的一种定理。
它假设有一个直角三角形ABC，在它的顶点A和B都有一个射线AB和AC。
AB射线和AC射线的角度分别为α和β。
射线AB和AC分别与BC边的延长线相交，分别在D和E点相交。
根据这个定理，分析得出BC距离的比率可以表示为：
BC : AD : AE = tanα : tanβ
这个定理也可以说是由勾股定理推导而来的。
将直角三角形放在同一坐标系中，将三角形ABC连接成ADBBE四边形，使用勾股定理求出四个三角形的边长：AD^2 = AE^2 + BC^2。
这样，分母可以求出，但是分子还未计算出来，因此将AE^2和BC^2分别处以
tanα和tanβ后，得到分母，AD^2/(tanα * tanβ)，于是BC : AD : AE = tanα : tanβ就可以求出。
这个定理在各种地理、天文等领域中得到广泛应用，比如在视觉几何中，射影定理可以用来求出延长线上点投影到原点坐标系中的坐标；在测地学中，可以用它求出两个点之间的距离；还可以用它验证三角形的形状，例如检查一个三角的顶点关系，确保是直角三角形。
总之，直角三角形的射影定理是一种非常实用的数学定理，在几何学中有着广泛的应用价值。
并且它也是许多实际应用中重要的数学工具，帮助人们解决和求解复杂的科学问题。
射影定理
百科名片射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
等积式（４）ABXBC=BDXAC (可用面积来证明）射影射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理的证明（注：公式较多，难免出现乱码，请见谅）证明：射影定理简图(几何画板)一、在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD，∴AD/BD＝BD/CD，即BD²=AD·DC。
其余类似可证。
(也可以用勾股定理证明)注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
有射影定理如下：AB²=BD·BC，AC²=CD·BC 。
两式相加得：AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC²,即AB²+BC²=AC²（勾股定理结论）。
二、已知:三角形中角A=90度,AD是高.用勾股证射影:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+ CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^ 2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.综上所述得到射影定理。
射影定理
射影定理：
所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）(BD)^2=AD•DC，（2）(AB)^2=AD•AC ，（3）(BC)^2=CD•CA 。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心
角的度数的一半.
顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD。
三角形的射影定理
三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是指在三角形中,如果两条边的长度比等于斜边的长度比,那么这个三角形是一个等腰三角形。
这个定理可以帮助我们确定三角形的形状,并且在某些情况下可以用来求解三角形的相关问题。
正文:三角形的射影定理是指:在一个三角形ABC中,如果AB、AC、BC三条边的长度比等于斜边AB/斜边AC=BC/斜边BC,那么这个三角形ABC是一个等腰三角形。
这个定理可以通过以下方式证明:假设三角形ABC是一个等腰三角形,并且顶点C的坐标为(x0,y0),顶点A的坐标为(x1,y1),顶点B的坐标为(x2,y2)。
那么根据勾股定理,有:AB^2 = AC^2 + BC^2即:(x1-x0)^2 + (y1-y0)^2 + (x2-x0)^2 + (y2-y0)^2 = x0^2 + y0^2(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (x0-y1)^2 + (y0-x1)^2 = x1^2 + y1^2(x0-x2)^2 + (y0-y2)^2 + (x1-y2)^2 + (y1-x2)^2 = x2^2 + y2^2 将上述三个式子相加,得到:2(x1-x0)^2 + 2(y1-y0)^2 + 2(x2-x1)^2 + 2(y2-y1)^2 + 2(x0-y1)^2 + 2(y0-x1)^2 = x0^2 + y0^2 + x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2化简得:0 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 + y2^2因此,x0^2 + x1^2 + x2^2 = y0^2 + y1^2 + y2^2即(x0+x1+x2)^2 = (y0+y1+y2)^2因此,x0+x1+x2 = y0+y1+y2因为三角形ABC是等腰三角形,所以有x0=x1=x2=y0=y1=y2。
因此,x0+x1+x2 + y0+y1+y2 = 0因此,(x0+y0) + (x1+y1) + (x2+y2) = 0即(x0+x1+x2+y0+y1+y2) = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 0因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = -(x0+x1+x2+y0+y1+y2) = 0因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 + y2^2 因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = x0^2 + y0^2 + x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = (x0+y0)^2 + (x1+y1)^2 + (x2+y2)^2 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = x0^2 + x1^2 + x2^2 + y0^2 + y1^2 +2(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 2(x0+x1+x2+y0+y1+y2) 因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 2(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^2 = 4(x0+x1+x2+y0+y1+y2)因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^4 = 4^4因此,(x0+x1+x2+y0+y1+y2)^4 = 4^4 = 16^4因此,x0+x1+x2+y0+y1+y2 = 0拓展:这个定理可以用来确定三角形ABC的形状,并且在某些情况下可以用来求解三角形的相关问题。
直角三角形的射影定理 课件
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
则 AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2， 即 AC2＋BC2＝AB2.
由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们 是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定 理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便 得多．
3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？ 【提示】 直角三角形射影定理的逆定理：
1．如何使用射影定理？
【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要 结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可
直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件， 在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．
2．如何用射影定理证明勾股定理？ 【提示】
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
直角三角形中的射影定理
直角三角形中的射影定理射影定理说的就是，如果你在直角三角形的一个边上投射一个垂线，那么这个垂线就会把直角三角形的其他两边给“分割”开来。
听起来好像没什么大不了，但这其中的奥妙可就不少了。
比如说，设想你在户外晒太阳，找到一个完美的地方，角度正好，阳光洒下，地上留下一个小小的影子。
这时候，你可以发现，这个影子跟三角形的关系是多么紧密。
影子在那儿，就像是直角三角形的一部分，甚至可以用它来计算其他边的长度。
大家知道，数学里常常需要一些公式来帮助我们理解这些关系。
射影定理就像是一把钥匙，能帮助我们打开这个数学宝箱。
它告诉我们，直角三角形中一边的长度与它的垂直射影和另两边的长度之间的关系，简单来说，就是那些边之间有个神秘的联系。
咱们可以用这种关系来解决很多实际问题，比如说建筑设计或者工程计算。
想想看，如果没有这些定理，很多建筑可能就得坍塌了。
再说说这个定理的实际应用。
你可能在街上看到工人在测量某个建筑物的高度。
嘿，他们其实就是在利用射影定理哦！工人们通过测量距离和角度，轻松算出高楼大厦的真实高度。
简直像魔法一样！咱们生活中的很多地方都能见到射影的身影。
比如在游乐园，那个旋转木马上，影子随着马的转动而变化，这种变化其实就是一种射影的表现。
真是妙不可言。
再说回射影定理，它的魅力不仅在于它的计算，还在于它的简单和直观。
想象一下，你在学校里上数学课，老师拿着一个直角三角形的图纸，开始给你讲解。
这时候，你可能会觉得有点枯燥，但等你理解了射影定理，就像开启了新世界的大门。
你会发现，数学其实是如此生动，有趣，而且无处不在。
甚至在你生活中的每一个小角落都能看到它的身影。
直角三角形也让我们领悟到了很多人生哲理。
就像那个简单的三角形一样，生活中往往有简单的道理藏在复杂的外表下。
射影定理教会我们要善于发现那些隐藏的关系，正如我们在生活中要去洞察他人的感受，抓住事情的本质。
很多时候，我们的生活就像是一场游戏，关键在于如何使用手中的“工具”，让一切变得更简单。
三角函数的射影定理
三角函数的射影定理介绍三角函数是数学中非常重要的概念之一，可以用来描述在直角三角形中角的关系。
而射影定理是三角函数中的一个重要定理，它给出了一个角的正弦，余弦和正切的定义。
射影定理的定义三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个三角函数：正弦、余弦和正切。
首先，我们考虑一个直角三角形ABC，假设∠ABC是直角：1.正弦（Sine）：正弦是一个角的对边与斜边的比值，记作sin(A) = a/c。
2.余弦（Cosine）：余弦是一个角的邻边与斜边的比值，记作cos(A) = b/c。
3.正切（Tangent）：正切是一个角的对边与邻边的比值，记作tan(A) = a/b。
三角函数的定义使我们可以通过三个已知量之间的关系来求解未知量，从而在数学和物理等领域中得到广泛应用。
射影定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以将任意一条边射影到另一条边上，从而得到新的长度。
射影定理描述了在任意三角形中，两个相似的三角形的对应边的比值相等。
具体而言，假设∠ABC和∠DEF是相似的角，∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
那么，射影定理给出了以下三个关系：1.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正切值相等：tan(∠ABC) =tan(∠DEF)。
2.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正弦值的比值等于两个对应边的比值：sin(∠ABC)/sin(∠DEF) = AB/DE。
3.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的余弦值的比值等于两个对应边的比值：cos(∠ABC)/cos(∠DEF) = AB/DE。
证明射影定理证明角的正切值相等首先，考虑∠ABC和∠DEF，假设∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
我们可以通过计算三角形ABC和三角形DEF的对应边的比值来证明角的正切值相等。
根据三角函数的定义，我们知道tan(∠ABC) = a/b，tan(∠DEF) = d/f。
根据相似三角形的性质，我们知道∠ABC和∠DEF是相似的，因此对应边的比值相等。
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三角形射影定理
几何证明
射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理
直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例
中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD）2=BD·DC，
（2）（AB）2=BD·BC ，
（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD
相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC，
c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的
两条线
段长的积相等
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC2=PA·PB（相交弦定理推论）
割线定理：
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.
要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB。
容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，
因此△BPT∽△TPA，于是问题可证：
直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
圆内接四边形的判断定理定理1：圆内接四边形的对角互补；定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆幂定理
圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：22
OP R
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
D
A
P
C
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，
∠A=∠C。
所以△APD∽△BPC。
所以
AP PD
=⇒⋅=⋅
AP BP PC PD
PC BP
（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的
两条线段长的比例中项。
如图，PT为圆切线，PAB为割线。
连接TA，
TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以
2
PT PA PT PA PB PB PT =⇒=⋅ （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线
与圆分别交于
A.B.C.D 则有
PA·PB=PC·PD 。
D
C
B A
这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅
进一步升华（推论）：
过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D 。
则PA·PB=PC·PD 。
若圆半径为r ，则
2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ⋅=-⋅+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P 到圆O 的幂。
（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P 在圆内，类似可得定值为
2222
R PO PO R
-=-
||
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝
对值。
（这就是“圆幂”的由来）。