相似三角形中的射影定理-精选.
相似三角形射影型例题
相似三角形射影型例题
射影定理模型，是和直角三角形有关的三角形相似，最经典的模型了。
在很多考题中都有出现。
这个模型的证明也很简单，也是利用两组角对应相等，得出三角形相似，再得出边之间的比例关系。
当然，我们也常常把这个结论，再引申了一下，变成了某边的平方=某两边的乘积。
如上图，从直角三角形的直角顶点，向斜边作高，这样得出来的三个直角三角形都是相似的。
后面的结论1，结论2，结论3，也就出来了。
这些的结论不要死记硬背，在理解的基础上，就很容易记住。
射影定理，是基础考题，在压轴大题，也应用广泛。
特别是一些隐藏着的摄影定理模型，要善于观察和发现，信手拈来。
例题1，例题2，是最基础的。
这个几个空，先好好的学，一步步的推导，理解了，也就理解了。
例题3，正方形中，若有如图的两线垂直，我们可以想到，除了三垂直三角形全等以外，三角形相似，射影定理也是需要考虑到的。
投影定理与相似三角形
投影定理与相似三角形投影定理是解决三角形相似问题的重要工具之一。
它建立在两个相似三角形之间的一个关键比例上，即两个相似三角形的对应边的长度比等于它们对应边的投影的长度比。
本文将介绍投影定理的原理和应用，以及相似三角形之间的性质和例题分析。
一、投影定理的原理投影定理是几何学中的一条基本定理，它描述了相似三角形之间的对应边的投影与对应边的长度之间的关系。
具体而言，设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB和DE、AC和DF、BC 和EF。
则有以下投影定理成立：AB/DE = AC/DF = BC/EF其中，AB、AC和BC是三角形ABC的边长，DE、DF和EF是三角形DEF的边长。
二、投影定理的应用1. 求相似三角形的边长比例根据投影定理，我们可以利用已知条件求解相似三角形中的某个边长比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE = x/y、AC/DF = m/n，要求求解BC/EF。
根据投影定理可知：BC/EF = (AB/DE) × (AC/DF) = (x/y) × (m/n) = (xm)/(yn)通过这个比例，我们可以知道两个相似三角形对应边的长度之间的倍数关系。
2. 求相似三角形的长度比例除了求解边长比例，投影定理还可以用来求解相似三角形边上的长度比例。
以已知三角形ABC和相似三角形DEF为例，已知AB/DE =x/y，求解AC/DF。
由于投影定理成立，我们可以得到：AC/DF = (AB/DE) × (EF/BC) = (x/y) × (EF/BC)通过这个比例，我们可以求得相似三角形边上长度之间的倍数关系。
三、相似三角形的性质与例题分析利用投影定理，我们可以得出相似三角形之间一些重要的性质。
例如，相似三角形的对应角相等；相似三角形的周长之比等于任意两条对应边的长度之比；相似三角形的面积之比等于任意两条对应边长的平方之比。
相似三角形的投影性质与相交条件
相似三角形的投影性质与相交条件在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被认为是相似的。
本文将探讨相似三角形的投影性质以及相交条件。
一、相似三角形的投影性质相似三角形的投影性质是指两个相似三角形在投影过程中保持相似关系。
具体而言，当一个三角形投影到一个平行于其平面的平面上时，所得的投影三角形与原三角形相似。
这一性质可以通过以下示例来说明：设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，其中A、B、C和A'、B'、C'分别为对应顶点。
假设这两个三角形的平面投影分别为A''B''C''和A'''B'''C'''。
根据相似三角形的定义，我们知道∠A = ∠A'，同理∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
当将三角形ABC沿着平行于其平面的方向进行投影时，相似关系将被保持，即∠A'' =∠A'，∠B'' = ∠B'，∠C'' = ∠C'。
根据这一投影性质，我们可以利用相似三角形的已知条件推导出未知条件。
例如，若已知一个三角形的尺寸和相似三角形的投影尺寸，我们可以通过相似三角形的投影性质计算出其他未知尺寸。
二、相似三角形的相交条件在几何学中，相交是指两个或多个几何图形共享一部分空间的情况。
而相似三角形的相交条件是指两个相似三角形在相交时保持相似关系。
根据相似三角形的定义，我们已知两个相似三角形的对应角度相等。
如果两个相似三角形相交，那么它们共享一条或多条边。
根据三角形的共边共角性质，相交的两个三角形中的对应边所夹的角度必定相等，从而保持了相似关系。
例如，假设存在两个相似三角形ABC和DEF，且它们相交于边BC 和边EF。
相似三角形中的射影定理知识讲解
相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。
例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。
求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。
三角形的射影定理
三角形的射影定理篇一：三角形的射影定理是指,对于一个直角三角形,其斜边的平方等于两直角边平方和。
这个定理可以帮助我们解决很多几何问题,比如计算三角形的面积、判断三角形是否为直角三角形等。
正文:三角形的射影定理是几何学中的一个基本定理,可以用于计算三角形的面积和判断三角形是否为直角三角形。
下面我们将详细介绍这个定理。
假设有一个直角三角形,其两条直角边分别为a和b,斜边的长度为c。
根据勾股定理,有:a2 + b2 = c2其中,a和b表示直角三角形的两条直角边,c表示斜边的长度。
现在我们需要解决一个问题,如何计算三角形的面积S。
根据勾股定理,我们可以得到:S = 1/2 × a × b × h其中,h表示斜边的长度。
将a2 + b2 = c2代入上式,得到:S = 1/2 × a × b × h = 1/2 × b2 × h因此,三角形的面积S等于斜边长度b的平方乘以直角三角形的斜边长度h。
接下来,我们需要考虑三角形是否为直角三角形。
根据勾股定理,如果a2 + b2 = c2,且b2 > c2,则三角形为直角三角形。
否则,三角形为斜边直角三角形。
为了验证三角形是否为直角三角形,我们可以使用勾股定理的逆定理:如果a2 + b2 = c2,则a2 = b2,即a = b。
因此,如果b2 > c2,则a2 + b2 > c2,即a > c。
另一方面,如果b2 < c2,则a2 + b2 < c2,即a < c。
综上所述,如果a2 + b2 = c2,且b2 > c2,则三角形为直角三角形;否则,三角形为斜边直角三角形。
拓展:除了三角形的射影定理,还有很多其他的几何定理,可以帮助我们解决各种几何问题。
其中一些定理包括:1. 正方形的面积等于它的对角线长度的平方。
2. 平行线的性质:如果两条平行线分别与一条直角边相交,则它们的斜边长度相等。
三角形的射影公式
三角形的射影公式摘要：1.引言2.三角形的射影公式定义3.射影公式的推导4.射影公式在实际问题中的应用5.总结正文：【引言】在几何学中，射影是一个重要的概念。
本文将介绍三角形的射影公式，并探讨其在实际问题中的应用。
【三角形的射影公式定义】射影是平面上一点到另一点的有限距离，而三角形射影公式则是描述三角形三个顶点在射影下的长度关系。
对于一个三角形ABC，其射影公式可以表示为：AB^2 = AD^2 + BD^2，AC^2 = AD^2 + CD^2，BC^2 = BD^2 + CD^2，其中D 为BC 的中点。
【射影公式的推导】射影公式的推导需要运用向量运算和几何知识。
以AB 为例，首先需要找到从A 点到B 点的向量AB，然后找到从A 点到射影终点D 的向量AD。
由于三角形的中线将底边分成两等分，所以向量BD 等于向量DC。
接下来，利用向量的模长公式和勾股定理，可以得出AB^2 = AD^2 + BD^2。
同理，可以得出AC^2 = AD^2 + CD^2 和BC^2 = BD^2 + CD^2。
【射影公式在实际问题中的应用】射影公式在实际问题中有很多应用，例如在测量和建筑领域。
在无法直接测量两个点之间的距离时，可以通过测量它们在三角形射影下的长度来间接计算。
此外，射影公式还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形，如果一个三角形的射影长度满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
【总结】本文介绍了三角形的射影公式，通过运用向量运算和几何知识，推导出了射影公式。
同时，探讨了射影公式在实际问题中的应用。
完整版相似三角形中的射影定理
相似三角形相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角RtAABC 中，/ C=90o ，则直角三角形的斜边上的中线长等于【常规题型】1、已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D , SAABC=20 , AB=10。
求 AD 、BD 的长.2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
(4) 等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为有一个锐角为300的直角三角形，300所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理 （只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型:RtAABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则②射影定理: CD 2=AC 2=BC2=B【典型例题】例1.如图所示，在^ ABC 中，/ ACB=90 ° , AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ，求证:BM 2=MN • AM 。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF2. F3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CDAB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的高，这时 DEF和CAB 是否相似?【拓展练习】1、已知：如图， AD 是^ ABC 的高，BE 丄AB , sA ACFAE 交 BC 于点 F , AB • AC=AD - AE 。
求证：△ BEFCBDC3、已知，如图，CE是直角三角形斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P ,连结AP, BG AP ,垂足为G，交CE于D，求证: CE2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD中, B D 90，由点D作AC的垂线交AB于E,交AC于F。
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
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相似三角形
——相似直角三角形及射影定理
【知识要点】
1、直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角
（2）Rt△ABC中，∠C=90º，则2+ 2= 2
（3）直角三角形的斜边上的中线长等于
（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为
（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为
2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：
Rt△ABC中，∠C=90º，CD⊥AB于D，则
①∽∽
②射影定理：
CD2= ·AC2= ·BC2= ·
【常规题型】
1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。
求AD、BD的长.
2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。
（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。
B
A
【典型例题】
例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF
例3．（1）已知ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的
高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？
【拓展练习】
1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。
求证：△BEF ∽△ACF
A B A B C N
D
C
3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，
在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP BG AP ⊥,，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2.
4、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90D B ，由点D 作AC 的垂线交AB 于E ，交AC 于F 。
求证：AE AB AD ⋅=2。
【作业】 1.已知ABC ∆中，CD ACB ,90︒=∠是高，若b AC a BC ==,，q AD h CD ==,，p BD =，且4,3==b a ，则=c ，=p ，=q ，=h .
2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .
B C D
F
3.如图，ABC
Rt∆，AB
CD
ACB⊥
︒
=
∠,
90于D，,
6cm
BD=
cm
AD4
=，则=
BC.
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD⊥AB，DE⊥AC，EF⊥AB，CD=4，AC=5
4，则EF:AF=（）
A．1:2 B．5:2 C．5:5 D．5
2:5
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD=9：4则AC：BC的值为（）
A．9：4 B．3：2 C．4：9 D．2：3
6. 如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，
2
3
=
AC
AB
，则=
BC
CD
（）
A．2:5B．2:3 C．3:2 D．3
:2
7．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。
8．如图，在ABC
∆中，BC
AH
BAC⊥
︒
=
∠,
90于H，以AC和AB为边在ABC
Rt∆形外作等边三角形ABD
∆和ACE
∆，求证：BDH
∆∽AEH
∆.
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C
E
A
F D B。