相似三角形中的射影定理知识讲解
选修4-1相似三角形的判定与性质及射影定理
如何 证明？
B C
B
A C
在△ABC中，D、E分别是AB、AC边 上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：
AD AE DE AB AC BC
A D
E
DE//BC
∠ADE=∠B ∠AED=∠C
B
C
∠A=∠A
△ADE∽△ABC
EF//DB ED//BC
FBDE为
FB EA CB CA
AC BC BC CD
C即 BC2=ACCD来自练习1.如图,圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于一点 E. EB DB A 求证: E
EC
CB
分析: 遇到线段的比例问题 可以考虑三角形的相似 根据线段所在三角形考虑证 B △EBD∽△ECB P19 1,2
D
C
相似三角形的判定(2)
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
探究：△ ABC直角三角形斜边上的高是两条直角 是直角三角形，CD为斜边AB上的高。 射影定理 你能从射影的角度来考察 AC与AD，BC与BD等的关 边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是 系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？
即CD AD BD (1) -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD² A D B ∵AC² 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ B是公共角 , BDC BCA BC AB ∴CD² = AD· BD C 2 2 AD AB AC 即BC BD AB (2)
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。
本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。
射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。
射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。
换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。
射影定理的应用非常广泛。
在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。
在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。
相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。
AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。
相似三角形的性质有很多。
首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。
另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。
相似三角形在几何学中的应用非常广泛。
例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。
此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。
总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。
射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。
相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。
这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。
通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。
2017中考射影定理及其运用
相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫(Euclid)定理）：中，上的高是两直角边在斜边上射影的。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的和的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。
射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。
二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
三、用证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA在Rt△A BD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。
初中射影定理的三个公式
初中射影定理的三个公式哎呀，今天咱们来聊聊初中数学里那个颇有意思的射影定理，听上去高深莫测，其实它就是让我们看得见的简单道理，简直就像喝水一样轻松。
咱们先从头说起，首先得说这个定理可不是什么神秘的高科技，而是一种用来处理平面几何的好帮手。
别说，看似复杂的数学问题，其实都有它简单明了的一面，真是“只问自由何处，皆是心安之地”嘛。
我们先来看看第一个公式，叫做“相似三角形的比例”。
你知道吗，这个公式就像是把小猫和大猫的关系给说清楚了。
比方说，在一个大三角形里，有个小三角形就像小猫站在大猫旁边，大小不一样，可它们的角度却是完全一样的。
这时候我们可以用比例来计算小三角形的边长，真是“巧夺天工”的感觉！只要知道大三角形的边长和小三角形的对应边的比例，嘿嘿，轻轻松松就能得出答案。
生活中就像是量体裁衣，选对尺码就行，哪个不会呀？再说第二个公式，叫做“直线与平面投影的关系”。
这个嘛，就像是阳光照射在地面上的影子，影子也是个大话题呢！比如，你站在阳光下，阳光照在地面上，形成的影子就是你的“投影”。
这个公式告诉我们，直线在平面上投影后，形成的线段和原来的线段之间的关系。
就好比你放了一根直尺在桌子上，尺子和桌面之间的距离、角度，都是我们要考虑的东西。
用这个公式，我们能算出影子的长度，真是“千里之行，始于足下”的道理，慢慢来，定能找到解决办法。
然后，咱们再来说说第三个公式，名叫“平行线的投影关系”。
平行线就像两个好朋友，一直走，一直并行，从来不分开。
这个公式告诉我们，平行线的投影关系就跟它们的本体关系差不多，真是“兄弟齐心，其利断金”呀！在图形中，平行线的影子也会是平行的。
这一点非常重要，尤其在解一些复杂的几何题时，抓住这个关系，简直就是如虎添翼。
就像两条平行的轨道，无论你怎么跑，总能找到你想要的方向。
大家是不是觉得这些公式其实就是日常生活中的小智慧呢？无论是算边长、影子，还是观察平行线的关系，都是帮助我们更好地理解世界的工具。
初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
相似三角形中的射影定理
相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点】1、直角三角形的性质：〔1〕直角三角形的两个锐角〔2〕Rt △ABC 中，∠C=90º，那么2+2=2〔3〕直角三角形的斜边上的中线长等于〔4〕等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为〔5〕有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理〔只能用于选择填空题〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，那么①∽∽②射影定理：CD 2=· AC 2=· BC 2=·【常规题型】1、：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
求AD 、BD 的长.2、，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
〔1〕假设AD=8，BD=2，求AC 的长。
〔2〕假设AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
BA【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形
――相似直角三角形及射影定理
【知识要点】
1直角三角形的性质:
(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)
Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U
2
+
(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于
2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
精品文档
(4)等腰直角三角形的两个锐角都是
，且三边长的比值为
(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为
2、直角三角形相似的判定定理
(只能用于选择填空题)
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那
么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：
Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则
① S s
②射影定理：
CD 2= ______
【常规题型】
AC 2= _____ BC 2= ____
1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90
【典型例题】
例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90
BM 2=MN • AM 。
例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF
【拓展练习】
1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。
求证：△ BEF
ACF
,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:
例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？
AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的
C
B
C
F
D
3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,
垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .
4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。
【作业】
1.已知 ABC 中， ACB 90 ,CD 是高，若 BC a, AC b ，CD h, AD q ， BD p ，且
a 3,
b 4，贝H
c _______ ， p _____ ， q ______ ， h _______ .
2•若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为
2cm 和8cm ，则两条直角边的长分别
为 ________________ ，斜边上的高为 _________ .
D 90，由点D 作AC 的垂线交 AB 于
E ,交AC 于
F 。
求证:
D
3•如图，Rt ABC , ACB 90 , CD AB 于 D , BD 6cm,
AD 4cm ，则 BC __________ .
&如图，在 ABC 中， BAC 90 ,AH BC 于H ，以AC 和AB 为边在Rt ABC 形外作等边三
角形 ABD 和 ACE ，求证：
BDH s AEH .
4. 则 如图，在△ EF:AF=(
ABC 中，/ ACB=90 ° , AC > BC , CD 丄 AB , DE 丄AC ,
)
B .
5 :2
D . 2.5:5
5. 为 如图所示， ( )
A . 9: 4
在 Rt A ABC
中，/ C=90 CD 丄AB ,垂足为点D ，若 AD : BD=9 : 4 贝U AC : BC
的值
6. 如图所示，CD
A .
5:2
7. B . 3: 2 C . 4： 9
D . 2: 3
AB 是Rt △ ABC 斜边AB 边上的高，——
AC
B . 2:3
C . 3:2
D . 2 : . 3
如图所示，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=10cm , AB 3，则 CD
2 BC B
EF 丄 AB , CD=4 , AC= 4 .. 5 ,
上的高CD=6cm ,。