高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图，在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点P，则点P到直角顶点A的距离小于的概率为【答案】【解析】点P到直角顶点A的距离小于，则点P在以点A为圆心为半径的扇形区域内，则其概率为2.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角3.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，则该四棱台的侧面积等于．【答案】．【解析】因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为2，A1B1=1，AB=2，所以正四棱台的斜高，则该四棱台的侧面积为．【考点】正四棱台．4.已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2B．1或4C．0或2D．2或4【答案】D【解析】或【考点】空间两点间距离5.三棱锥A—BCD的四个顶点同在一个球O上，若AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则球O的表面积等于．【答案】【解析】易知，棱AD的中点即为球心O．由已知条件可得AD=．所以球半径为，则其表面积等于．【考点】多面体与其外接球问题．6.在正方体中，下列几种说法正确的是（）A．与成角B．与成角C．D．【答案】A【解析】直线与是异面直线，而∥，所以即为与所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．故选A．同时可分别证明答案B、C、D是错误的．【考点】异面直线所成的角及其是否垂直的问题．7.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．【答案】；【解析】根据题意可得该几何体是正四棱锥，底面为2的的正方形，因为侧面斜高为，所以可得高为2，即可求得表面积与体积试题解析：（1）此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为表面积为体积为【考点】1．三视图；2．几何体的体积、表面积公式8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体是下边是一个圆柱，上边是一个球体，且球的半径和圆柱的底面圆的半径是相等的，可知其表面积是圆柱的表面积加上球的表面积，即为，故选D．【考点】根据几何体的三视图，求其表面积．9.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；【答案】（1）（2）【解析】（1）取中点，，连接，则为所求二面角的平面角，找出二面角的平面角再根据题目所给条件即可计算出二面角的大小。
立体几何折叠问题解析
立体几何折叠问题1．如图，矩形 中， ， 为 的中点，现将 与 折起，使得平面 及平面 都与平面 垂直. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值.2．如图，在直角梯形 中， ，且 分别为线段的中点，沿 把 折起，使 ，得到如下的立体图形.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.3．如图（1），在平行四边形11ABB A 中， 11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠===, 分别为11,AB A B 的中点.现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111,,B C B A B A .（1）求证: 11AB CC ⊥；（2，求二面角11C AB A --的余弦值.4．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， 把ABE ∆沿BE 折起，使得，得到四棱锥A BCDE -.如图2所示.（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.5．如图，菱形 的边长为 ， ， 与 交于 点．将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， ． （I ）求证：平面 ⊥平面 ； （II ）求二面角 的余弦值．6．如图1，已知在菱形ABCD 中， 120B ∠=， E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DC 折起至EBHD ，如图2. （1）求证： DE ⊥面ABE ； （2）若二面角A DE H --的大小为求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值.7．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．8．如图1，在直角梯形ABCD 中， AD BC ， AB BC ⊥， BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ， AC ， DE ，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证： AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =， AC 与其在平面ABD 求点B 到平面ADE 的距离．9．如图所示，在平行四边形 中，点 是 边的中点，将 沿 折起， 使点 到达点 的位置，且 （1）求证; 平面 平面 ；（2）若平面 和平面 的交线为 ，求二面角 的余弦值.10．已知长方形 中， ， ，现将长方形沿对角线 折起，使 ，得到一个四面体 ，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线 与 能否垂直？若能垂直，求出相应的 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体 体积最大时，求二面角 的余弦值.11．如图，在长方形ABCD 中， 、 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径． (1)证明：平面 平面BCHF ； (2)求二面角 的余弦值．12．在菱形 中， 且 ，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.13．已知等腰直角分别为的中点，将沿折到的位置,,取线段的中点为.(I)求证://平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB∥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值.[解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，所以DC∥平面ABD.因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，所以AB∥平面ADC.(2)由(1)知AB∥平面ADC，所以二面角CABD的平面角为∥CAD.又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，所以DC∥AD.依题意tan∥CAD ＝CDAD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CDBD ， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3.以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,26,0）, A (33,0,36）， 所以DE ―→＝(23,26,0），DA ―→＝(33,0,36）.由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0，得⎩⎨⎧32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量． 所以cos<n ，m>＝n ·m |n |·|m |＝－12.由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角， 所以二面角B AD E 的余弦值为12. 解题策略：1.确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.2.确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.变式练习：1．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∥BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ， P 为BE 的中点，将∥ABE 沿BE 折起到∥A 1BE 的位置， 使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A1CP∥平面A1BE；(2)求二面角BA1PD的余弦值．解：(1)证明：如图3，连接AP，PC.∥在四边形ABCD中，AD∥BC，∥BAD＝90°，AB＝23，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，AE＝13AD，P为BE的中点，∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，∥PC＝23，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面A1BE.∥PC∥平面A1CP，∥平面A1CP∥平面A1BE.(2)如图4，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0,3)，P (0,0,0)，D (－4,23,0)， ∥P A 1―→＝(－1,0,3)， PD ―→＝(－4,23,0)， 设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m·P A 1―→＝0，m·PD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0，取x ＝3,得m ＝(3,2,1)．易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22. 由图可知二面角B A 1P D 是钝角， ∥二面角B A 1P D 的余弦值为－22.2．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.(1)若AF ∥BD ，证明：DE ∥BE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由．解：(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， ∥AF ∥BE .∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面BDE . 又DE ∥平面BDE ，∥AF ∥DE .∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝A ，∥DE ∥平面ABFE . 又BE ∥平面ABFE ，∥DE ∥BE .(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下： ∥AE ∥DE ，AE ∥EF ，DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面DEFC . 如图，过E 作EG ∥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D (0,21-，23)， AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝(－2,21-，23).设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．设AP ―→＝λPB ―→，则P (2,λλ+12,0)，λ∥(0，＋∞)，可得CP ―→＝(2,λλ+-11,－3).设CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos<CP ，n>|＝52)11(7111⨯+-++---λλλλ＝3535，解得λ＝1或λ＝－25(舍去)，∥P 为AB 的中点时，满足条件．。
大题专项训练18：立体几何(折叠问题)-2021届高三数学二轮复习 含答案详解
二轮大题专练18—立体几何（折叠问题）1．如图①，在长方形中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起（如图②)，使得平面ABD ⊥平面ABCF ．（1）判断AD 是否与BD 垂直，并说明理由．（2）图②中，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，求AK 的取值范围． 解：（1）AD 与BD 不垂直．证明过程如下： 若AD BD ⊥，AD DF ⊥，BD DF D =，BD 、DF ⊂平面BDF ，AD ∴⊥平面BDF ，AD BF ∴⊥，BC AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABCF ，平面ABD ⋂平面ABCF AB =，BC ⊂平面ABCF ， BC ∴⊥平面ABD ，BC AD ∴⊥，又BF BC B =，BF 、BC ⊂平面ABCF ，AD ∴⊥平面ABCF ，AD AB ∴⊥，在翻折后的ABD ∆中，这是不可能的， 故AD 与BD 不垂直．（2）设AK t =，(01)CF x x =<<，则2DF x =-，DK AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABCF ，平面ABD ⋂平面ABCF AB =，DK ⊂平面ABD ，DK ∴⊥平面ABCF ，DK KF ∴⊥，由勾股定理知，221DK t =-，221(2)KF t x =+--，222DF DK KF =+，222(2)11(2)x t t x ∴-=-++--，化简整理得，12t x=-，在(0,1)x ∈上单调递增，∴112t <<，故AK 的取值范围为1(2，1)．2．如图1，已知菱形AECD 的对角线AC ，DE 交于点F ，点E 为AB 的中点．将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示． （Ⅰ）求证：DE PC ⊥；（Ⅱ）试问平面PFC 与平面PBC 所成的二面角是否为90︒，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面//CFM 平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：折叠前，四边形AECD 是菱形，AC DE ∴⊥，∴折叠后，DE PF ⊥，DE CF ⊥，PF CF F =，DE ∴⊥平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，DE PC ∴⊥．（Ⅱ）解：平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒． 证明如下：四边形AECD 是菱形，//DC AE ∴，DC AE =， 又点E 为AB 的中点，//DC EB ∴，DC EB =，∴四边形DEBC 是平行四边形，//CB DE ∴，由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，CB ∴⊥平面PCF ， CB ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCF ，∴平面PFC 与平面PBC 所成的二面角为90︒．（Ⅲ）解：在线段PD ，BC 上是分别存在点M ，N ，且M ，N 分别是PD ，BC 的中点，使得平面//CFM 平面PEN ． 证明如下：如图，分别取PD ，BC 的中点M ，N ，连结EN ，PN ，MF ，CM ， 四边形DEBC 是平行四边形，//EF CN ∴，12EF BC CN ==， 在PDE ∆中，M ，F 分别是PD ，DE 的中点，//MF PE ∴，F 、N 分别是DE 、BC 的中点，四边形DEBC 是平行四边形， //EF CN =∴，∴四边形EFCN 是平行四边形，//CF EN ∴，又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE EN E =，MF ，CF ⊂平面CFM ，∴平面//CFM 平面PEN ．3．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，8AB =，4AD =，6DC =，点E 在CD 上，且4DE =，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，43PB =（如图2)．（Ⅰ）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）在线段PB 上是否存在点M ，使//CM 平面PAE ？若存在，求出PMMB的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：取AE 的中点G ，连接PG ，GB ， 在AGB ∆中，由余弦定理可得222(22)82228cos 404BG π=+-=，22248PB BG PG ==+，所以PG GB ⊥，因为PA PE =，AG GE =，所以PG AE ⊥， 又AEGB G =，AE ⊂面ABCE ，GB ⊂面ABCE ，所以PG ⊥面PAE ，又PG ⊂面PAE ，所以面PAE ⊥面ABCE ； （Ⅱ）存在M ，满足13PM MB =，使得//CM 平面PAE ． 证明：取AB 的三等分点N ，且2AN =，连接CN ，则//EC AN ，且2EC AN ==， 所以四边形EANC 为平行四边形，可得//CN EA ，又3BN BMNA MP==，所以//MN AP ， 又//CN EA ，CN ⊂/面PAE ，AE ⊂面PAE ，所以//CN 面PAE ， 同理可得//MN 面PAE ，又MNNC N =，所以面//CMN 面PAE ，CM ⊂面CMN ，可得//CM 面PAE ．4．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点P 位置(P ∉平面)ABC ．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：//MH 平面ABP ； （2）若直线AB 与MN 所成角为4π，求三棱锥P ABC -的表面积．解：（1）证明：连接QM ．m ，N ，Q 分别是BC ，CD ，AC 的中点，//QM AB ∴，QM ⊂/平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， //QM ∴平面PAB ，同理//QN 平面PAB ，QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QMQN Q =，∴平面//MNQ 平面PAB ，MH ⊂平面MNQ ，//MH ∴平面PAB ．（2）解：在等腰梯形ABCD 中，作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ， 由题意得2EF AD ==，4BC =，1cos 2BE ABE AB ∴∠==， ∴3ABE π∠=，ABE ∠与ADC ∠互补，23ADC π∴∠=， 在ADC ∆中，222cos 23AC AD DC AD DC ADC =+-∠=， 222BC AB AC ∴=+，AB AC ∴⊥， //BP MN ，ABP ∠为锐角，∴4ABP π∠=为直线AB 与MN 所成角，2AB AP ==，ABP ∴∆为等腰直角三角形，∴2 2.BP =∴三棱锥P ABC -的表面积为：PAB PBC PAC ABC S S S S S ∆∆∆∆=+++22211816411222241()232(3)22322222224+-=⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯ 2733=++．5．如图，已知图1中ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，沿着DE 把CDE ∆折起到△C DE '，使得平面C DE '⊥平面BADE ，图2中2AD =，4AB =，F 为BC '的中点，连接EF ．（Ⅰ）求证：//EF 平面AC D '；（Ⅱ）求四棱锥C ABED '-的侧面积．（Ⅰ）证明：取AC '中点G ，连接DG ，FG ， 由点F 、G 分别是BC '，AC '的中点， 得//GF AB ，12GF AB =， 又//DE AB ，12DE AB =． 所以四边形DEFG 是平行四边形， 所以//DG EF ，且EF ⊂/平面AC D '， DG ⊂平面AC D '，所以//EF 平面AC D '；（Ⅱ）因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，2AD =，4AB =， 所以90ACB ∠=︒，所以ABC ∆是等腰直角三角形，且22AC BC ==．分别取DE 、AB 的中点H 、I ，连接C H '，HI ，C I '，从而有C H DE '⊥．又因为平面C DE '⊥平面BADE ，平面C DE '⋂平面BADE DE =， 所以C H '⊥平面BADE ，又HI ⊂平面BADE ，所以C H HI '⊥，在△C HI '中，1C H HI '==，∴2C I '=，又翻折后，C A C B '='，在△C IA '中，6C A '=，∴四棱锥C ABED '-的侧面积为：221161212(2)()64213222222S =⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯=++．6．如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点．以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =． （1）求证：平面AFN ⊥平面NEB ；（2）若23BE =，求点F 到平面BEM 的距离．解：（1）证明：记AFBE O =，连结NO ，由题意知四边形ABFE 是菱形，AF BE ∴⊥，且O 是AF 、BE 的中点， NF NA =，AF NO ∴⊥， NOBE O =，NO ⊂平面NEB ，BE ⊂平面NEB ，AF ∴⊥平面NEB ，AF ⊂平面AFN ，∴平面AFN ⊥平面NEB ．（2）解：由（1）知NO AF ⊥，且AFBE O =，AF ⊂平面ABFE ，BE ⊂平面ABFE ，NO ∴⊥平面ABFE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OA 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A 6，0)，(3B -0，0)，(3E 0，0)，(0F ，6-0)，(0N ，06)，(0OM ON NM ON AB =+=+=，06)(3,6+-0)(3=66)，(3M ∴-6-6)，(3,6MN =0)，(23BE =，0，0)，(0BM =，6-6)，(3BF =6，0)，设平面BEM 的法向量(n x =，y ，)z ，则230660n BE x n BM z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，则点F 到平面BEM 的距离为：||63||2BF n d n ⋅===．7．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ，DE⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∵BD⊂平面BDE，∴AF⊥BD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE、EA、EF两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF∥DE，CF⊥平面ABFE，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，2），D（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，2），设平面ACD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，2），设P（2，t，0），且0≤t≤2，则＝（2，t﹣2，﹣2），设直线CP与平面ACD所成角为θ∵在线段AB上存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角的正弦值为，∴sinθ＝＝＝，解得t＝1或t＝﹣（舍）．∴AP＝1．8．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C ＝1，如图2．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣A1B﹣E的余弦值．证明：（1）在图（1）中，∵AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，∴四边形ABCE为正方形，∴BE⊥AC，AO＝OC，即在图2中，A1O⊥BE，BE⊥OC，A1O＝OC＝，∵A1C＝1，∴在△A1OC中，+OC2＝，∴A1O⊥OC，∴A1O⊥平面BCDE，∵A1O⊂平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．解：（2）由（1）知OA1，OB，OC互相垂直，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，∴O（0，0，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），∴＝（﹣，，0），＝（0，，﹣），＝（0，，0），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），由（1）得平面A1BE⊥平面BCDE，且OC⊥BE，∴OC⊥平面A1BE，∴＝（0，，0）是平面A1BE的法向量，设二面角C﹣A1B﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣A1B﹣E的余弦值为．。
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案
立体几何折叠动点问题1．（2020•湖南模拟）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是( )A ．B ．36C ．24D ．2．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( )A B C D3．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为的等边三角形，E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为()A ．BC ．3D ．24．（2020春•江西月考）已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( ) A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π5．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知A ，B ，C ，D 四点均在半径为(R R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为( ) A ．32π B ．2π C ．94π D ．83π6．（2020春•五华区校级月考）已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，2AB =，AC =60ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -，则球O 的体积为( )A ．24πB ．48πC ．D ．7．（2020•东莞市模拟）已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，M 是11A B 的中点，且11112C M A B =，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为( ) A ．12B ．16C ．4D ．438．（2020•江西模拟）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，连接AC ，BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，14AO BD ==，点C '与点C 关于平面1BC D 对称，则三棱锥C ABD '-的体积为( )A ．B ．C ．D ．9．（2020•浙江模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱1(4)AA t t =>，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 4tan APD EPB ∠=∠，则四棱锥P ABED -的体积的最大值是( )A B ． C D10．（2019秋•包河区校级期末）矩形ABCD 中，2BC =，沿对角线AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD -，四面体A BCD -外接球表面积为16π，当四面体A BCD -的体积取最大值时，四面体A BCD -的表面积为( )A ．B ．C ．D ．11．（2020•山东模拟）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E ，F ，且12EF =；则下列结论错误的是( )A ．BD CE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF ∆的面积与CEF ∆的面积相等12．（2020•海淀区校级模拟）在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为11A B ，11C D ，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x 剟时，V 与x 的图象应为( )A ．B ．C ．D ．13．（2019秋•襄城区校级月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．643π B ．163π C ．253π D ．649π。
2022高考数学立体几何—空间中的动点问题全文
可编辑修改精选全文完整版立体几何—空间中的动点问题专题综述空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中找出规律，将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为解析几何的问题等,目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，坐标法构建函数，求得结果.专题探究探究1：坐标法解决动点问题建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系由动点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标通过空间向量的坐标运算表示出待求的量若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值或范围.(2022湖北省宜昌市模拟) （多选）在正方体1111ABCD A B C D -中，点为线段1AD 上一动点，则（ ） A. 对任意的点，都有1B D CQ ⊥ B. 三棱锥1B B CQ -的体积为定值 C. 当为1AD 中点时，异面直线1B Q 与所成的角最小D. 当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大【审题视点】以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用坐标法解决.【思维引导】选项，可以用几何知识证明；选项，设出点坐标，用坐标表示出异面直线成角的余弦值或线面角的正弦值，求最值，得出点位置.【规范解析】解：对于：连接，1.CD因为在正方体1111ABCD A B C D -中， 1B D ⊥平面1ACD ，CQ ⊂平面1ACD ， 1B D CQ ⊥，故正确； 对于：平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为正方体棱长，1123111326B B CQ Q BCB V V a a a --==⨯⋅=，为定值，故正确；对于：以为坐标原点，直线分别轴，建立空间直角坐标系如下图：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， ()[](),0,20,2Q x x x -∈，则1(2,2,2)B ， ()2,2,0B ， (0,2,0)C ， 因此()12,2,B Q x x =---， ()2,0,0BC =-， 设异面直线1B Q 与所成的角为θ，则当时，，当时，当时，故当与1D 重合时，异面直线1B Q 与所成的角最小，故不正确；对于： ()12,2,B Q x x =---， 又是平面11BCC B 的一个法向量，设直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角为α，则，所以当1x =时，sin α取得最大值63，而0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因此α取得最大值，即当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大， 故正确. 故选.ABD用一个参数表示动点的坐标，并求出参数范围，即为函数定义域转化为函数求最值，求出当函数取最值时的x 的值【探究总结】典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范围问题的思路.建系设坐标，写出参数范围 根据向量运算构造函数求最值.(2021安徽省蚌埠市联考) 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点.P（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面的距离；（3）证明：不存在(0)θθπ<<，使得二面角D AB P --的大小为.4π探究2：化动为定点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化为定点，寻找动直线所在的确定平面，从而解决问题.答题思路：1.动点到平面的距离为定值：证明平面，动点到平面的距离即为定点到平面的距离；2.为动点，为定点，证明：证明所在平面与垂直；3.为动点，为定点，证明平面：证明所在平面与平面平行.(2021湖南省四校联考) 在正三棱柱中，,，分别为的中点，P 是线段DF 上的一点．有下列三个结论：①平面；②;③三棱锥的体积时定值，其中所有正确结论的编号是 A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【审题视点】求证关于动直线的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.【思维引导】证明动直线所在平面与已知平面平行；证明定直线与动直线所在平面垂直；寻找过点与平面平行的直线，即得出点到平面的距离.【规范解析】解：如图，对于①，在正三棱柱中，，分别为的中点，平面平面，由平面，得平面，故①正确；对于②，在正三棱柱中，平面平面，平面平面平面，，平面平面,故②正确；对于③，平面平面，平面到平面的距离为定值，而有为定值，故是定值,线面平行，转化为面面平行异面直线垂直，转化为线面垂直体积的定值问题，转化点到平面的距离是定值，即通过线面平行或面面平行，得出动点到平面距离为定值故③正确．故选D ．【探究总结】立体几何证明中经常出现，求证关于动直线的线面平行与线线垂直问题，其思路是转化为证明动直线所在的定平面与其他平面或直线的位置关系.关键是分析动点,动线或动面间的联系,在移动变化的同时寻求规律.(2021云南省曲靖市联考) 如图所示的几何体中，111ABC A B C -为直三棱柱，四边形为平行四边形，2CD AD =，60ADC ∠=︒，1.AA AC =（1）证明：，1C ，1B 四点共面，且11A C DC ⊥；（2）若1AD =，点是上一点，求四棱锥的体积，并判断点到平面11ADC B 的距离是否为定值？请说明理由．探究3： 巧用极端位置由于点位置连续变化，使研究的图形发生连续的变化，利用点的位置变化“极端”位置，避开抽象及复杂的运算，得到结论.常见题型：1.定值问题：几何体中存在动点，但所求结果是确定的，即随着动点位置的改变不会影响所求的量，故可以考虑动点在极端位置的情况，优化解题过程.2.范围问题：几何体中存在动点，结果会随着动点位置改变而改变，当动点从一侧极端位置移动到令一个极端位置的过程中，所求量在增大、或减小、或先增后减、或先减后增，通过求出极端位置处的值，及最值，从而得出范围；3.探究问题：探究满足条件的点是否存在，也可以转化为求出范围，从而得出结论.(2021湖南省株洲市模拟) 在正四面体中, 为棱的中点, 为直线上的动点,则平面与平面夹角的正弦值的取值范围是 .【审题视点】本例可用极端位置法分析，也可以建系，用坐标法解决.【思维引导】借助极端位置分析，不难看出经过和底边中线的平面与平面垂直，点在移动的过程中，存在一个位置使平面与经过和底边中线的平面平行，即平面平面，此时两平面所成角为，角最大；当点移动到无穷远时，平面平面,此时两平面所成角最小.【规范解析】解：由下左图 设为的中心，为的中点， 则在正四面体中平面， 为中点，为的中点，，故平面连接，并延长交于点， 连接，并延长交于点， 则过点的平面交直线于点. 则平面平面 即平面与平面的夹角的正弦值为1，点从取最值的位置处移动至直线的无穷远处的过程中， 平面与平面的夹角逐渐减小，即当点在无穷远处时，看作， 如下右图 故平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，求出其正弦值为. 综上可知:面与面的夹角的正弦值的取值范围为.【探究总结】借助极端位置解决典例3中的问题，首先利用几何知识，明确点在移动的过程中 ，所求量的变化情况，若在极端位置处取“最值”，问题就简化为求出极端位置处的值.(2021浙江省杭州市高三模拟)高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角A PB C --之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大专题升华结合几何知识，两平面成角的变化过程，即动点从一个极端位置变化到另一极端位置时，夹角大小的增减情况在极端位置处取“最值”，直接求出点该处时的夹角的正弦值，即为范围区间的一个端点几何体中研究动点问题往往难度较大，开放性强，技巧性高.总体思路是：用几何知识，经过逻辑推理，证明位置关系或求出表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，用空间向量研究动点问题，省去了繁杂的推理环节，但计算量较大.解决动点问题的策略不局限与上述方法，常用的的方法还有：运用条件直接推算，借助条件将几何体还原到长方体中去；构造函数，数形结合；还将空间问题转化为平面几何解决，如化折为直、利用解析几何的知识解决. 但只要我们熟练掌握这些基本方法,并灵活加以应用,不仅能化繁为简,化难为易,而且还可以得到简捷巧妙的解法.【答案详解】 变式训练1【解答】解：（1）在侧面展开图中为的长，其中AB AD π==，∴曲线Γ的长为2;π（2）当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-， 、(1,1,)2AP π=-、1(1,0,)OC π=-设平面的法向量为(,,)n x y z =，则2002n AB y n AP x y z π⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 取2z =得(,0,2)n π=，所以点1C 到平面的距离为12||||4OC n d n ππ⋅==+； （3）假设存在满足要求的(0)θθπ<<， 在（2）的坐标系中，()sin ,cos ,P θθθ-，，设平面的法向量为111(,,)m x y z =，则111120sin (cos 1)0y x y z θθθ=⎧⎨-+++=⎩，取11x =得sin (1,0,)m θθ=，又平面的法向量为(1,0,0)k =，由二面角D AB P --的大小为4π， 则|cos ⟨,m k ⟩2212|sin .21sin θθθθ==⇒=+ sin (0)2πθθθ<<<，0θπ∴<<时，均有sin θθ<，与上式矛盾．所以不存在(0)θθπ<<使得二面角D AB P --的大小为.4π 变式训练2【解答】（1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱， 所以，且，又四边形为平行四边形，//BC AD ，且BC AD =，，且，四边形为平行四边形，，1B 四点共面；，又1AA ⊥平面，AC ⊂平面，，四边形11A ACC 为正方形，连接1AC 交1A C 于，，在ADC ∆中，2CD AD =，，由余弦定理得，，所以，AD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，1AA AD ⊥，，1AA ⊂平面11A ACC ，，AD ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，所以，又，平面，1A C ⊥平面， 1DC ⊂平面，（2）解：由（1）知：1A C ⊥平面，在Rt DAC 中，由已知得3AC =，，四棱锥的体积，//BC AD ，点到平面的距离为定值，即为点到平面的距离变式训练3【解析】解：设二面角为，二面角A PB C --为，当时，正三棱锥趋向于变为正三棱柱，；当时，正三棱锥趋向变为平面，.当正三棱锥为正四面体时，且，，故.当从小变大时，要经过从变为小于的角，然后变为的过程， 故只有选项符合.故选：.静夜思[ 唐] 李白原文译文对照床前明月光，疑是地上霜。
专题38 立体几何中的距离、截面、折叠问题(解析版)
结合图1可知, 为 中点,故 ,从而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,
则 , , ，所以 ,
设 为平面 的法向量,则 ,即 ,
解得 ,令 ,得 ，由(Ⅰ)知, 为平面 的一个法向量,
所以 ，即二面角 的平面角的余弦值为 ．
2、平面外一点P到平面α的距离：如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝ ＝ ＝
基本题型：
1．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足 ＝ ＋ ＋ ，则下列说法正确的是()
【解析二】由题意可知，该平面与在正方体的截面为对边平行的六边形，如图所示，则截面面积为
所以当 时，
7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 的中心为 ． 、 、 为圆 上的点， ， ， 分别是以 ， ， 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 、 、 重合，得到三棱锥。当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位： )的最大值为_______。
所以 ， ， ， ．
得 ， ．
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
平面 与平面 夹角为 ，则 ，得 ，取 ，
，得 ，取 ，从而 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
9．（2015浙江）如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 翻折成 ，所成二面角 的平面角为 ，则
10．（2012浙江）已知矩形 ， ， ．将 沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，
立体几何中的折叠问题含解析
高考热点问题：立体几何中折叠问题一、考情分析立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.二、经验分享(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析(一) 平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】①③⑥可以.②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）A. B. C. D.【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是( )图1 图2A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC 中,斜边上的中线AD 就是斜边上的高,则AD ⊥BC ,折叠后如图2,AD 与BC 变成异面直线,而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ,这两条线段与AD 垂直,即AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD ⊥BC .【小试牛刀】如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为边BC,AD 的中点,将沿BF 所在直线进行翻折,将沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）A. 点A 与点C 在某一位置可能重合B. 点A 与点C 的最大距离为C. 直线AB 与直线CD 可能垂直D. 直线AF 与直线CE 可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】（体积问题）如图所示,等腰ABC △的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时,()V x 取得最大值？PED F B CA【解析】（1）由折起的过程可知,PE ⊥平面ABC,96ABC S ∆=,V(x)= （036x <<）（2）,所以(0,6)x ∈时,'()0v x > ,V(x)单调递增；636x <<时'()0v x < ,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值126.【小试牛刀】【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC 折起,使得平面DAC平面ABC ，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, , ,在PBF ∆中, ,所以PF BF ⊥ 在图1中,易得,在PEF ∆中, ,所以PF EF ⊥又,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .. .ACDBEF图图ABCD PEF(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以, ,,设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则0FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得,设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则81281427. 所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. 在Rt APF ∆中,在AEF ∆中,由等面积公式得4861在Rt APH ∆中,所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 【点评】折叠问题分析求解两原则：解法二图ABCD PEFHxy z 解法一图A BC D PEF(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】如图，已知是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足，如图，将沿DE折成四棱锥，且有平面平面BCED．求证：平面BCED；记的中点为M，求二面角的余弦值．(二) 几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（）解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB CD，分别是两底面的直径,AD BC，是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．【解析】如图,将圆柱的侧面展开,其中AB为底面周长的一半,即,2AD=.则小虫爬行的最短路线为线段AC.在矩形ABCD中,.所以小虫爬行的最短路线长度为22.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从A到1C的最短路线长.四、迁移运用1．【浙江省2019年高考模拟训练】已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则（）A． B． C．存在 D．的大小关系无法确定【答案】B【解析】如图，在三棱锥中，作平面于，连，则分别为与平面所成的角．∵直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，∴．过作，垂足分别为，连，则有，∴分别为二面角，的平面角，∴．在中，，设BD的中点为O，则为边上的中线，由可得点H在CO的左侧（如图所示），∴．又，∴．又为锐角， ∴．故选B ．2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形,故,所以BD ⊥平面ACD ,故①正确,排除B 选项.由于AD BD ⊥,且平面ABD ⊥平面ACD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD CD ⊥,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除D 选项.由于,且ABC ∆为等边三角形,故点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心, ④正确,故选C .3.已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,因为平面平面,所以,解得.故选C.4.如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）A ．点M 到AB 的距离为22B ．AB 与EF 所成角是90︒C ．三棱锥C DNE -的体积是16D ．EF 与MC 是异面直线 【答案】D【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A 中M 到AB 的距离为222MC =,A 正确；AB 与EF 所成角是90︒,B 正确；三棱锥C DNE -的体积是,C 正确；//EF MC ,D 错误．5.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）度A ．90B ．60C ．45D ．30 【答案】C【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD 垂直平面ABC 时三棱锥的体积最大．设AC 的中点为O ,则DBO ∠即为所求,而DOB ∆是等腰直角三角形,所以,故选C ．6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ， E ， F ， G ， H 为圆O 上的点， ABE ， BCF ， CDG ， ADH 分别以AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起ABE ， BCF ， CDG ， ADH ，使得E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π3cm【解析】如图：连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ， IE 62x =-. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则，，解得5R 3=，外接球的体积3cm7．【山东省济南市2019届高三上学期期末】在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC ，与DE 交于O 点，取BE 中点为N ， 连接ON ，CN ，易得ON ∥BD ∴∠CON 就是异面直线与所成角设正方形的边长为2， OC=，ON=，CN=∴cos ∠CON==故答案为：8.如图所示,在四边形ABCD 中,,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A -',使平面⊥BD A /平面BCD ,则下列结论正确的是 ．（1）BD C A ⊥'； （2）；（3）A C '与平面BD A '所成的角为︒30； （4）四面体BCD A -'的体积为61． 【答案】（2）（4）【解析】平面⊥BD A /平面BCD CD ∴⊥平面'A BD ,/CA 与平面BD A /所成的角为'CA D ∠,四面体BCDA -/的体积为,,综上（2）（4）成立．9．如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）||BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置,使1DE A C ⊥ （4）存在某个位置,使//MB 平面1A DE 【答案】（1）（2）（4）．【解析】取CD 中点F ,连接MF ,BF ,则1//MF DA ,//BF DE ,∴平面//MBF 平面1A DE , ∴//MB 平面1A DE ,故（4）正确；由,为定值,FB DE =为定值,由余弦定理可得,∴MB 是定值,故（1）正确；∵B 是定点,∴M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,故（2）正确；∵1AC 在平面ABCD 中的射影为AC ,AC 与DE 不垂直,∴存在某个位置,使1DE A C ⊥错误,故（3）错误．10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90. 【解析】（Ⅰ）证明：∵， AB 4=，∴，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则，∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA =（4,0,0），，.设为平面ABD '的法向量，则可以取设为平面BD E '的法向量，则可以取因此， 12n n 0⋅=，有12n n ⊥，即平面ABD ' ⊥平面BD E '， 故二面角的大小为90.11.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．12．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积. 【解析】（Ⅰ）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四边形为矩形，∴.又，∴平面，∴.又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）设点到底面的距离为，则.由，可知，∴.又，∴.13．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．【解析】（1）如图所示，取的中点为，连接，易得，,又面（2）由（1）知，= ,当时，的最大值为1.14．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，，，是边长为8的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面平面ACD，如图所示乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点．求证：平面PON；求三棱锥的体积．【解析】如图所示，为正三角形，O为AC的中点，，平面平面ACD，平面平面，平面ACD，平面ACD，．，，，，即．，N分别为棱AC，AD的中点，，，又，平面PON；解：由，，，可得，点O、N分别是AC、AD的中点，，是边长为8的等边三角形，，又为PA的中点，点M到平面ANO的距离，．又，．15．【湖北省荆门市2019届高三元月调研】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）由已知可得为直角三角形，所以.又，所以，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以，平面，又因为，所以平面，又因为平面，所以.在直角中，，设点到平面的距离为，由，则，所以.16.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,,E F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折--．成直二面角A DC B（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；--的余弦值；（2）求二面角E DF C（3）在线段BC 上是否存在一点P ,使AP DE ⊥？证明你的结论．【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面ABC ∆的中位线得到//AB EF ,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角A DC B --将条件转化为AD ⊥面BCD ,然后做出过点E 且与面BCD 垂直的直线EM ,再在平面BCD 内过M 作DF 的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把AP DE ⊥作为已知条件利用,利用ADC ∆中过A 与DE 垂直的直线确定点P 的位置.【解析】（1）如图：在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 中点,得EF//AB,又AB ⊄平面DEF,EF ⊂平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ．（2）∵AD ⊥CD,BD ⊥CD∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M,这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD过M 作MN ⊥DF 于点N,连结EN,则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角,在Rt △EMN 中,EM=1,MN=23 ∴tan ∠MNE=233,cos ∠MNE=721（3）在线段BC 上存在点P,使AP ⊥DE. 证明如下：在线段BC 上取点P,使BC BP 31 ,过P 作PQ ⊥CD 与点Q, ∴PQ ⊥平面ACD∵, 在等边△ADE 中,∠DAQ=30°,∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC的中点为M，点P在正方体的表面DCC1D1上移动，且满足∠APD=∠MPC。
求三棱锥P-BCD的体积的最大值。
2.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把四面体OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，求四棱锥P-BCFE的体积。
3.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，且EF//BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
求四棱锥P-BCFE的体积的最大值。
4.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面。
若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则求球O的表面积。
5.已知A、B、C、D四点均在半径为R(R为常数）的球O的球面上运动，且AB=AC，AB⊥AC，AD⊥BC。
若四面体ABCD的体积的最大值为V，求V的值。
6.已知A、B、C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60°，且三棱锥O-ABC的体积为V。
求V的值。
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=√3.求三棱锥C1-ABC的体积。
8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称。
求三棱锥C'-ABD的体积。
1.删除该题，因为这明显是一道数学计算题，没有文章可言。
2.球O的表面积为4π，则球O的体积为(4/3)π。
3.三棱柱ABC的体积的最大值为(1/6)。
4.四棱锥P-ABED的体积的最大值是(16t^3)/(3(2+t)^2)。
5.四面体A-BCD的表面积为16π。
6.下列结论错误的是D，即△BEF的面积与△CEF的面积相等。
7.V与x的图象应为图B。
8.该四棱锥的外接球的表面积为16π/3.1.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是BC 的中点，点P在正方体的表面DCC1D1（包括边界）上运动，且满足∠APD=∠MPC。
求三棱锥P-BCD的体积的最大值。
解析：首先，我们可以通过画图来帮助理解题意。
如图所示，我们可以将正方体展开成一个平面图形，然后在图中标出各个点和线段。
由于题目中给出了∠APD=∠MPC，因此我们可以得到三角形APD和三角形MPC是全等的，即它们的对应边长相等。
因此，我们可以得到：PD=MCAD=MP又因为三角形PDC和三角形MCB是相似的，因此我们可以得到：PD/CD=MC/CBPD=MC*CD/CB将上面两个式子代入三棱锥P-BCD的体积公式中，可以得到：V=1/3*CD*PD*BCV=1/3*CD*(MC*CD/CB)*BCV=1/3*(MC/BC)*(CD^2)由于MC=3，BC=6，因此MC/BC=1/2.因此，我们可以得到：V=1/3*(1/2)*(CD^2)V=1/6*(CD^2)因此，三棱锥P-BCD的体积只与CD的长度有关，且随着CD的长度增大而增大。
因此，CD的长度应该取正方体的对角线长度，即CD=6√3.代入公式，可以得到：V=1/6*(6√3)^2V=36因此，三棱锥P-BCD的体积的最大值是36.选项B正确。
解：在正方体ABCD中，点M是BC的中点，点P在面DCC1D1所在的平面内且满足∠APD=∠XXX。
因此，根据相似三角形，得到AD/PD=AD/PC=2.设DO=x，PO=h，作PO⊥CD，则MC/PC=x/6，x^2+h^2=2(6-x)^2+h^2，化简得3h^2=-3x^2+48x-144.根据函数单调性判断，当x=6时，3h^2最大值为36，h最大值为23/11.因此，正方体中PO⊥面BCD，三棱锥P-BCD的体积最大值为(1/3)×6×6×23/2=123/32.在等边三角形ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF将四边形OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
根据题意，BC的中点O为四边形BCFE的外接圆的圆心，因此四棱锥P-BCFE的外接球的球心在过O且垂直于平面BCFE的直线上，要使四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小，需要O为四棱锥P-BCFE的外接球的球心。
此时，OP=OB=3，PG=OG=OA=(3^2+2^2)^0.5/2，则cos∠POG=3/(2×(3^2+2^2)^0.5)，sin∠POG=2/(2×(3^2+2^2)^0.5)。
又SBCFE=(3+23)×(2^2×3^0.5/4)=23×3^0.5/2，因此P到平面BCFE的距离为d=OP×sin∠POG=2×(3^2+2^2)^0.5/2×(3^2+2^2)^0.5=1/2，四棱锥P-BCFE的体积为V=(1/3)×SBCFE×d=23/12.在等边三角形ABC中，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF//BC，沿EF将三角形AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
要使四棱锥P-BCFE的体积最大，需要平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，因此AO⊥平面EFCB。
设EF=2a，O为EF的中点，则AO=a×3^0.5/2，BP=PC=a×3^0.5/2，PB=PC=a，PC=AB-AP=23-2a，因此BP×PC=(23a-a^2)×3^0.5/4.根据相似三角形，得到AP/PB=AO/PC=3^0.5/2，因此AP=a×3^0.5/4，四棱锥P-BCFE的体积为V=(1/3)×SBCFE×AP=(23×3^0.5/2)×(a×3^0.5/4)×(1/2)=23/12×a^2×3^0.5.因此，四棱锥P-BCFE的体积最大值为23/12×(23/2)^2×3^0.5=33/4.因此，选项B正确。
已知XXX，XXX，AD⊥BC，四面体ABCD的体积的最大值为3π/2R^3，求球O的表面积。
解：如图，作AN⊥BC于N，则N为BC的中点，且AN=1/2BC。
连接ON，设外接球的半径为R，则OA=OD=R。
设∠BAC=θ，则∠BAD=90°-θ，∠XXX°，因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠BDC=90°。
又因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=θ/2.设BC=a，AD=h，则AN=1/2a，BD=√(AB^2+AD^2)=√(a^2+h^2)，CD=√(AC^2+AD^2)=√(a^2+h^2)，AB=AC=Rsinθ，BC=Rcosθ。
根据四面体体积公式V=1/3S·h，其中S为底面积，h为高，可得V=1/3·1/2a·√(AB^2+AD^2)·h=1/3·1/2a·√(a^2+h^2)·Rsinθ1/3·1/2R^3sinθ·cosθ·√(R^2sin^2θ+h^2)令f(θ)=sinθ·cosθ·√(R^2sin^2θ+h^2)，则V=f(θ)/(3·2^3)。
对f(θ)求导，可得f'(θ)=cos^2θ·√(R^2sin^2θ+h^2)-sin^2θ·(R^2sin^2θ+h^2)^(-1/2)·2R^2sinθ·cosθ。
令f'(θ)=0，解得sinθ=2/√5，cosθ=1/√5，代入V=f(θ)/(3·2^3)，可得Vmax=3π/2R^3.根据球的表面积公式S=4πR^2，可得S=4πR^2=8π。
所以，选项C正确。
B1的中线，所以QM AB。
M是A1B1的中点，所以XXX12AB12AC，又因为三棱柱ABC A1B1C1内接于一个半径为3的球。
所以三棱柱的高为3，底面的面积为AC BC，所以三棱柱的体积为13AC BC3，所以问题转化为求AC BC的最大值。
因为CC1平面ABC，所以CC1是平面ABC的垂线，所以AC BC是以CC1为底，以AB为侧棱的棱锥的1/3，所以AC BC的最大值为CC1的高，即12CC1又因为OC3，所以CC 112OC32所以AC BC的最大值为12CC194所以三棱柱ABC A1B1C1的体积的最大值为13AC BC394即选D。
1.经过修改后的文章：1.三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰三角形，C1M是底面△A1B1C1的中线，且C1M是直角三角形，因此这个三棱柱是底面为等腰三角形的直棱柱。
2.假设AC=BC=a，将三棱柱还原为长方体，得到其外接球直径为√(a^2+a^2+b^2)=√23，即2a^2+b^2=12；CC1=b，因此三棱柱的体积V=S△ABC×gCC1=1/2×11ab=(12-b^2)b=(−b^3+12b)，其中b∈(0,23)。
3.记f(b)=(−b^3+12b)，则f'(b)=(−3b^2+12)=−(b−2)(b+2)，当f'(b)>0时，0<b<2；当f'(b)<0时，2<b<23；因此f(b)在(0,2)上单调递增，在(2,23)上单调递减，故f(b)max=f(2)=4，因此选C。
8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称，则三棱锥C'ABD的体积为()解：连接OC1，过点C作CM⊥OC1，垂足为M。
因为OA1⊥平面ABCD，故OA1⊥BD，因为四边形ABCD是菱形，故OA⊥BD，故BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥CM，又CM⊥OC1，故CM⊥平面BDC1，又△ABD是边长为4的等边三角形，可得OC1=OA1=√23，所以AC1=AC=4/3，在△AC1O中，可得∠AOC1=60°，则△OCC'为等边三角形，且所在平面垂直底面，故V三棱锥C'ABD=1/3×4×4×√23×1/2=4/3√23，因此选D。