信息安全数学基础知识点
信息安全数学基础(第四章)
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因 此 只 需 讨 论 素 数 模 p 的 同 余 式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将 同 余 式 (2)两 端 同 乘 以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。 求 出 1 9 ， 2 3 的 平 方 剩 余 和 平 方 非 剩 余 。
提 示 ： p 为 奇 素 数 ， 应 用 定 理 4 . 2 . 2 的 结 论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;
信息安全数学基础 绪论
( 1859, 1573,11) (143,11) 11.
定义4 整数a1, a2, , ak (ai ≠0)的公共倍数称为 a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak 的正公倍数中
最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为
[a1, a2, , ak]. 定理3 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ ) [a , b ] = [ b , a ]；
则称d是 a1 , a2 ,, an 的最大公因数。
定理1〔有关最大公因数的结论〕
(1) (a1 , a2 , , an ) ( a1 , a2 , , an ); (2) b a (a , b) b ; (0, b ) b ;
(3) a bq r , q 0 (a , b) (b, r ).
定理2
设 (a1 , a2 ) d 2 ,(d 2 , a3 ) d 3 ,,(dn 2 , an1 ) dn1 , 设 (a1 , a2 ,, an ) d .
(d n1 , an ) d n , 则 (a1 , a2 ,, an ) d n .
证明
一方面，d a1 , d a2 d d 2 d d n ；
证：由[a1 , a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3 ,,[mn1 , an ] mn
知mn是a1 , a2 ,, an的一个公倍数.
对a1 , a2 ,, an的任一公倍数m，
由a1 m , a2 m ，且[a1 , a2 ] m2 m2 m ，m3 m ， ，mn m . [a1 , a2 ,, an ] mn .
[a1, a2, , ak]. 定义5 设d是正整数且满足以下两个条件：
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。
公因数中最大得一个称为得最大公因数。
记作、若，则称互素。
若,则称两两互素。
信息安全数学基础-知识点总结
定理（补充）：若c|a，c|b, 则c|(a,b)。
定义1.3.3：设a与b是两个整数，那么a与b的线性组合是形如ma+nb的和式，其中m与n都是整 数。
定理1.3.3：两个非零整数a与b的线性组合的最小正整数是它们的最大公因数。
推论1.3.1：若整数a与b相对互素，则存在整数m与n使得ma+nb=1。
定义1.1.3：大于1的不是素数的自然数称为合数。
注：全体自然数可以分为三类：1、全体素数、全体合数
• 带余除法
定理1.2.1（带余数除法）：设a是正整数，b是整数，则一定存在唯一的整数q和r，使得
b=qa+r，其中0≤r<a，并分别称q与r为a 除b的商和余数。
注：很多字母表示其英文单词的首字母。
定义1.3.2：如果整数a与b的最大公因数为1，即(a,b)=1，则称a与b相对互素。
分区 与b的最大公因数为d，即(a,b)=d，则(a/d, b/d)=1。
定理1.3.2：a, b, cZ，有(a+cb,b)=(a,b)。
注：该方法并不是分解素数的方法，而是寻找/筛选和检验素数的方法。 下面以n=100为例说明筛选法的操作：
由定理1.3.11知道每个小于100的合数一定会有不超过10的素因子，而不超过10的素数只有 2,3,5和7，因而为了找到所有小于100的素数，可以
①. 先在不大于100的整数中删掉2的倍数（不包括2）
注：两两相对互素的一定是相对互素的，但反之不一定成立。
• 欧几里得算法
引理1.3.2：设整数e，d满足条件e=dq+r，其中q，r为整数，则(e,d)=(d,r)。 思路：a, b, cZ，有(a+cb,b)=(a,b)
信息安全数学基础环和域基础知识
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群
第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,
信息安全数学基础复习笔记
信息安全数学基础复习笔记
12.3复习笔记
第⼀章、整数的可除性
1.1 整数的概念、欧⼏⾥得除法
1.2 最⼤公因数与⼴义欧⼏⾥得除法
1.3 整除的进⼀步性质及最⼩公倍数
1.4 整数分解
1.5 素数的算术基本定理
第⼆章、同余
2.1 同余的概念及基本性质
2.2 剩余类及完全剩余系
2.3 简化剩余系与欧拉函数
2.4 欧拉定理、费马⼩定理、Wilson定理
2.5 模重复平⽅算法
12.5复习笔记
第三章、同余式
3.1 基本概念及⼀次同余式
3.2 中国剩余定理
3.3 ⾼次同余式的解法及解数
3.4 素数模的同余式
第四章、⼆次同余式与平⽅剩余4.1 ⼀般⼆次同余式
4.2 模为奇素数的平⽅剩余与平⽅剩余4.3 勒让得符号
4.4 ⼆次互反律
4.5 雅可⽐符号
第五章、原根与指标
5.1 指数及基本性质
5.2 原根
5.3 指标及n次同余式。
信息安全数学基础欧几里德算法c语言代码
信息安全数学基础之欧几里德算法一、引言信息安全是当今社会互联网时代不可或缺的重要组成部分，信息安全的基础是数学理论，而欧几里德算法作为一种基本的数学算法，被广泛应用在信息安全领域中。
本文将通过对欧几里德算法的介绍和C语言代码实现，为读者提供深入了解和学习欧几里德算法的基础知识。
二、欧几里德算法原理欧几里德算法，又称辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。
其原理是通过重复利用两个整数的除法求余运算，将两个整数逐步缩小直至其最大公约数被求出。
具体步骤如下：1. 设两个整数为a和b，其中a>b；2. 用b去除a，得到余数r；3. 将b赋值给a，将r赋值给b；4. 重复2、3步骤，直到r等于0，此时b即为a和b的最大公约数。
三、C语言实现欧几里德算法下面给出了C语言实现欧几里德算法的代码：```#include <stdio.h>// 欧几里德算法int euclid_algorithm(int a, int b) {int r; // 余数while (b > 0) {r = a b;a = b;b = r;}return a;}int main() {int num1, num2, gcd; // 输入的两个整数和它们的最大公约数printf("请输入两个整数：");scanf("d d", num1, num2);gcd = euclid_algorithm(num1, num2);printf("d和d的最大公约数为：d\n", num1, num2, gcd); return 0;}```四、欧几里德算法应用举例以输入两个整数为24和36的情况为例，当运行上述C语言代码时，得到的输出结果为：```请输入两个整数：24 3624和36的最大公约数为：12```这表明欧几里德算法成功地求出了24和36的最大公约数，验证了欧几里德算法的有效性和正确性。
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第六章 素性检验
6.1 拟素数
引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整
数b,(b,n)=1,有
)(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得
)(mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。
定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 拟素数。
引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则
12-d 能整除12-n
定理1：存在无穷多个对于基2拟素数。
定理2：设n 是一个奇合数，则
(i)n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数当且仅当b 模n 指数整除n-1。
(ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),拟素数，则n 是
对于基21b b 拟素数。
(iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数，则n 是对于基1-b 拟素数。
(iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式)(mod 11n b n ≡-不成立，
则模n 简化剩余系中至少有一半数使得该同余式不成立。
/////////////////////////////////////////////////////
/////////////////////////////////////////////////////
Fermat 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t 。
1.随即选取整数b ,22-≤≤n b
；
2.计算()n b r n mod 1-=;
3.如果1≠r ，则n 是合数；
4.上述过程重复t 次；
定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有正整数b ，(b,n)=1, 都
有同余式
()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。
(i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。
(ii)如果k p p n 1=
是一个无平方数，则n 是Carmichael 数充要条件是 11--n p i ，k
i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数乘积
注：1.存在无穷多个Carmichael 数
2.当n 充分大时，区间[]n ,2内Carmichael 数个数大于等于72n
6.2 Euler 拟素数
引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 对任意整数b 成立
因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得
)(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡/- 则n 不是一个素数。
定义1:设n 是一个正奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件： )(mod 21n n b b n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡- 则n 叫做对于基b Euler 拟素数。
定理1：如果n 是对于基bEuler 拟素数，则n 是对于基b 拟素 数。
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Solovay-Stassen 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t .
1.随即选取整数b ，22
-≤≤n b ； 2.计算);(mod 21n b r
n -= 3.如果1≠r 以及1-≠n r ，则n 是合数；
4.计算Jacobi 符号;⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b s
5.如果s r ≠，则你是合数；
6.上述过程重复t 次。
6.3 强拟素数 引例：设n 是正奇整数，并且有t n n 21=-，则我们有如下因数分解式：
)1)(1()1)(1(121221-+++=----t t t t n b b b b b n n
因此，如果有同余式 )(mod 11n b n ≡-
则如下同余式至少有一个成立：
)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1)
(mod 1122n b n b n b n b t t t t n -≡-≡-≡≡-
定义1：设n 是一个奇合数，且有表达式
t n n 21=-，其中t 为奇数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件：
)(mod 1n b t ≡ 或者存在一个整数，s r <≤0
使得 )(mod 12n b t r -≡
则n 叫做对于基b 强拟素数。
定理1：存在无穷多个对于基2强拟素数。
定理2:如果n 是对于基b 强拟素数，n 是对于基bEuler 拟素数。
定理3：设n 是一个奇合数，则n 是对于基b ，11-≤≤n b ，强拟素数可能性至多为25%。
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Miller-Rabin 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数k 。
写t n s 21=-，其中t 为奇整数。
1.随机选取整数22,-≤≤n b b 。
2.计算)(mod 0n b r t ≡；
3.(i)如果10=r 或10-=n r ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续
选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ;
(ii)否则，有10≠r 以及10-≠n r ，我们计算)(mod 201n r r ≡；
4.(i)如果11-=n r ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ；
(ii)否则，有11-≠n r ，我们计算)(mod 2
12
n r r ≡； 如此继续下去，
S+2.(i)如果11-=-n r s ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ; (ii)否则，有11-≠-n r s ，n 为合数。