信息安全数学基础(A)答案
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。
2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。
证明：ker f是G的正规子群。
3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。
五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择 两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。
选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。
Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。
Bob 的私钥是d ，自己私藏。
如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。
答案 一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的 原根 。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。
信息安全数学基础习题答案 2
信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。
信息安全数学基础习题答案 2
信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。
信息安全数学基础课后答案(陈恭亮著)清华大学出版社
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案答题 习础基学数全安息信
2
)7492 *1 -2 773 ( * )347 - (+74 92 *802= )528 *3 - 7492 ( *802+528 * )911 - (= )2 74 * 1 - 528 ( * )9 11 - (+ 27 4 *9 8= )3 53 *1 -274 ( *98+3 53 *03 -= ) 911 *2 -35 3 ( * ) 03 - (+ 91 1 *9 2= )511 *1 -911 ( *9 2+511 -= )4 *82 -51 1 ( *1 -4= 3 * 1 - 4 = 1�解� 2� 155= t 6 2 2 1 - = s 以所 3 161 * )6221 - (+98 53 *155= ) 31 6 1 * 2 - 9 8 5 3 ( * 1 5 5+ 3 1 6 1 * ) 4 2 1 - (= ) 36 3 *4 -3 161 ( * )4 21 - (+ 36 3 *5 5= )1 61 *2 -363 ( *55+1 61 *41 -= )14 *3 -161 ( *41 -14 *31= )83 *1 -14 ( * 31+83 -= )3 *21 -8 3 ( *1 -3= 2 * 1 - 3 = 1�解� 1� �23 2 =� ) 1 + n ( 2 , n 2�以所 2 *n=n2 2 + n 2 * 1 = ) 1 + n ( 2�解� 2� 1 =� 1 - t 2 , 1 + t 2�以所 1 *2=2 1+2 * )1 - t (=1 - t2 2 + ) 1 - t 2 ( * 1 = 1 + t 2�解� 1� �92 2 =� 2 8 2 , 2 0 2�以所 2 *2=4 2+ 4 * 9=8 3 4+8 3 * 1=2 4 8 3+2 4 * 1=0 8 24+08 *2=202 0 8 + 2 0 2 * 1 = 2 8 2�解� 2� 5 = ) 5 8 , 5 5 (以所 5 * 5= 5 2 5+ 5 2 * 1= 0 3 5 2+ 0 3 * 1= 5 5 0 3 + 5 5 * 1 = 5 8�解� 1� �82 。个多穷无有数素的 3 + k 4 如形�确正论结原 。立成不设假以所�式形的 3 + k 4 为即�数素的式形 1 - k 4 为 N i p� N 以所 ) n ,… , 2 , 1 = i ( np *… *2p *1 p* 3≥ 1-np *… *2p *1 p*4= N 造构 1-k4=1-`k4=3+k4 为因 np ,… ,2p ,1p 为记�个限有有只数素的 3 + k 4 如形设假 法证反�明证� 3 1 。他其证可理同 。证得论结�立成不设假此因�数的 1 - k 3 出得能不�式形的 1 + k 3 是还的到
信息安全数学基础课后答案完整版Word版
第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
信息安全数学基础答案
信息安全数学基础答案【篇一：信息安全数学基础习题答案】xt>第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k?z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1?z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1 即k1=7 k2，k2?z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2?z因此70|n32．证明：因为a-a=(a-1)a(a+1)3当a=3k，k?z 3|a 则3|a-a3当a=3k-1，k?z 3|a+1 则3|a-a3当a=3k+1，k?z 3|a-1 则3|a-a3所以a-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0?z22（2 k0+1）＝4 k0+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k2所以（2 k0+1）=8k+1 得证。
34．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a-a3由第二题结论3|（a-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k?z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
1/26．证明：因为191＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191所以191为素数。
1/2因为547＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547所以547为素数。
信息安全数学基础 课后习题答案,裴定一,徐详 编著 ,人民邮电出版社
·
·
(1
−
1 ql
)
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q1 · · · ql − 1) · · · (ql
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s ϕ(s)
2.10 (1)
n = pt11 · · · ptrr ,p1 < p2 < · · · < pr.
Ç ϕ(n)
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·
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r
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i=1
Q=
12 · 22 · · · · ·
p−1 2
2
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(p
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1)!
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(−1)
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(mod p)
3.7
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·
2 p
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(−1)
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·
(−1)
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É ´ ≥ t2, a + b = pt2 (pt1−t2 a1 + b1)
ordp(a + b) ≥ t2 =min{ordp(a),ordp(b)},
´ t1> t2, pt1−t2 a1 + b1 = 0, (p, pt1−t2 a1 + b1) = 1,
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信息安全数学基础习题答案.pdf
“信息安全数学基础”习题答案第一章1、证明： (1)|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。
(2)12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。
2、证明：1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。
3、证明：1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）若，则即,与题设矛盾，所以假设不成立，即为素数得证。
7、证明：首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。
因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。
其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1， 则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。
由整数的基本性质(3)有：12|(6)1s q q q q n −= ，这是不可能的。
故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。
2n3n最小非负余数最小正余数绝对值最小余数最小非负余数最小正余数绝对值最小余数3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、14 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,413、解： (1)259222137222376(222,259)37372592221,1,1s t =×+=×⇒==−×∴==−(2)139571316827136821316823122(1395,713)31317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=16、解： (1)(112,56)5611256[112,56]112(112,56)=×== (2)(67,335)6767335[67,335]335(67,335)=×== (3)(1124,1368)411241368[1124,1368]384408(1124,1368)=×==(7,4)1,0,7(1)4211,24410,1,2,771||1000142||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x kk y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨⎪==⎪⎩≤⎧∴≤⎨≤⎩=−⎧∴=±±⎨=⎩∵ 而不定方程的一切解为： 其中，又方程的全部解为 ，其中 ，第二章1、解：(1) 错误。
信息安全数学基础参考试卷
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试XXXX 级《信息安全数学基础》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；不许使用计算器；选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下)： （每题2分，共10分）1．设 m 是大于 1 的整数, a 是满足(a , m )＝1 的整数,则 ( )。
(1) a m ≡a (mod ϕ (m ))， (2) a ϕ (m )≡a (mod m )， (3) a m ≡1 (mod ϕ (m ))， (4) a ϕ (m )≡1 (mod m )。
2．设m 是一个正整数，a , b 是整数，下面正确的是( )。
(1) 若ad ≡bd (mod m )，则 a ≡b (mod m )； (2) 若a ≡b (mod m ) , 则 ak ≡bk (mod mk )；(3) 若a ≡ b (mod m )，正整数 d | (a , b , m )，则mod()a b m d d d≡； (4) a ≡b (mod m )， 如果m | d ，则 a ≡b (mod d )。
3．整数kn 和k (n +2)的最大公因数(kn , k (n +2))=( )。
(1) 1或2， (2) | kn |， (3) | n | 或 | kn |， (4) | k | 或2| k | 。
4．设 a ＝23×32×54×116 ，b ＝22×36×74×113，使得a' | a ，b' | b ，a' ×b'＝[a ，b ]，a'，b' )＝1 的a'，b' 分别为( )。
(1) 54 ×116 ，22×36×74， (2) 23×54 ，36×74×113， (3) 23×54 ×116 ，36×74， (4) 23×54 ×116 ，36×74×1135．集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。
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贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A
信息安全数学基础
注意事项：
1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解：
2
2[,](3(,)(3(,)(2(
,)
[,](2abm
am bm am bm abm a b m abm
a b a b m =
==
=分）
分）
分）
分）
= =
二、设
n=pq,其中p,q 是素数.证明：如果
2
2
=(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分）
证明：由2
2
2
2
=(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分）
又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分）
由于,n a b n a b -+宎 ，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）
三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)
32(m od 7)x ≡
解：(1)求同余式31(m od 7)x ≡的解，运用广义欧几里得除法得：
5(m od 7)
x ≡ （5分）
（2）求同余式32(m od 7)x ≡的一个特解： 10(m
od 7)x ≡ （4分） （3）写出同余式32(m od 7)x ≡的全部解： 102(m od 7),0x t t ≡+= （1分）
四、求解同余式组：(共15分)
1234(m o d 5)(m o d 6)(m o d 7)(m o d 11)
x b x
b x b x b =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=⎩
解：令m=5.6.7.11=2310
12
34
6.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1M M
M M
========分）分）
分）分）
分别求解同余式'
M 1(m od ),1,2,3,4i i i M m i ≡= 得到：'
'
'
'
12343,1,1,1(4M M M M ====分） 故同余式的解为：
12343462385330210(mod 2310)(2x b b b b ≡⋅⋅+⋅+⋅+⋅分）
五、求满足方程2
3
:51(mod 7)E y x x =++的所有点. (共10分)
解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.
2
2222220,1(m od 7),1,6(m od 7)(21,0(m od 7),(22,5(m od 7),(13(m od 7),(11(m od 7),1,6(m od 7)(25,4(m od 7),2,5(m od 7)(16,2(m od 7),3,4(m od 7)(1x y y x y x y y y y x y y x y y =≡≡=≡≡=≡≡≡≡=≡≡=≡≡分）y 0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）
x=4,分）分）分）
六、判断同余式2
137(mod 227)x ≡是否有解.（共15分）
解:因为227是素数，2
137
901235
253227227
227227
227227⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
－－＝＝＝－ （分）
又2
2271
226228
8
8
21(1)=13227⋅⎛⎫
⎪⎝⎭
－＝（－）
＝－－ （分）
又2
51
512271
8
22
52272
1==11322755⋅⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
－－－＝（－）（－）＝－ （分） 因此，13713227⎛⎫
⎪⎝⎭
＝－ （分） 同余式2
137(mod 227)x ≡无解. (3分)
七、设1m >是整数，a 是与m 互素的整数，假如()m ord a st =，那么
()s
m ord a t =.（共10分）
解: 由()m ord a st =得：()1(mod )5st
s t
a
a m =≡（分）
由()m ord a st =知，t 是同余式()1(mod )s t
a m ≡成立的最小正整数， 故，()s
m ord a t =. (5分)
.
八、证明整数环Z 是主理想环. （共10分）
证：设I 是Z 中的一个非零理想.当a I ∈时，有00(1)a I a a I =
∈=-∈及-.(2分) 因此，I 中有正整数存在. (1分)
设d 是I 中的最小正整数，则()I d = (1分) 事实上，对任意a I ∈，存在整数q,r 使得 (1分) ,0a dq r r d =+≤< (1分)
这样，由a I ∈及dq I ∈，得到r a dq I =-∈. (1分)
但r d <以及d 是I 中的最小正整数.因此，r=0，()a dq d =∈.(1分) 从而()I d ⊂，(1分)
又显然()d I ⊂.故()I d =，故Z 是主理想. (1分)
九、设p 是素数，则()P p =是整数环Z 的素理想. （共10分）
证：对任意整数a,b ，若(),|ab P p p ab ∈=则. (3分) 于是||.p a p b 或 (3分)
因此得到，a P b P ∈∈或. (3分)
因此，()P p =是整数环Z 的素理想. (1分)。