信息安全数学基础试题
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。
2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。
证明：ker f是G的正规子群。
3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。
五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择 两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。
选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。
Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。
Bob 的私钥是d ，自己私藏。
如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。
答案 一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的 原根 。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。
信息安全数学基础(第四章)
4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因 此 只 需 讨 论 素 数 模 p 的 同 余 式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将 同 余 式 (2)两 端 同 乘 以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二 次 同 余 式 的 一 般 形 式 是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。 求 出 1 9 ， 2 3 的 平 方 剩 余 和 平 方 非 剩 余 。
提 示 ： p 为 奇 素 数 ， 应 用 定 理 4 . 2 . 2 的 结 论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
信息安全数学基础参考试卷
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试XXXX 级《信息安全数学基础》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；不许使用计算器；选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下)： （每题2分，共10分）1．设 m 是大于 1 的整数, a 是满足(a , m )＝1 的整数,则 ( )。
(1) a m ≡a (mod ϕ (m ))， (2) a ϕ (m )≡a (mod m )， (3) a m ≡1 (mod ϕ (m ))， (4) a ϕ (m )≡1 (mod m )。
2．设m 是一个正整数，a , b 是整数，下面正确的是( )。
(1) 若ad ≡bd (mod m )，则 a ≡b (mod m )； (2) 若a ≡b (mod m ) , 则 ak ≡bk (mod mk )；(3) 若a ≡ b (mod m )，正整数 d | (a , b , m )，则mod()a b m d d d≡； (4) a ≡b (mod m )， 如果m | d ，则 a ≡b (mod d )。
3．整数kn 和k (n +2)的最大公因数(kn , k (n +2))=( )。
(1) 1或2， (2) | kn |， (3) | n | 或 | kn |， (4) | k | 或2| k | 。
4．设 a ＝23×32×54×116 ，b ＝22×36×74×113，使得a' | a ，b' | b ，a' ×b'＝[a ，b ]，a'，b' )＝1 的a'，b' 分别为( )。
(1) 54 ×116 ，22×36×74， (2) 23×54 ，36×74×113， (3) 23×54 ×116 ，36×74， (4) 23×54 ×116 ，36×74×1135．集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。
信息安全数学基础(许春香)习题答案
第一章（1）5,4,1,5.（2）100=22*52, 3288=23*3*137.（4）多种解法，其中一种：a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）多种解法，其中一种：由算术基本定理：a,b可分解为有限个素数的乘积，得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn, b= p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’,若a|b不成立，则存在素数pi使得pi在a中的幂ri大于pi在b中的幂ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn, b^n= p1^r1’n*p2^r2’n*…* pi^ri’n *…*pn^rn’n,则ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。
（6）多种解法，其中一种：由于a,b,c互素且非零所以(a,b)=1,(b,c)=1所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1两式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）多种解法，其中一种：70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61!70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9) (mod71) ≡1mod71所以70！≡61!（13）多种解法，其中一种：当n是奇数时，不妨设n=2k+1,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3)当n是偶数时，不妨设n=2k,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3)综上，n是奇数时，3整除2^n+1，n是偶数时，3不整除2^n+1（14）第一个问题：因为(c,m)=d.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r 所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能常见问题：1.写出构成群和不构成群的原因13.证明ab-1∈A∩B即可14.用群的定义证明(题意是证明映射后的集合为一个群)第二章1.判断方法：分别验证1.对运算是否封闭,2.对任意的a, b, c是否满足结合律,3.对任意a是否存在单位元,4.对任意a是否存在逆元. 可以得出在(1)-(10)中(2),(3),(6), (7) (10)构成群(1)不满足结合律，不存在逆元, (4)不存在单位元(5)不满足结合律(8)不构成，不存在逆元(9)不构成，不存在逆元2. a-b-c≠a-(b-c)，所以不构成，不满足结合律5．证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.6．证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.7．证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a 的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b 有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.8．证明：方程xaxba=xbc两边同时左乘a-1x-1,右乘a-1b-1有a-1x-1xaxbaa-1b-1=a-1x-1xbc a-1b-1，化简得x=a-1bc a-1b-1，可知方程有解。
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案( A 卷)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共24分)1.两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为。
2.给定一个正整数m，两个整数a,b 叫做模m 同余，如果________ ，记作a b(mod m) ；否则，叫做模m 不同余，记作 _________ 。
3.设m，n 是互素的两个正整数，则(mn) ____________________________________________ 。
e4.设m 1是整数，a 是与m互素的正整数。
则使得a e 1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的指数，记做。
如果a 对模m的指数是(m)，则a 叫做模m 的__________ 。
5.设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件__________________ ，则n 叫做对于基b 的拟素数。
6.设G,G 是两个群，f 是G 到G 的一个映射。
如果对任意的a,b G ，都有 _______________ ，那么f 叫做G 到G 的一个同态。
7.加群Z 的每个子群H 都是______________ 群，并且有H 0 或H ___________________ 。
8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个群，R* R\{0}对于乘法构成一个 _____ 群。
二、计算题 (本大题共3小题，每小题8分，共24分)1. 令a 1613, b 3589 。
用广义欧几里德算法求整数s,t ，使得sa t b ( ,a )。
b22. 求同余方程x2 2(mod 67) 的解数。
3. 计算3 模19 的指数ord19(3) 。
三、解同余方程 (本大题共2小题，每小题10分，共20分)1. 求解一次同余方程17x 14(mod 21) 。
x 2(mod 3)2. 解同余方程组x 3(mod 5)x 2(mod 7)四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共211. 证明：如果a是整数，则a3 a 能够被6整除。
信息安全数学基础试卷一
《信息安全数学基础》试卷一一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”）1、任何一个交换群必定是循环群。
2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。
3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。
4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。
5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤⋂21。
6、同余方程 有解 。
7、模n 的缩系中共有)1(-n ϕ个元素。
8、),,⨯+Z （是一个域。
9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为二次剩余。
10、对称群3S 有4阶子群。
二、计算题（本题满分15分）1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分）2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。
（本小题10分）三、解答题（本题满分45分）1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。
（本小题6分）2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。
（本小题15分）3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。
（本小题15分） （1） （2）)137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡⇔(,())|g k n ind a ϕ4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。
（本小题9分）图1四、求解下列同余方程或同余方程组 （本题满分15分）1、)15(mod 93≡x （本小题5分）2、⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分）五、证明题（本题满分15分）1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。
信息安全数学考题
一、简答类1、!n ＝ ()n n Θ成立吗？证明你的答案。
解：当n →∞时，， !lim 0n n n n→∞=，故为()n O n ，但不是()n n Ω或()nn Θ 2、log n ⎢⎥⎣⎦！是(),()O n n Ω和()n Θ的吗？证明你的答案。
解：令122kk n +≤<，则当n →∞时，k →∞，而1log !!lim lim2n k k n k n →∞→∞+⎢⎥⎣⎦>=∞，故为()n Ω3、已知操作S 的执行时间为常数时间，请写出以下各段代码中S 的执行频度及其复杂性。
for (int i=0; i<n; i++) for (int j=i; j<n; j++) S(i, j); 解：T(n) = n(n+1)/2 = O(n 2)二、简单分析解题类 1、二分搜索问题设[0:1]a n -是已排好序的数组。
请改写二分搜索算法，使得当搜索元素x 不在数字中时，返回小于x 的最大元素位置i 和大于x 的最小位置j 。
当搜索元素在数字中时，i 和j 相同，均为x 在数组中的位置。
int left = 0; int right = n-1;int middle = (left+right)/2;while (left<=right) and a[middle]<>x) { i f (x>a[middle]) left = middle+1; else right=middle – 1; middle = (left+right)/2; }if (left <= right) then{ ind[0]=ind[1]=middle;} else{ind[0] = right; ind[1]=left; } --返回ind时间复杂性()(log )T n O n =2、整数划分问题将正整数n 表示成一系列正整数之和，12k n n n n =+++ ， 其中12k n n n ≥≥≥ ，1k ≥。
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系 { }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。
则a≡b(mod m)。
（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。
信息安全数学基础习题集一
7．集体访谈也叫_会议访谈（法___．实际上是个别访谈的一种扩一、填空题展形式。
社会调查研究分析和研究社会对人口的影响，主要是看社会的11.8 多组___实验设计，一般是各设置两个实验组和对照组，通过诸多方面对--人口的构成和人口过程--的影响。
对各组检测结果的交叉比较，得出实验结论。
、--- 社会调查研究准备阶段包括三方面工作：即---确定课题12.9．定量分析是最复杂的资料分析。
它按照性质可以分为两大类，设计调查方案与具体准备。
一类是一_描述性分析_；另一类是推论性分析。
的效度，第__13.测量的效度包括两方面内容：第一，_测量方法10．修改调查报告须经过检查和修改两个阶段。
常用检查法有 -- 二，测量结果的效度。
诵读法- 、冷却法和请教法。
--去估计参数值时所出现的误差。
抽样误差是用---统计值14.1．我国在革命和建设的过程中，长期使用着一种通过个别说明一两种分定性和定量__文献分析的正确途径和发展方向应当是15.__般的调查方式，并赋予它特殊称谓，即 -典型调查。
析方法的结合。
2．社会调查研究课题的产生必须根据理论和实际的需要以及 --非结构16.访谈法按照操作方式和内容可以分为结构式访谈和 --可行性----而定。
两种。
式访谈-3．只反映质的区别，而不反映量的差异的变量是_离散变量___。
和直-- ．在条件许可的情况下，应该尽可能采取一17-电话问卷4．可信且---有效----- 的测量是优秀的测量，是社会调查研究接送发问卷的方式进行调查，以保证问卷的回复率。
所追求的境界。
观察，适用于定性类型的调查18非结构式-．实地观察多数是一--5．在条件许可的情况下，应可能采取电话问卷、--直接送发--- 研究。
问卷的方式进行调查。
．实验调查能否成功，在很大程度上取决于能否有效地控制实196．-定的提问方法与一定的 ---行为方式---- 是控制访谈的两个 ---二是对验过程。
它包括两个方面：一是对引入自变量的控制，重要因素。
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一、单项选择题
1、设a, b 都是非零整数。
若a |b ，b |a ，则【 】
A.a ＝b
B.a ＝± b
C.a ＝－b
D. a > b
2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】
A.(a, b)= c
B. c ＝1
C.c ＝sa ＋tb
D. c ＝± 1
3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【
】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ϕ (p)＝1 (mod a)
C. a ϕ (p)＝a (mod p)
D. a p ＝a (mod p)
4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【
】 A. 26 B. 36
C. 46
D. 56
5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【
】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群
C. [0] 是单位元
D.有真子群
6、设<R,+, >是环，则下列不正确的是【 】
A. <F,+ >是可换群
B. <F ， >是半群
C. 对+是可分配的
D. +对 是可分配的
7、模30的简化剩余系是【 】
A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29
B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29
C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
8、设n 是整数，则 (2n, 2(n ＋1))＝【 】
A.1
B.2
C.n
D.2n
9、模17的平方剩余是【 】
A.3
B.10
C.12
D.15
10、整数5模17的指数ord 17(5)＝【 】
A.3
B.8
C.16
D.32
11、下面的集合和运算是群的是【 】
A.<N ，＋> （运算“＋”是自然数集N 上的普通加法）
B.<R ，×> （R 是实数集，“×”是普通乘法）
C.<Z ，＋> （运算“＋”是整数集Z 上的普通加法）
D. <P （S ），∩> （P （S ）是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）
12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【 】
A.18
B.6
C.9
D.0
13、集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。
如果( )，则<F, “＋”,“ · ”>构成一个域。
【 】
A. F 对于运算 “＋”和 “ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e ，且F\{e}对于 “ · ”构成交换群
B. F 对于运算 “＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群
C. F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
D. F 对于运算“＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律
14、群是一种代数结构，下列说法错误的是【 】
A.群运算必是封闭的
B.群必有单位元
C.群必是满足消去律的
D.群必是满足交换律的
15、3次对称群S3的元素个数是【 】
A.1
B.3
C.6
D.4
二、填空题
16、)16(ϕ=_______。
17、设 m 是一个正整数, ad ≡bd (mod m)，如果 ，则a ≡b (mod m)。
18、一次同余式：ax ≡ b (mod m)有解的充分必要条件是 。
19、设(F ，+,·)是一个域，则(F-{0}，·)是__________。
20、如果G 是一个含有9个元素的群，那么，G 的真子群的阶只能是___________。
三、计算题
21、令1613,a = 3589b =。
用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。
22、计算3模19的指数。
23、计算Legendre 符号
24、已知,,στγ 是}5,4,3,2,1{=S 上的5元置换，且 (134),(235),(254)στγ===， 求 στ，1-σ，τσ，γστ)(。
25、考虑GF(23)上的椭圆曲线E ：)23(mod 132++≡x x y ，令P1=（3,10），P2=
（9,7），计算P1+P2。
四、解同余方程
26、求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。
27、解同余方程组
2(mod3)
3(mod5)
2(mod7) x
x
x
≡
≡
≡
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
五、证明题
28、证明：如果是整数，则能被3整除。
29、证明：模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。
六、应用题
30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq。
选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod()n
ϕ)。
Bob的公钥是（n，e），对外公布。
Bob的私钥是d，自己私藏。
如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。