九年级上册数学二次函数知识点汇总
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
2. 二次函数的特殊形式。
- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。
- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。
- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。
二、二次函数的图象和性质。
1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。
- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。
2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。
- 图象：也是一条抛物线。
- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 增减性。
- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。
九年级数学二次函数知识点归纳
九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点以下是九年级上册数学二次函数的主要知识点：1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a≠0。
2. 抛物线的性质：二次函数的图像是抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值点：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，当a>0时，最值点为抛物线的最低点，记作（h，k），其中h = -b/ (2a) ，k = f(h) ；当a<0时，最值点为抛物线的最高点。
4. 对称轴：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，对称轴为x = -b/ (2a) 。
5. 零点：对于抛物线f(x) = ax^2 + bx + c，零点是使得f(x) = 0的x值，可以通过因式分解、配方法、根判定式等方法求得。
6. 平移变换：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过将函数的参数a、b、c进行适当的变换来实现。
7. 判别式和根的数量：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式为Δ = b^2 - 4ac，若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。
8. 特殊二次函数：特殊二次函数是指形如f(x) = k(x - h)^2 + k'的二次函数，其中h、k、k'为常数。
特殊二次函数的图像是抛物线经过平移、缩放和翻转变换得到的。
9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中有广泛应用，例如抛物线运动问题、汽车车灯的设计、桥梁设计等。
以上是九年级上册数学二次函数的主要知识点，希望对你有帮助！。
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册
《二次函数》知识点总结【知识点1 二次函数的表达式】1. 一般式： . 顶点坐标： . 对称轴： .2. 顶点式： .顶点坐标： . 对称轴： . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的 开口方向 ；①当0>a 时，抛物线的 ； ②当0<a 时，抛物线的 ； ③ ||a 越大，抛物线的开口 .3.常数项c 决定抛物线 与y 轴 交点的位置 . ①当0=c ，抛物线与y 轴交于 ； ②当0>c ，抛物线与y 轴交于 ； ③当0<c ，抛物线与y 轴交于 .5.根据a 、b 、c 的符号，画出二次函数的草图:①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2的增减性： 【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数，即02=++c bx ax . ①当 ，抛物线与x 轴有两个交点； ②当 ，抛物线与x 轴有1个交点； ③当 ，抛物线与x 轴有没有交点；2.求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点的过程： 3.求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的过程：4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;2.系数a 和b 共同决定抛物线 对称轴的位置 . ①a 和b 同号，对称轴在原点的 ； ②a 和b 异号， .4.根据图象判断出a 、b 、c 的符号：方法总结：第一步：求出对称轴；第二步：用箭头在对称轴两侧标出上升和下降；第三步：描述增减性.①当 时，随的增大而减小； ②当 时， 随的增大而增大；∵轴上的点， 为零，∴ . ∵轴上的点， 为零，∴ .②不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ___________; ③不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________.④ a + b + c 0 ，4a 2 b + c 0 ， 9a +3 b + c 0 .【知识点4 抛物线的平移】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的平移口诀：“上下平移， ；左右平移， .” 【 * *知识点5 抛物线的对称 ** 】抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的解析式为 . 抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的解析式为 . 【 * *知识点6 二次函数图象的画法 ** 】 画出二次函数3-2-2x x y =的的图象.【典型例题 】1.m2+1+2x −是二次函数，则m 的值为( )C. −1D. 1或−12.【求顶点坐标 】抛物线y =2(x −3)4的顶点坐标是( ) A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)3.【与坐标轴的交点 】抛物线y =−x 2+4x −4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 34.【平移】将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位5.【平移】抛物线y =x 2+6x +7可由抛物线y =x 2如何平移得到的( )A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 6.【图象与性质】对于抛物线y =−3(x +1)2−2，下列说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x >−1时，y 随x 的增大而减小 C. 函数最小值为−2D. 顶点坐标为(1,−2)7.【增减性】已知(−3,y 1)，(−1,y 2)，(2,y 3)是抛物线y =−3x 2+6x +m 上的三个点.则( ) A. y 1<y 3<y 2B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 2<y 3D. y 2<y 1<y 38.【最值】已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−29.【系数与图象】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B. C. D.10.【求解析式】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，求二次函数的解析式．11.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A(−1,−1)和点B(3,−9)．(1)求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标；(2)点C是抛物线与x轴的一个交点，点D是抛物线与y轴的交点，求三角形ACD 的面积；(3)已知点M（x1，y1）和N（1+x1，y2）在抛物线对称轴的右侧，判段y1和y2的大小.12.在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这名男同学的出手处A点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)．(1)求出这个二次函数的解析式；(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)如果水面下降1m，则水面宽度是多少米？14.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？。
九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)
二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ） ○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳知识点1 二次函数的概念和一般形式1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。
2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）知识点2 二次函数的图像和性质1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。
2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。
3.二次函数的解析式（4种形式）（1）y = ax 2（a≠0）（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠04.二次函数的图像和性质：分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。
如下图：二次函数的图像与性质a <05.图像平移后的解析式：y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0）平移规则：左加右减，上加下减。
知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式：一般式、顶点式、交点式。
（1）已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；（2）顶点在原点，可设y = ax 2（3）顶点在x轴上，若抛物线与x轴有一个交点，可设y = a（x-h）2；若抛物线与x轴有两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）；（4）顶点在y轴上（或对称轴在y轴上），可设y = ax 2+k；（5）已知顶点（h，k），可设顶点式y = a（x-h）2+k知识点4 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点九年级上册数学二次函数知识点1二次函数的概念1.二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数。
2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。
⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
2初三数学二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]。
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线]。
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a。
3二次函数的性质1.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
2.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点;当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
4初三数学二次函数图像对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。
③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。
(即绕原点旋转180度后得到的图形)对于顶点式：①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级上册数学二次函数知识点汇总
二次函数知识点总结
知识点一：二次函数的定义
一般地，形如y = ax^2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图像与性质
抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点
1.二次函数y = a(x - h) + k的图像与性质
1）二次函数基本形式y = ax^2的图像与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y = ax^2 + c的图像与性质：上加下减。
3）y = a(x - h)^2的图像与性质：左加右减。
4）二次函数y = a(x - h)^2 + k的图像与性质。
2.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与性质
1）当a。
0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，-Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而增大；当x = -b/2a时，y 有最小值Δ/4a。
2）当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而减小；当x = -b/2a时，y 有最大值Δ/4a。
3.二次函数常见方法指导
1）二次函数y = ax^2 + bx + c图像的画法
①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）。
利用配方法将二次函数y = ax^2 + bx + c化为顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点。
2）二次函数图像的平移
平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定
其顶点坐标（h，k）。
②可以由抛物线y = ax^2经过适当的平移得到，具体平移方法如下：向上（k。
0）【或向下（k。
0）【或左（h < 0）】平移|h|个单位。
一、平移规律
抛物线的平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”，即将抛物线沿x轴平移h个单位，y轴平移k个单位，其解析式
为y=a(x-h)²+k。
二、求二次函数的解析式
根据已知信息选择不同的解析式形式。
如果已知图象上三点或三对坐标值，则通常选择一般式；如果已知图象的顶点或对称轴，则通常选择顶点式；如果已知图象与轴的交点坐标，则通常选择交点式。
三、求抛物线的顶点和对称轴的方法
有三种方法可以求抛物线的顶点和对称轴。
第一种方法是使用公式法，将抛物线的解析式化为标准形式，然后求出顶点和对称轴。
第二种方法是使用配方法，将抛物线的解析式化为顶点式，然后求出顶点和对称轴。
第三种方法是利用抛物线的对称性，通过求解对称轴的连线的垂直平分线与抛物线的交点来求出顶点和对称轴。
四、抛物线的系数作用
抛物线的系数a、b、c各自有不同的作用。
系数a决定抛
物线的开口方向和大小，系数b和系数a共同决定抛物线的对
称轴的位置，系数c的大小决定抛物线与y轴的交点的位置。
五、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
如果二次函数的图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等实根；如果二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则方程有两个相等实根；如果二次函数的图象与x轴没有交点，则方程没有实根。
六、关于直线与抛物线的交点
直线与抛物线的交点可以通过将直线的解析式代入抛物线的解析式中，得到一个一元二次方程，然后根据方程的解来求解交点。
1.抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为(0,c)。
2.与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有
一个交点(h,ah²/2+bh+c)。
3.抛物线与x轴的交点是对应一元二次方程ax²+bx+c的两个实数根x₁、x₂。
抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一
元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点当且仅当判别式大于0，即抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）当且仅当判别式等于0，即抛物线与x轴相切；③没有交点当
且仅当判别式小于0，即抛物线与x轴相离。
4.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有一个交点、两
个交点或没有交点。
当有两个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根。
5.一次函数y=kx+n(k≠0)的图像l与二次函数
y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点，由方程组y=kx+n和
y=ax²+bx+c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时，l与G有两个交点；②方程组只有一组解时，l与G只有一个
交点；③方程组无解时，l与G没有交点。
6.抛物线与x轴两交点之间的距离为两交点的横坐标之差
的绝对值，即AB=|x₁-x₂|，其中x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0
的两个根。
7.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标
联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二
次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。
在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。