人教版九年级上册数学-二次函数课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
人教版九年级上册数学二次函数课件
当a=0时，这个函数不是 二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数， 当b=0时， 是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究 （1）正方体的六个面是全等的正方形，如果 正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关 系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件， 计划今后两年增加产量，如果每年都比上一 年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关 系应怎样表示？
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线， 在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的 竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的 水平距离x之间有什么关系？上面问题中 变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函 数的解析式.
22.1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义 是什么？
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
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n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.
新课讲解
问题3： 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增
加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种
产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎
样表示？
填空： 这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是__2_0_(_1_+_x_)__
不一定是，缺少 a≠0的条件.
1 ④ y x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x² y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理 化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形 式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
方法归纳
解题小结：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类 题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数 m+3≠0.
新课讲解
例2 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？ 为什么？
① y=ax2+bx+c
② s=3-2t²
③y=x2
二次函数
定义
课堂总结
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
一般形式 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a≠0)
1 二次函数的定义
新课讲解
探究归纳
问题1： 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x
，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2
.
此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
随堂即练
1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
2．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1
B．
y 2 x
C．y＝3x2＋1
D． y
1 x2
1
3.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为-_3_x_2__,一次项系数 为_-_1_6___，常数项为 12 .
随堂即练
4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8). (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15（ cm2 ）.
y=20x2+40x+20
新课讲解
函数都是用 自变量的二次 整式表示的
归纳总结
★二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、 一次项系数和常数项.
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
情景引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉， 跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否 用函数关系式表示？
新课引入
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并
且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做 一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
新课讲解
问题2： n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛， 比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
填空： 每个球队n要与其他 n-1 个球队各比赛一场，甲队
对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛
的场次数
.
解： m 1 nn 1
2
m 1 n2 1 n 22
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于
RJ九(上) 教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
学习目标
基本目标 【知识与技能】 1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函 数． 2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思 想． 【过程与方法】 经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一 些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等． 【情感态度与价值观】 通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会 二次函数的数学模型． 二、重难点目标 【教学重点】二次函数的概念． 【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的解析式．
件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2
t,即两年后的产量
y=__2_0_(1_+__x_)2. 答： y=20x2+40x+20. 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
函数①②③有什么共同点?
y=6x2
m 1 n2 1 n 22
新课讲解
2 二次函数定义的应用
例1 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
m2 7 1,
由（1）可知,
m
3
0,
解得
由（2）可知,
m2
7
2,
解得
m=3.
m 3 0,注意：第（2）问易忽二次项系数a≠0这一限制条件，
新课讲解
想一想
二次函数的一般式y=ax２＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时 得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.