第三讲 数论专题 - 学生版
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【例4】对四位数abcd，若存在质数p和正整数k，使a×b×c×d＝pk，且a＋b＋c＋d＝pp－5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
【例5】已知，23!=2585a01b738c849766de000其中a，b，c，d，e表示五个互不相同的偶数数字，且c＞b求a，b，c，d，e分别是多少?
余数问题
件的自然数最小为____。
【例5】已知a=20082008…2008，问：a除以13所得的余数是______。
2008个2008
课后练习
1、(全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
2、已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
(4，25)末两位
(8，125)末三位
2Hale Waihona Puke Baidu数段和系列
3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法)
33，99两位截断法 ——偶数位任意分段原则
3．数段差系列
11
整除判断：奇和与偶和之差
余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)
7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
整除判断：奇段和与偶段和之差
约数积定律：自身n(n＝约数个数÷2)
例题：
【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。
【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到____人。
6、有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．
6、三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算 得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
例题:
【例1】一列数，前几个数是1，3，8，21，55，144，377，987，…，通过观察中间数的3倍都是它前后相邻2个数之和，求：这列数中的第2011个数除以6所得的余数是几？
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、弃九法原理：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
【巩固】学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1∶2∶3，问学前班有多少位小朋友？
【例4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是
570，求这个自然数。
【拓展】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条
11、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？
【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？
【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_______。
【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_____。
3、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．
4、求 的余数
5、已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是 ， ， ，求该自然数的值．
【巩固】有一串数：5，8，13，21，34，55，89，…，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2011个数被3除后所得余数是几？
【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。
【例3】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
7、有一个大于1的整数，除 所得的余数相同，求这个数．
8、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．
9、在7进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少？
10、在几进制中有 ？
余数判断：奇段和－偶段和(不够减则补，直到够减)
三、整除技巧：
1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)
2．除数合并：(结合试除，或有特征)
3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)
4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)
5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例：检验算式
四、中国剩余定理：
一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由 ，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数 是否可以，很显然70除以3余1
第三讲数论专题
重点知识点：
一、整除性质
①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)
②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征
1．末位系列
(2，5)末位
【例5】已知，23!=2585a01b738c849766de000其中a，b，c，d，e表示五个互不相同的偶数数字，且c＞b求a，b，c，d，e分别是多少?
余数问题
件的自然数最小为____。
【例5】已知a=20082008…2008，问：a除以13所得的余数是______。
2008个2008
课后练习
1、(全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．
2、已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
(4，25)末两位
(8，125)末三位
2Hale Waihona Puke Baidu数段和系列
3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法)
33，99两位截断法 ——偶数位任意分段原则
3．数段差系列
11
整除判断：奇和与偶和之差
余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)
7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
整除判断：奇段和与偶段和之差
约数积定律：自身n(n＝约数个数÷2)
例题：
【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。
【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到____人。
6、有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．
6、三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算 得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
例题:
【例1】一列数，前几个数是1，3，8，21，55，144，377，987，…，通过观察中间数的3倍都是它前后相邻2个数之和，求：这列数中的第2011个数除以6所得的余数是几？
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
三、弃九法原理：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
【巩固】学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1∶2∶3，问学前班有多少位小朋友？
【例4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是
570，求这个自然数。
【拓展】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条
11、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？
【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？
【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_______。
【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_____。
3、(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．
4、求 的余数
5、已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是 ， ， ，求该自然数的值．
【巩固】有一串数：5，8，13，21，34，55，89，…，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2011个数被3除后所得余数是几？
【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。
【例3】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
，其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
7、有一个大于1的整数，除 所得的余数相同，求这个数．
8、将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213 20072008，试求这个多位数除以9的余数．
9、在7进制中有三位数 ，化为9进制为 ，求这个三位数在十进制中为多少？
10、在几进制中有 ？
余数判断：奇段和－偶段和(不够减则补，直到够减)
三、整除技巧：
1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)
2．除数合并：(结合试除，或有特征)
3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)
4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)
5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
例：检验算式
四、中国剩余定理：
一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由 ，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数 是否可以，很显然70除以3余1
第三讲数论专题
重点知识点：
一、整除性质
①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)
②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征
1．末位系列
(2，5)末位