高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
C(α−β) ，T(α−β) 这三个公式都叫做差角公式．
例题： （1）已知 cos α = − 4 (α 为第一象限角)，求 cos( π + α) 的值；
5 6 π π 3 （2）已知 0 < α < ，且 cos(α + ) = ，求 α； 2 3 5 （3）求 cos 263 ∘ cos 203 ∘ + sin 83∘ sin 23∘ 的值． 4 解：（1）因为 cos α = ，且 α 为第一象限的角，所以 5
π π π 5π π 3 ，所以 ．又因为 cos(α + ) = ，所以 < α+ < 2 3 3 6 3 5 π 4 sin(α + ) = ．所以 3 5
（2）因为 0 <
cos α = cos[(α +
π π )− ] 3 3 π π π π = cos(α + ) cos + sin(α + ) sin 3 3 3 3 3 1 4 √3 = × + × 5 2 5 2 3 + 4√3 = ． 10
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10
a b sin x + − − − − − − − − − − − − cos x)，令 (a, b) 为某一 2 √a2 + b √a2 + b 2 a b 角 φ 终边上的点，则 cos φ = ，sin φ = − − − − − − − − − − − −． √a2 + b 2 √a2 + b 2 − − − − − − b f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 sin(x + φ)(ab ≠ 0) 为辅助角公式，其中 tan φ = ． a
π 6
B．
π 6
C．
5π 6
)
D．−
5π 6
答案： A
4. 将函数 y = √3 cos x + sin x（x ∈ R ）的图象向左平移 m （m > 0 ）个单位长度后，所得到的图象关 于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ( A．
)
π 12
B．
π 6
C．
π 3
D．
5π 6
答案： B 解析：
y = √3 cos x + sin x = 2 sin (x +
例题： 求下列函数的最大值： （1）f (x) = sin x + √3 cos x； （2）f (x) = 2 sin x − cos x． 解：（1）因为
1 √3 f (x) = sin x + √3 cos x = 2( sin x + cos x) 2 2 π π = 2(sin x cos + cos x sin ) 3 3 π = 2 sin(x + ), 3
（3） 原式 = cos(180 ∘ + 83∘ ) cos(180 ∘ + 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘
3 π π （α 为第一象限的角），求 sin( + α)，sin( − α) 的值； 5 3 3 （2）求 sin 155 ∘ cos 35∘ − cos 25∘ cos 235 ∘ 的值． 3 解：（1）因为 sin α = ，且 α 为第一象限的角，所以 5 − − − − − − − − − 2 4 3 − − − − − − − − cos α = √1 − cos2 α = √1 − ( ) = ．所以 5 5
高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式
一、学习任务 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程． 2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式， 体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明． 二、知识清单
= −√3 (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 65∘ tan 55∘ = −√3 .
2.辅助角公式 描述： 对于 f (x) = a sin x + b cos x(ab ≠ 0) 型函数，我们可以如此变形
− − − − − − f (x) = a sin x + b cos x = √a2 + b 2 (
5 − − − − − − − − − 3 4 2 − − − − − − − − 2 sin α = √1 − cos α = √1 − ( ) = ．所以， 5 5 cos( π π α + α) = cos cos α − sin sin α 6 6 6 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 4√3 − 3 = . 10
所以最大值为 2 ；
（2）f (x) = 2 sin x − cos x = √5 sin(x + φ)，其中 φ 为辅助角，所以 f (x)max = √5 ．
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. sin 75∘ cos 30∘ − cos 75∘ sin 30∘ 的值为 ( A．1
sin(
（2）
原式 = sin(180 ∘ − 25∘ ) ⋅ cos 35∘ − cos 25∘ cos(270 ∘ − 35∘ )
= sin 25∘ cos 35∘ + cos 25∘ sin 35∘ = sin 60∘ √3 = . 2
求下列各式的值： （1）
√3 − tan 15∘ ； 1 − √3 tan 165 ∘ （2）tan 55∘ + tan 65∘ − √3 tan 55∘ tan 65∘ ；
tan α + tan β ，称为和角的正切公式，简记T(α+β) ． 1 − tan α tan β tan α − tan β ，称为差角的正切公式，简记T(α−β) ． 1 + tan α tan β
为了方便起见，我们把S (α+β) ，C(α+β) ，T(α+β) 这三个公式都叫做和角公式．类似地，S (α−β) ，
解析：
)
D．
7√2 10
7√2 10
C．−
√2 10
√2 10
答案： A
4 3 ， α 为第三象限角，所以 sin α = − ，于是 5 5 π π π 7 sin (α + ) = sin α cos + cos α sin = − √2 ． 4 4 4 10
因为 cos α = −
3. 若 3 sin x − √3 cos x = 2√3 sin (x + φ) , φ ∈ (−π, π) ，则 φ 等于 ( A．−
答案： C 解析：
)
C．
B．
1 2
√2 2
D．
√3 2
sin 75∘ cos 30∘ − cos 75∘ sin 30∘ = sin (75∘ − 30∘ ) = sin 45∘ = 4 π ， α 是第三象限的角，则 sin (α + ) = ( 5 4
B．
√2 ． 2
2. 若 cos α = − A．−
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_2
3.2 简单的三角恒等变换教学目标1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用． 教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式. 2．三角变换的内容、思路和方法.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换. 教法与学法教学方法：启发诱导，讲练结合. 学习方法：自主探究，合作交流. 教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．二、新课讲授 提出问题：①与有什么关系？ ②如何建立cos 与sin 2之间的关系？ 是的二倍角．在倍角公式cos2=1-2sin 2中，以代替2，以代替，即得cos =1-2sin 2，所以sin 2=． ①在倍角公式cos2=2cos 2-1中，以代替2，以代替，即得cos =2cos 2-1，所以cos 2=． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan 2=． ③α2αα2aα2ααααα2ααα2α2α2cos 1α-αααα2ααα2α2α2cos 1α+2αααcos 1cos 1+-三、拓展创新，应用提高 例1 试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到； 因为，可以得到． 又因为．例2．求证： （１）； （２）．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得； 即； （２）由（１）得； ① 设，那么．把的值代入①式中得．cos α222sin,cos ,tan 222ααα2cos 2cos12αα=-2cos 12sin 2αα=-2cos 12sin2αα=-21cos sin22αα-=2cos 2cos12αα=-21cos cos 22αα+=222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=()sin αβ+()sin αβ-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=,αβθαβϕ+=-=,22θϕθϕαβ+-==,αβsin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=例３ 求函数的周期，最大值和最小值． 解：这种形式我们在前面见过，， 所以，所求的周期，最大值为２，最小值为． 例4 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABC D 是扇形的内接矩形．记∠COP =α，求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos α-sin 2α． 求这种y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx +φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt △OBC 中，BC =cos α，BC =sin α，在Rt △OA D 中，=tan60°=， 所以OA =D A =BC =sin α． 所以AB =OB -OA =cos αsin α． 设矩形ABC D 的面积为S ，则sin y x x =+sin y x x =+1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2πT ω==2-3π33-33-OADA333333333-S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos αsin 2α =sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)- =sin(2α+)-． 由于0<α<，所以当2α+=，即α=时，S 最大=-=． 因此，当α=时，矩形ABC D 的面积最大，最大面积为．练习1. 已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈２０，πx 时，求f(x)的最大值和 最小值.四、小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段．五．课后作业 P 142 1、2、3、433-33-21636331232163316π633π6π2π6π3163636π63。
人教版 高中数学 必修4 第三章 三角恒等变换 知识整理
升幂公式：1 cos 2 2cos2 ，1 cos 2 2sin2 ；
降幂公式： cos2 1 cos 2 ,sin2 1 cos 2 .
2
2
2. 半角的正弦、余弦和正切
在二倍角余弦公式中，令 得 cos 2 cos2 1 1 2sin2 ，将公式变形
2
2
2
可得半角的余弦公式： cos 1 cos ；半角的正弦公式： sin 1 cos .
sin sin 1 [cos( ) cos( )] 2
2. 积化和差公式的特点
必修四
（1）同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与
差正弦的和（差）的一半；
（2）等式左边为单角、 ，等式右边是它们的和（差）角；
（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负.
2 sin
2
致的.因为分母是单项式，所以在化简、证明中应优先考虑使用有理表达式.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1. 三角函数的积化和差公式 sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2 cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
tan
tan
1
tan tan tan( )
tan tan tan( )
1
（3）公式中，角、、 均不为 k , k Z ，使用公式时应注意
2
【如】
tan(
2
)
tan 2
1 tan
tan tan
.
2
若、、 中有 k , k Z 的形式，就不能使用两角和与差的正切公式，而
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
人教课标实验B版-必修4-第三章 三角恒等变换-本章小结
本章小结
1．本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换．
2．全章始终注意通过问题，引导学生用类比、联系、化归的观点分析与处理问题，引导学生逐渐明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路． 3．本章不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法．例如，在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法．
4．对本章的教学要准确把握教学要求．与以往的三角恒等变换学习相比较，“标准”强调了用向量方法推导差角的余弦公式，以用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式，其他如半角公式、积化和差与和差化积公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，教学时应当把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换难题以及强调细枝末节的内容．。
人教B版数学必修4：第三章三角恒等变换小结.pdf
当的降低难度有利于学生负担的减轻，但另一方面，
内容并无减缩，只是要求降低，习题
难 度降低，这样的做法是否不 大利于学生适应高考的形式？仅就这个问题提出本人的一点
看法 .
归 纳 小 结 布 P154 置 2(2),3,11 作 业
已知
，
3
求 tan tan
3 tan tan 的值。
例 3：
求 cos10 0 cos20 0 cos400 cos80 0 的值。
由学生完成。
由学生发现 问 题与解决 问题的方法。
进 一步巩固 提高。
备注：
在内容的把握上， 很多原有的必须掌握的知识在要求上有所降低， 辨证地来看这个问题， 适
提出针对每一个 公式的典型例题。
提前由学生准备。相互交流，共同提高。（可 以针对时间安排做相应调整）
例 1：
sin sin 3
已知
5，
教
cos cos 4
学
5
过
求 cos(
) 的值。
程
由学生解决问题 提示：如何利用已知条件。
例 2：
使 学生了解 公 式解决问 题的对象。 使 学生进一 步 掌握公式 的应用。
难点：公式的应用（如何使用公式）。
（三）教学方法
首先使学生 明确 11 个公式的内容，之间的内在 联系，公式能解决的问题的类型。
（四）教学过程
教ห้องสมุดไป่ตู้ 环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
（ 1） 11 个公式
C
C
C2
习
（ 2）公式之间的
S
S
S2
引 内在联系（结构
入 图）
T
高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点
111高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点⑴商的关系： ① tan y sin x cos ②cotx cos y sin ③sin y cos ta n④cosx .r r⑵倒数关系： tan cot 1⑶平方关系： sin 2 cos 212、两角和与差的正弦、 余弦和正切公式：⑴cos cos cos sin sin:⑵ cos cos cos ⑶sin sin cos cos sin :⑷ sinsin cos ⑸ta ntan tan(tan tantan 1 1 tan tan ⑹ta n tan tan (tan tantan 11 tan tan1、同角关系: cos sintan tan 余弦和正切公式: 3、二倍角的正弦、 sin sin tan tan⑴ si n2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos 22si n cos (sincos )2⑵ cos2 2 cos.2 sin 2cos 21 1 2si n 2升幕公式 cos 降幕公式 cos 2c 22cos — 2 cos2 1 1 cos 2sinsin 221 cos2⑶tan2羊1 tan 24、万能公式: ① sin 22 ta n 1 tan 2② cos2ta n 2 tan 2 ③ tan 22ta n 1 tan 2④ si n 2tan 21 tan 2⑤ cos 2_____1 tan 25、半角公式cos—2sin —2cos tan2 cossin 1 cos1 cos sin（后两个不用判断符号，更加好用）6、asin bcos . a2b2sin(（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tanb-)a2。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_3
课题：三角恒等变换【学习目标】1、进一步掌握三角恒等变换的方法。
2、熟练运用三角公式对三角函数式进行化简、求值和证明，培养数学运算核心素养。
3、体会转化与化归思想的应用。
【重点、难点】重点：能运用三角公式进行简单的恒等变换。
难点：三角公式的变形及灵活运用。
【自主学习】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式()()()()()()cos ______________________;cos ______________________sin ______________________;sin ______________________tan ______________________;tan _____________________αβαβαβαβαβαβ+=-=+=-=+=-= 2、二倍角公式sin 2______________cos 2________________________tan 2______________ααα=====3、升幂公式1cos 2_________;1cos 2_________αα+=-=4、降幂公式22sin cos _________;cos _________;sin _________αααα===5、辅助角公式sin cos __________________y a wx b wx =+=【合作探究】探究活动一给值求值：角的灵活变换思想在三角恒等变换中的应用例1、设32,cos 25θπθπ<<=-，求2sin ,cos ,sin 4θθθ的值。
变式1：已知tan 123ππαβ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 4παβ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。
【方法规律】：给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的关系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如：()2,2ααααββ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，探究活动二有关证明问题例2、求证：()sin tan tan cos cos αβαβαβ-=-变式2：（2016江门高一调研）已知21)s in(=+βα，31)sin(=-βα．求证：βαtan 5tan =【方法规律】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2