《数字信号处理》自测题1答案

1电子科技大学网络教育考卷（A1卷）(20 年至20 学年度第 学期)一、填空(每题分，共分)1.判断并说明以下系统的线性性和移不变性。

（1）T[x(n)]=x(2n+1) : 线性，非移不变 （2）T[x(n)]=∑=nk k x 1)(： 线性，移不变2. 将连续时间信号采样为离散时间信号时，一般需要在采样前对连续信号进行低通滤波，此滤波器的作用是__防止频谱混叠_______；对离散信号进行处理以后，需要将其再通过一个低通滤波器，恢复成连续时间信号，此滤波器的作用是___平滑信号__________________。

3. IIR 滤波器与FIR 滤波器相比较，在相同的频率选择性要求下，___IIR_________的阶数较低；__FIR__________一般采用非递归的结构，总能够保证稳定性。

4.冲激响应不变法设计IIR 滤波器的缺点有__A,D__________，使用双线性变化法设计IIR 滤波器的缺点有_____B_______。

(不定项选择)A)频谱混叠 B ）只能设计幅频响应分段为常数的滤波器 C)运算量大 D)不能设计高通、带阻滤波器5.直接计算N=2L 点DFT 需要___N2 __次复数乘法；基-2 FFT 需算法要____NN2log 2________次复数乘法；基4 FFT 算法需要____NN2log 83________次复数乘法。

6.序列)(1n x 长度为N1，序列)(2n x 长度为N2，圆卷积的周期为N 。

那么，要使得圆卷积的主值序列与线卷积结果相同的条件是____121-+≥N N N ________。

7.写出IIR 滤波器的至少四种实现结构__直接I 型___、__直接II 型__、__级联型____、___并联型________（格型）；FIR 滤波器的三种实现结构___横截型（卷积型，直接型）__、___级联型__、_频率采样型____。

二、求序列的逆z 变换。

(每题5分，共10分)1) 11211114(), ||815311515z X z z z z ----=<<-+解： 11121111()()444()8181111()()1515151535z z z z z X z z z z z z z ------===-+-+-- 1()411()()3551311188355131()(), 11883511||()535131()()()(1)()()8385n n z X z z z z z z z z z x n x n u n u n -=--=+---=-+--<<=---+由于，故为双边序列2）11121(), ||1414z X z z z ---=>- 解： 11122()11144z z X z z z ----==-- ()2817,11()441||()41()8()7()()4n X z z z z z z z z x n x n n u n δ-==--->=⋅-⋅由于，故为因果序列三、矩形序列)(1n x 长度N1＝4，矩形序列)(2n x 长度N2＝3，其波形如下图所示。

分别求出其线性卷积)()()(211n x n x n y ⊗=，周期5的圆卷积)()(12n x n y =⑤)(2n x ，周期7的圆卷积)()(13n x n y =⑦)(2n x ，注意用图画出重要步骤和结果。

(15分)x 1(n)x 2(n) （注：“×”为不定义点）姓名__________________ 专业名称__________________ 班号________________学号__________________教学中心_________________…………………… …… … … … … …密………………… …… … … … … ……封……………… …… … … …线… … … …… … … ……………………2解：(1)根据线性卷积的定义,有:∑∑∞-∞==-=-==m nm m n x m x m n x m x n x n x n y 02121211)(*)()(*)()(*)()(,故有:1)0(*)0()0(211==x x y ;21111)0(*)1()1(*)0()1(*)()1(21211211=⨯+⨯=+=-=∑=x x x x m x m x y m同理可得:1)5(,2)4(,3)3()2(1111====y y y y 。

线性卷积结果如下图：(2)根据圆周卷积的定义,有:)()(12n x n y =⑤)())(()(5512n R n y n x =,所以，2)2()3()0()0()0(21212=+=x x x x y ，2)1()0()0()1()1(21212=+=x x x x y ，3)2()2(12==y y ，3)3(2=y ，2)4(2=y 。

故周期5的圆周卷积结果如下图：(3)根据圆周卷积与线性卷积等价的定理，当121-+≥N N N ，即1347-+≥时，圆周卷积主值区间的结果等于线性卷积的结果．故：)()(13n x n y =⑦)()())(()(17712n y n R n y n x ==,故圆周卷积的主值区间的结果与)(1n y 相同．四、给出用一次N 点DFT 求一个2N 点实序列的DFT 的方法，并证明。

(20分) 解：1）计算步骤：第一步，将2N 点实序列()x n 按照其奇偶性分成两个N 点实数序列1()x n 和2()x n ，记其N 点DFT 分别为)]([)(11n x DFT k X =，)]([)(22n x DFT k X =；第二步，构造N 点复数序列)(*)()(21n x j n x n w +=； 第三步，求出)(n w 的N 点DFT ，即)]([)(n w DFT k W =；第四步，利用DFT 的圆周共轭对称性，求出)](Re[)(1k W k X =，j k W k X /)](Im [)(2=； 第五步，将)(),(21k X k X 周期延拓到[0,2N-1]，11110111222022()(())()()(),0,...,1()(())()()(),0,...,1N nkN Nn N nkN Nn X k DFT x n x n W X k N X k k N X k DFT x n x n W X k N X k k N -=-===+==-==+==-∑∑第六步，利用公式121()()(),0,1, (21)NX k X k WX k k N =+=-，求出2N 点实序列的2N 点DFT ()[()],0,1,...,21X k DFT x n k N ==- 2）有关上述计算步骤的说明：第四步使用的是DFT 的圆周共轭对称性； 第六步的证明如下：2122022212201,112(21)220112(21)12220011220()(())()()()(2)(21)()()()()N nk N Nn N N nk nk NNn n evenn n oddN N nk n kNN n n N N nkn k NN n n N nk knk NN Nn X k DFT x n x n Wx n Wx n W x n Wx n W x n Wx n W x n WWx n W-=--=∈=∈--+==--+==-====+=++=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑，1122(())(())N n k N N NDFT x n W DFT x n -==+∑五、分别采用直接II 型和级联型来实现以下系统函数，并比较二者的优缺点 (10分)224(1)( 1.41)()(0.5)(0.90.8)z z z H z z z z +-+=-++ ⨯⨯ 0 1 2 3 4 5 613 2 n)(1n y 12⨯0 1 2 3 4 532 n)(2n y2⨯3解：1121124(1)(1 1.4)()(10.5)(10.90.8)z z z H z z z z ------+-+=-++1231231231234 1.6 1.6410.40.350.44 1.6 1.641(0.40.350.4)z z z z z z z z z z z z --------------+=++---+=---+ 直接II 型和级联型都使用相同数目的延迟单元以及做相同次数的乘法运算；直接II 型系数对零极点（滤波器性能）的控制作用不明显，调整不便；另外，极点对系数变化以及有限字长效应敏感，容易出现不稳定和较大误差。

x(n)直接II 型y(n)级联型x(n)六、有一个M 点有限长序列(), 01()0, x n n M x n else ≤≤-⎧=⎨⎩希望求出其z 变换在单位圆上N 个等间隔点上的抽样，即2,0,1,...1jk Nz ek N π==-上的抽样。

试对下列情况，找出只用一个N 点DFT 就能计算X(z)的N 个抽样值的方法，并证明之： 1) N M ≥ 2) N M <解：1）当M ≥N 时，2()|[()]()kjNM z eX z DFT x n X k π===。

注意：N<M 时，x(n)做M 点DFT 需要补零；2）当M<N 时，先将N 点序列以M 为周期重叠相加，得到M 点序列()M x m ，再对此M 点序列做M 点DFT ，即得到x(n)的z 变换在单位圆上等间隔的M 点采样。

其证明如下：221[]21()00[]21()00[]210021[()]()()()()()()[()]N jnk jnk MMn NM M jm Mr k Mr m N M Mjm Mr k Mm r N M M j mkM m r M jmk MM m M MDTFT x n X ex n ex m Mr ex m Mr ex m Mr e x m eDFT x m ππππππ--=--+==--+==--==--====+=+⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭==∑∑∑∑∑∑∑∑其中，[]0()(),[]N MM r x m x m Mr N NM M==+∑为不超过的正整数…………………… …… … … … … …密………………… …… … … … … ……封……………… …… … … …线… … … …… … … ……………………。