数学分析第2章(2.3-2.4)
恒有 g ( x ) a u a 成立 .
将上两步合起来:
0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
f ( u ) f ( a ) f [ g ( x )] f ( a )
y f ( x)
x 的增量
.
y
y
x
y
x
0
x0
x0 x
x
0
x0
x0 x
x
连续的定义
定义 1 设 函 数 f ( x )在 U ( x0 )内 有 定 义 ,如 果 当 自 变 量 的 增 量 x 趋 向 于 零 时 ,对 应 的 函 数 的 增 量 y 也 趋 向 于 零 , 即 lim y 0
x ( , ) 都是连续的
.
例4 证明
证
y a 在( , )内连续
对 x 0 ( , )，有
x
只须证明
x x0
lim a
x
a
x0
x 0
lim y lim [ a
x 0
x0 x
a
x0
]
lim a
x 0
x0
x0
在 ( 0 , ) 内单调且连续
★
y x
a
log a x
y a , u log
u
a
x.
在 ( 0 , ) 内连续
,
讨论 不同值 ,
(均在其定义域内连续 )
定理
基本初等函数在定义域内是连续的.
定理 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
[a
x
1] 1) 0
a
x
x 0
lim ( a
x
故 y a 在 x 0 ( , ) 处连续
二、连续函数性质与运算
1. 局部有界性 定理 f 在 x0 连续 U ( x 0 ), K 0 , s. t. x U ( x 0 ),
f (x) K
( 1 x 1 )(
2
x 0
x ( 1 x 1)
lim
x 1 x 1
2
0 2
0.
x 0
四、间断点及其分类
f 在点 x0 处连续必须满足的三个条件： f 在点 x0 处有定义； f 在点 x0 处有极限； f 在点 x0 处的极限等于 f(x0)
1. 概念
设 f 在 x0 的某去心邻域有定义,若 f 在 x0 无定义, 或 f 在 x0 有定义而不连续, 则称 f 在 x0 间断, x0 称为 f 的间断点或不连续点．
即 lim f ( x ) f ( 0 ) ，故 f 在 x
0 处连续．
2. 单侧连续
设 f 在[ x 0 , x 0 ) ( ( x 0 , x 0 ] )内有定义, 若 lim f ( x ) f ( x 0 ) ( lim f ( x ) f ( x 0 ) )
．
2. 局部保号性
定理 f 在 x0 连续, 且 f ( x 0 ) 0 ,则 r :
0 r f ( x 0 ) U ( x 0 ), x U ( x 0 ),
f ( x ) f ( x0 ) 0, f ( x ) r
．
3. 局部保序性
f, g 在 x0 连续, f ( x 0 ) g ( x 0 ) U ( x 0 ), s.t.
f [ g ( x )] f ( a ) f [ lim g ( x )].
x x0
证
f ( u ) 在点 u a 连续 ,
0, 恒有 0 , 使当 u a 时 ,
f ( u ) f ( a ) 成立 .
x x0
又 lim g ( x ) a ,
6. 四则运算性质
定理 若 f, g 在 x0 连续, 则 f g , f g , ( g ( x 0 ) 0 )都在 x0 连续．
f g
7. 复合函数的连续性
定理 设 y= f (u), u=g(x), 若 g 在 x0 连续, f 在 u0=f(x0)连续, 则 f og (即 y=f(g(x))在 x0 连续．
x 0
或
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 , 那 末 就 称 函 数
f ( x )在 点 x 0 连 续 , x 0 称 为 f ( x ) 的 连 续 点 .
设 x x0 x, x 0 就是
y f ( x ) f ( x 0 ), f ( x ) f ( x 0 ).
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, y
cos x 1 ,
D : x 0 , 2 , 4 ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x ( x 1) ,
2 3
D : x 0 , 及 x 1,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [ 1 , ) 上连续 .
那 末 就 称 函 数 f ( x )在 点 x 0 连 续 .
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
x x0
lim f ( x )
1.在x0附近定义;
f ( x0 )
在x0有定 义
例9
讨论函数 2 x, f ( x ) 1, 1 x , 在 x 1 处的连续性 0 x 1, x 1 x 1, .
y
y 1 x
2 1
y 2
x
o
1
x
解
f (1 ) 1 ,
x x0
x x0
则称 f 在 x0 右(左)连续.
定理 函数 f 在 x 0 处连续 f 在 x 0 处既左连续又右连续．
例2
讨论函数 连续性 .
x 2, f (x) x 2,
x 0, x 0,
在 x 0 处的
解
lim f ( x ) lim ( x 2 ) 2 f ( 0 ),
在 x 0 处的连续性
y
.
f (0 0) 0,
f (0 0 ) 1,
f ( 0 0 ) f ( 0 0 ),
x 0 为函数的跳跃间断点 .
o x
2) 可去间断点
x x0
如果
f ( x ) 在点 x 0 处的极限存在
,
但 lim f ( x ) A f ( x 0 ), 或 f ( x ) 在点 x 0 处无定 义则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点 .
例如 s in x , c o s x 在( , ) 内连续， 故 ta n x , c o t x , s e c x , c s c x 在其定义域内连续．
定理
则有 lim
x x0
若 lim g ( x ) a , u g ( x ), 函数
x x0
f ( u ) 在点 a 连续 ,
x U ( x 0 ), f ( x ) g ( x )
4. 不等式性质
f,g 在 x0 连续, U ( x 0 ), x U ( x 0 ),
0 0
f ( x ) g( x ) f ( x0 ) g( x0 )
5、反函数连续性定理
严格单调的连续函数必有同严格单调的 连续反函数
2. 分类
1) 跳跃间断点
如果 f ( x ) 在点 x 0 处左 , 右极限都 x 0 为函数
存在 , 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ), 则称点 f ( x )的跳跃间断点 .
x 0, x 0,
例8 解
讨论函数
x, f (x) 1 x ,
x x 0 , y 0 就是
定义
2
设 函 数 f ( x)在 U ( x0) 内 有 定 义 ,如 果
函 数 f ( x)当 x x0 时 的 极 限 存 在 ,且 等 于 它 在 点 x 0 处 的 函 数 值 f ( x 0 ) , 即 lim
x x0
f ( x) f ( x0)
x 0 1
x
ln[ lim ( 1 x ) x ] ln e 1 .
x 0
例5 解
求 lim
e
x
1 x
x 0
.
令 e
x
1 y , 则 x ln( 1 y ),
当 x 0时 , y 0 .
原式 lim
y ln( 1 y )
y 0
lim
1
1
一、连续的定义
1.函数在一点的连续性
函数的增量
设函数 f ( x ) 在 U ( x 0 )内有定义 , x U ( x 0 ), x 0的增量 . x x x 0 , 称为自变量在点
y f ( x ) f ( x 0 ), 称为函数
y
y f ( x)
f ( x ) 相应于
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2 ) 2 f ( 0 ),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f 在点 x
数学分析第2章
于是当n N时， | a 1 || b 1 | ，从而当0 a 1时， lim n a 1.
n
1 n
综上所述，结论成立 .
数学分析
注意：
对 0(不论多小)，N N ，这里N与有关，每给定一个 ，
就存在一个N与之对立，故可改为 N N ( )或N ，使当n N时， | an a | . 这里N可以写出很多大，可以 是正整数，也可以是 0，也可是正 实数. n N也可改为年n N .
n 2 N 1
|a| a | 1 a 1 0 2 |a| 0. 2
当a 0时，令n0 2 N， | (1) n a | 1 | a | 1
数学分析
三 数列极限定义的几何意义
x2
a x N 1
2
a
a
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外 .
S
数学分析
2、截杖问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
数学分析
n (1) n 1 3、 设xn , n 1 4 3 6 5 则 x1 2, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , 2 3 4 5 6 n (1) n 1 , xn , n 当n无限增大时，xn无限接近1，即 | xn 1 | 无限接近0.
n
数学分析(二)知识点总结PPT课件
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
-
3
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
,使 [a n ,b n ]n , 1 ,2 ,
反例：取单调递增{a有 n},使 理 an 数2列 , 取单调递减{b有 n},使 理 bn 数2列 ,
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
-
14
(1)3axdx lan
x
a
C
(2)0 a2 1x2d xa 1arca x tC an
(2)1 x 21 a 2 d x 2 1 a ln x x a a C
(1)6 ta xn d lx c nx o C s (2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。
-
17
8、常用代换: 三角代换去掉如下二次根式：
(1) a2x2 可令 xasint,
ax
t
a2 x2
(2) a2x2 可令
xatatn,
x2a2 x
t
a
(3) x2a2 可令 xasetc, x
x2a2
-
t
18
a
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 k x,,l x时，可采用令x=tn,
还 e x 2 d 有 、 x sx i2 ) d n 、 x c ( o ( x 2 s ) d 、 x 1x4dx
另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.)k d kx x C(k 是常数) (7) six ndx co x C s
(2)
数学分析第二章
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
（1）齐次线性方程/Homogenous Linear ODE/ 齐次线性方程
dy = p( x ) y dx
解法: 解法 分离变量，得: 积分，得:
dy = p( x)dx y
dy ∫ y = ∫ p( x)dx + C1
2) 用常数变易法求方程通解 设 y =
c( x ) 是方程的解，代入原方程，得 cos x
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
c′( x ) cos x + c( x) sin x c( x) cos x( )= sin x + cos 2 x cos 2 x cos x
1 dz = P( x) z + Q ( x) 1 − n dx dz = (1 − n) P ( x) z + (1 − n)Q ( x) dx
这是一阶线性方程. 求解后，代入原变量
z = y1− n ,便得原方程的通解。
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
注意: 注意: 有时方程关于
dy y, dx
不是线性的，但如果视
x 为 y 的函数，方程关于
dx 是线性的， x, dy
于是仍可以根据上面的方法求解。
§ 2.2 Linear ODE and variation of constants Method
练习
(1)
xy '+(1 + x) y = e
x
它通过变量代换可化为线性方程。 解法： 解法 将伯努利方程的各项同乘以 得: 令
数学分析 第二章
AB CD AB CD
（7）De Morgan（德摩根）公式
( A B) C A C B C ( A B) C A C B C .
下面给出有限集、无限集与可列集的定义. 如果集合 S 由有限个元素组成，则称集合 S 为有限集，如{红，蓝，绿}，{a,b,c,d}都是 有限集；不是有限集的集合称为无限集，前面说的 N、Z、Q、R 都是无限集；如果一个无 限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，这个集合可表示为：
A B .它可表示为
A B {x | x A且x B}
显然 A A A A A . 关于集合的并和交运算，有下列一些性质成立： 定理 2.1 1 交换律 2 结合律
A B B A, A B B A. A (B C) (A B) C， A (B C) (A B) C.
通常 f 可以用其他的字母代替．
f (x ) | x X 为其值域，并称 x 为自变量，y 为因变量.
4）. 不含任何元素的集合叫做空集．记为 ． 通常证明两个集合相等，总是利用 3).
集合之间的关系主要有： 1）. A,B 为两个集合， 若对于任意的 x A ， x B ， A 为 B 的子集． A B 都有 则称 记为 （读做 B 包含 A，或 A 包含于 B）或 B A ． 2）. 若 A B 且存在 x B 但 x A ，则称 A 是 B 的真子集． 3）. 若 A B 且 B A ，则称 A 与 B 相等．记为 A=B．
数分2知识点总结
数分2知识点总结数学分析是数学的一个分支，主要研究实数域或复数域上的函数、极限、微分、积分等问题。
数学分析2是数学分析的高等部分，主要包括复变函数、级数、广义积分、常微分方程等内容。
本文将从这些内容出发，对数学分析2的知识点进行总结。
一、复变函数1. 复数与复平面复数是实数与虚数的和，通常表示为z=a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数可以用复平面上的点来表示，平面上每个点都对应一个复数。
2. 复变函数的概念函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)称作是复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数。
复变函数的导数和连续性与实变函数的导数和连续性有很大的不同。
3. 解析函数如果在某个区域内f(z)的导数存在，并且f(z)的导数在整个区域内都存在，则称f(z)在这个区域内解析。
解析函数在其定义域内有无穷阶导数，且可以在整个定义域内用泰勒级数展开。
4. 函数的积分复变函数的积分与实变函数的积分有很大的区别，复变函数的积分是在曲线上进行，而不是在区间上进行。
沿着曲线围成的区域进行积分，称为沿曲线的积分。
5. 应用复变函数在电磁学、流体力学、工程学等领域有广泛的应用，例如在电磁学中，复变函数可以用于描述电场的分布和运动，对电荷的分布和电场的强度进行分析。
二、级数1. 数项级数数项级数是指由一列数相加得到的无穷和。
数项级数的和记作S，S= a1+a2+a3+...。
级数和的性质包括级数和的收敛性和发散性。
2. 幂级数幂级数是指形如Σan(z-z0)^n的级数，an是常数，z是复数，z0是常数。
幂级数的收敛半径与收敛区间的概念对于幂级数的收敛性分析起着关键作用。
3. 函数项级数函数项级数是指级数的每一项是函数的级数。
函数项级数的收敛性是由级数和的收敛性决定的，并且比一般数项级数的判断更加复杂。
4. 应用级数在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中，级数可以用来描述力学、热学等现象的规律，可以用级数来近似解决很多实际问题。
数学分析II
数学分析II数学分析II数学分析是数学的一门重要学科，它研究的是数学对象的变化规律，通过研究极限、微积分等概念，揭示了自然界和人类活动中的规律性，为实际问题的解决提供了坚实的理论基础。
其中，数学分析II主要研究的是微积分的应用。
微积分作为一门学科，主要研究的是数学函数的局部和整体性质，包括导数、积分、微分方程等多个方面。
它既是数学理论的基础，也是自然科学、工程技术、社会经济等领域中必不可少的工具。
数学分析II是微积分学的延伸和拓展，主要研究的是一些高级的微积分知识，如多元函数的微积分、曲线和曲面积分、向量分析等。
下面将对数学分析II的相关内容进行详细的解释和分析。
一、多元函数的微积分在微积分学的基础上，多元函数的微积分是微积分学的一个重要分支。
例如，对于二元函数，我们需要研究其偏导数、全微分、梯度、曲线的切向量等诸多内容。
多元函数的微积分理论在现代自然科学中具有重要应用，包括物理、化学、生物、医学等方面，所以研究多元函数的微积分是十分重要的。
一个二元函数设为 $f(x,y)$，则它的偏导数可表示为$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
这些偏导数可以帮助我们研究函数的局部性质，如函数的驻点、极值和拐点等。
另外，全微分也是多元函数微积分的一个重要概念。
在微积分中，总微分通常用来衡量一个函数的微小变化量。
对于二元函数 $f(x,y)$，它的全微分可表示为：$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partialy}dy$$ 其中，$dx$ 和 $dy$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的微小变化量。
这个公式可以帮助我们研究函数的微小变化及其所带来的影响。
如果一个函数在某一点处的梯度存在，则说明该点是函数的局部最大值、最小值或者鞍点。
我们可以利用梯度来研究函数的驻点和极值，这是多元函数微积分的一个非常重要的应用。
数值分析-第二章-距离空间
a
b g(x) q dx 1/ q
a
其中 f (x) p , g(x) q在[a,b]上可积分。
特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a,b]按 (x, y) max x(t) y(t) 是完备的距离空间； t[ a ,b ]
C[a,b]按
1(x,
y)
b
a
x(t)
y(t ) dt
是不完备的距离空间
间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
(x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] L1[a,b]，且C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a,b]按距离
( x,
y)
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2，l 2 称为平方可和距离空间。
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是
X 中点列， x X 。若 n 时, (xn, x) 0 （即 0, N, 当n N时, (xn, x) ）
补充不等式
1）Minkowski 不等式
第2章 距离空间
§2.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若
按一定 ∀x, y ∈ X ⎯⎯⎯ →∃ ρ(x, y)≥ 0，且满足（距离公理） 规则
距离 ρ(•, •)是集合 X×X （称为乘积空间或笛卡尔 积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数） 。
（1）非负性 ρ(x, y ) ≥ 0,当且仅当x = y时, ρ(x, y ) = 0 （2）对称性 ρ(x, y) = ρ(y, x) （3）三角不等式 ∀z ∈ X , 有
x (t ) − y (t ) 是完备的距离空间； 例 4 C [ a , b ] 按 ρ ( x, y ) = tmax ∈[ a ,b ]
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
C [ a , b ] 按 ρ1 ( x, y) = ∫a x(t ) − y(t ) dt 是不完备的距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
5 6
2 - 1
第二章 距离空间
补充不等式 1）Minkowski 不等式
⎛ n ai + bi （1） ⎜ ⎜∑ ⎝ i =1
k
2）Holder 不等式
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ k
（1） ∑ aibi ≤ ⎜ ∑ ai ⎟
p
1/ k
n
⎛
n
⎞ ⎠
如果在 R 中，定义 d(x, y ) = x1 − y1 + x2 − y2 ，
2
ρ ( x, y ) = max x(t ) − y (t )
t∈[ a ,b ]
验证得知 R 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同
2
的度量空间。
考研《数学分析》考试大纲
707数学分析第1章函数1.1 集合与实数系1.2 函数概念1.3 函数的特性1.4 反函数和复合函数1.5 初等函数第2章极限与连续2.1 数列极限2.2 函数极限2.3 无穷小和无穷大2.4 连续函数第3章导数与微分3.1 导数的概念3.2 基本初等函数的导数公式3.3 导数的运算法则3.4 高阶导数3.5 微分3.6 导数与微分的简单应用第4章微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.2 不定式的定值法4.3 泰勒公式4.4 导数在函数研究中的应用第5章不定积分5.1 原函数与不定积分5.2 换元积分法5.3 分部积分法5.4 有理函数和积分法5.5 三角函数有理式的积分法第6章定积分6.1 定积分的概念6.2 定积分的性质6.3 微积分基本定理6.4 定积分的计算6.5 定积分的应用6.6 广义积分6.7 广义积分的判别法第7章空间解析几何与向量代数7.1 空间直角坐标系7.2 向量代数7.3 空间平面7.4 空间直线7.5 空间曲面7.6 空间曲线第8章多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续8.2 偏导数与全微分8.3 多元复合函数的微分法8.4 隐函数的微分法8.5 多元函数的泰勒公式8.6 方向导数和梯度8.7 偏导数的应用第9章重积分9.1 二重积分9.2 三重积分第10章级数10.1 常数项级数的概念与性质10.2 正项级数10.3 任意项级数10.4 函数项级数的一致收敛10.5 幂级数10.6 泰勒级数10.7 傅里叶级数。
数学分析第二章
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 n2 a 2 lim 1 例 2 证明 n n 证明
n
e 0 ＞ 0N
,
n0＞ N,有 an0 a e 0
数列 an 发散
a , e 0 ＞0N , n0＞N,有 an0 a e 0
P26 例7
五、 无穷小数列:
定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个 极限概念，趋向常数0） 命题 1. xn 的极限为n <=> xn n 是无穷小量.
n2 a 2 lim 1 n n
3n 2 例3. 证明 lim 3 2 n n 4
分析，要使 只要 n
12
3n 2 12 12 3 2 e （为简化，限定 n 2 n 4 n 4 n
3
e
证. e 0, 取 N max12 , 3 当 n >N 时有
n
lim xn a e 0, NN, 当nN时, 有|xna|e .
n (1)n1 1 1| e , |xn1| | n n n (1)n1 1 . 所以 lim n n 分析: n (1)n1 1| 1 . |xn1| | n n 1 1 1 1 .. e e n n 对于 对于 e e>0 >0 , ,要使 要使 |x |x 1| 1| e e , , 只要 只要 , , 即 即 nn n n e e 下页
n
求证 lim x n a .