圆锥曲线知识点总结表
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。
椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。
椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。
2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。
双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。
双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。
4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。
(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。
(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。
(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。
高考数学知识点圆锥曲线二级结论
圆锥曲线的二级结论一．有关椭圆的经典结论结论1.（1）、与椭圆22221x y a b 共焦点的椭圆的方程可设为 222221,0x y b a b.（2）、与椭圆22221x y a b 有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b , 2222,0x y b a.结论2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:（1）、第一定义：122PF PF a ；（2）、焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c ；（3）、2212b PF PF a ；（4）、焦半径公式10||PF a ex ,20||PF a ex (1(,0)F c ,2(,0)F c 00(,)M x y ).结论4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF ，则（1）、2122||||1cos b PF PF；（2）、焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b；（4）、当P 点位于短轴顶点处时, 最大,此时12PF F S 也最大；（5）、.21cos 2e （6）、点M 是21F PF 内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM ||||.结论5.有关22b a的经典结论（1）、AB 是椭圆22221x y a b 的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a .（2）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a（3）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），12,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a（4）、椭圆的方程为22221x y a b（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B两点的任一点，则有22PA PBb K K a结论6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b 上，则（1）、以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y ；（2）、过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b.结论7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b.结论8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a ,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b.结论9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y （常数）.结论10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F ,21PF F ，则sin sin sin c e a.结论11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF ,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.结论12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）、22221111||||OP OQ a b；（2）、22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b ；（3）、OPQ S 的最小值是2222a b a b .结论15.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 22结论16.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.结论17.过椭圆22221(0)x y a b a b左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ；过右焦点的弦)(221x x e a AB .结论18.椭圆内接矩形最大面积：2ab .结论19.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设(1)、过1F 的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c；②2cos ab AB a c２２２２(2)、若椭圆方程为22221(0)x y a b a b，半焦距为c ，焦点 12,0,,0F c F c ，设过F ２的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c２２＋－；②22cos ab AB a c２２２结论：椭圆过焦点弦长公式： 222cos 2sin ab x a c AB ab y a c２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上结论20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ,则2112amnb二．有关双曲线的经典结论结论21.（1）、与22221x y a b 共轭的双曲线方程为22221x y a b，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e 。
圆锥曲线重点知识点总结
一、椭圆1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 2．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式1PF a ex=+，2PF a ex =-,12,F F 分别为左右焦点3．焦点三角形：P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，则三角形12PF F 的面积S=212tan ;2PF F b ∠•特别地，若12,PF PF ⊥此三角形面积为2b ；4．在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上存在点P ，使12PF PF ⊥的条件是c ≥b,即椭圆的离心率e 的范围是；5．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6．椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=. 二、双曲线7．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.8．双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.9．双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.10．双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.(3双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.11．焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b 值）三、抛物线 12．焦点与半径22(0),(,0),;44(0),(),;44a ay ax a x a aay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y13．焦半径公式抛物线22(0)y px p =>，C 00(,)x y 为抛物线上一点，焦半径02pCF x =+.14．过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.对焦点在y 轴上的抛物线有类似结论。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
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法2：点差法
④焦点弦：抛物线中焦点弦长|AB|
题型四：有关最值问题
①椭圆上的点到焦点的距离的最值
②椭圆焦点三角形面积，顶角的最值
③椭圆上的点到相离直线的距离的最值
方法：设平行线，联立方程，△=0
双曲线上的点到焦点的距离的最值
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
定义
图像
方程
性质
题型一：定义的应用
题型二：求标准方程
待定系数法:注意先确定焦点位置，无法确定需讨论（注意：双曲线中已知渐近线设方程的方法，等轴双曲线方程的设法）
题型三：与直线的相关问题
①判断交点个数：联立方程求公共解（双曲线或抛物线与直线方程联立消元后，注意二次项系数是否为零）
①抛物线上的点到焦点的距离的最值
②利用抛物线的定义求最值
③抛物线上的点到相离直线的距离的最值
方法1：设平行线，联立方程，△=0
方法2：设点，求距离d的最值