课时跟踪检测(四)

第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研专题一 函数与导数第二讲 基本初等函数、函数与方程 课时跟踪检测(四) 基本初等函数、函数与方程一、选择题1．(2019·河北监测)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 因为c ＝5－12＝15<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，a ＝log 32>log 33＝12，所以c <a <b ，故选C ．2．(2019·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间(－1,0)上，故选B ．3．(2019·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0，可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0，可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D ．4．(2019·安徽省第二次联考)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－a 的图象经过一、二、四象限，则f (a )的取值范围为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1C ．(－1,1)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选B 依题意可得f (0)＝1－a ，则0<1－a <1，解得0<a <1，所以f (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －a .设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x ，x ∈(0,1)，则g (x )在(0,1)上为减函数，故f (a )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.故选B ． 5．若a ＝2x ，b ＝log 12x ，则“a >b ”是“x >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 如图，x ＝x 0时，a ＝b ，∴若a >b ，则得到x >x 0，且x 0<1，∴a >b 不一定得到x >1，充分性不成立；若x >1，则由图象得到a >b ，必要性成立，∴“a >b ”是“x >1”的必要不充分条件．故选B ．6．(2019·广东省广州市高三测试)已知函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则a 的值为( )A ．2B ． 5C ．55D ．5或55解析：选D 因为y ＝x 2＋x －1在[1,2]上单调递增，所以函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值与最小值是f (1)或f (2)．因为函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，所以|f (1)－f (2)|＝2，即|log a 5|＝2，解得a ＝5或55，故选D ．7．(2019·辽宁五校联考)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )解析：选D 由选项中的图象得f (0)＝0，所以log a b ＝0，所以b ＝1，所以f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)．因为u (x )＝x ＋x 2＋1>0，且u (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a >1.因为g (x )＝log a ||x |－1|，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a |x －1|，x ∈[0，1)∪(1，＋∞)，log a |x ＋1|，x ∈(－∞，－1)∪(－1，0).因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1＝log a 12<0，所以排除A 、C ；g (5)＝log a |5－1|＝log a 4>0，排除B ，选D ．8．(2019·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·e x ，x ≤0，－ln x ，x >0，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程f [f (x )]＝0有且只有一个实数解， 则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 由f [f (x )]＝0得f (x )＝1，作出函数f (x )的图象，如图所示，当a <0,0<a <1时，直线y ＝1与函数f (x )的图象有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B ．10．(2019·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4，对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2解析：选D 作出函数y 1＝f (x －2)＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)；当1<x ≤4时，y 1＝e |x －2|<g (x )＝e x ；当x >4时，由e x －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2.因为m >1，所以1<m ≤72＋ln 2.故选D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D ．12．(2019·福州四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x <1，若F (x )＝f [f (x )＋1]＋m 有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是( )A ．[4－2ln 2，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(－∞，4－2ln 2]D ．(－∞，e)解析：选D 因为函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x <1，所以F (x )＝⎩⎨⎧ln (ln x ＋1)＋m ，x ≥1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋m ，x <1，由F (x )＝0得，x 1＝ee －m －1，x 2＝4－2e －m ，由⎩⎨⎧x 1≥1，x 2<1得m <ln 23，设t ＝e －m ，则t >32，所以x 1·x 2＝2e t －1(2－t )，设g (t )＝2e t －1(2－t )，则g ′(t )＝2et －1(1－t )，因为t >32，所以g ′(t )＝2e t －1(1－t )<0，即函数g (t )＝2e t －1(2－t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，所以g (t )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e ，故选D ．二、填空题13．(2019·昆明模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x －1)，x >1，x 3－3x ＋1，x ≤1，则函数f (x )的零点个数为________．解析：当x >1时，令f (x )＝0，则log 2(x －1)＝0，得x －1＝1，即x ＝2，满足题意；当x ≤1时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，则x ＝±1.当x <－1时，f ′(x )>0.f (x )是增函数，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，所以当x ＝－1时，f (x )有极大值，为3.又f (－2)＝－1，f (1)＝－1，所以函数f (x )在(－2，－1)，(－1,1)上各有1个零点．综上，函数f (x )有3个零点．答案：314．(2019·绵阳诊断)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：615．(易错题)若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．解析：当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，故f (x )max ＝f (0)＝a 0－1＝0，这与已知条件函数f (x )的值域是[0,2]相矛盾；当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，又函数f (x )的定义域和值域都是[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (2)＝a 2－1＝2，a >1，解得a ＝ 3.答案： 316．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是__________________．解析：画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0<a <1.答案：(0,1)。