Matlab插值绘图

x
O
将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次 简记为： f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4
24
分两片的函数表达式如下：
第一片(下三角形区域)： (x, y)满足
插值函数为： f ( x, y) f1 (f 2 f1 )( x x i ) (f 3 f 2 )( y y j )
称为拉格朗日插值基函数。
6
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地: 两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 L2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
网格节点数据的插值 散点数据的插值
返回
3
一维插值的提法
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
*
y1 y0
y
*





节点可视为由 y g ( x) 产生,

收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑

三次样条插值:(*)

曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
返回
16
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
y

a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的 k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次 的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值 就是一个很好的例子。
13
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
-4
-2
0
2
4
6
-4
-2
0
2
4
6
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 n=20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 n=40 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6
返 回
-4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
6
12
三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
g 表达式复杂,
或无封闭形式, 或未知。
4
x0 x1 x
*
xn
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即 再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
* *
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
y1 y0
y
*


1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
si ( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的， 并且xi不能够 超过x的范围。
17
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X Y
第二片(上三角形区域)：(x, y)满足 y j1 y j y (x x i ) y i x i 1 x i 插值函数为： f ( x, y) f1 (f 4 f1 )( y y j ) (f 3 f 4 )( x x i )
注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区 域内。显然，分片线性插值函数是连续的； 返回 25
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件）
2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
lim S ( x) g ( x)
n
g(x)为被插值函数。
14
例
1 g ( x) , 6 x 6 2 1 x
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
返回
8
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 n=8 -1 -1.5 -5 0 5
9
n=10 y=1/(1+x 2) n=4 n=2
n=6
分段线性插值
y o
Ln ( x ) y j l j ( x )
j 0 n


xj-1 xj xj+1 xn x
x0
x x j 1 , x j 1 x x j x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 x j x j 1 , y1 ) ( x2 , y1 )



O
x
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
返回
23
分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1) (xi, yj) (xi+1, yj)
To MATLAB ych(larg1)
用 三次样条插值 ，选取11个基点计算插值(ych)
返回
0.1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
15
三种插值的比较
拉格朗日插值（高次多项式插值）：

曲线光滑；误差估计有表达式 收敛性不能保证（振荡现象） 用于理论分析，实际意义不大

分段线性插值：
27
例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
双线性插值
y

( x1 , y 2 )
( x2 , y2 )




( x1 , y 1 ) ( x2 , y1 )



O
x
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d) 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形 的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个 代数方程，正好确定四个系数。
计算量与n无关;
n越大，误差越小.
lim Ln ( x) g ( x), x0 x xn
n
10
例
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1 g ( x) , 6 x 6 2 1 x
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11)
2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12)
返回
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用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量， y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。



x0 x1 x*
xn
返回
5
拉格朗日(Lagrange)插值
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
28
再输入以下命令: