(完整版)趣味数学-幻方
三年级趣味数学奥数《幻方》罗伯法
4
例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4
5
例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 6 5
例3. 请编出一个三阶幻方，使其幻和是24。
中间数：24÷3＝8 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 12
2
3
9
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使 每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
17 5 4 11 1 6 13 8 15 7 14 16
10 12
2
3
9
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使 每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
17 5 4 1 6 13 8 15 7 14 16
跟踪训练：请把2~10九个数字填入下图中， 要求每行、每列和每条对角线上三个数的和 都要等于18。
“罗伯法“
9 4 5 2 6 10 7 8 3
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使 每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
思维跳板：用 1 至 25 个数排成五行五列，使 每行、每列和对角线上五数之和为65。
“罗伯法“
1 3 4 2
例2.请把1~9九个数字填入下图中，要求每行 、每列和每条对角线上三个数的和都要等于 15。
“罗伯法“
1 3 4 5 2
例2.请把1~9九个数字填入下图中，要求每行 、每列和每条对角线上三个数的和都要等于 15。
“罗伯法“
自下放
1 3 4 5
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)
三年级趣味数学（8）九宫格与阵班级姓名1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。
1+5+9=15）１＋５＋９＝１５ ２＋４＋９＝１５ ３＋４＋８＝１５ １＋６＋８＝１５ ２＋５＋８＝１５ ３＋５＋７＝１５ ２＋６＋７＝１５ ４＋５＋６＝１５3.探索三阶幻方的特点（1）对角线上三个数之间有什么关系？（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？ （3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？ （4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。
4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。
２ ９ ４ ７ ５ ３ ６ １ ８６ ７ ２ １ ５ ９ ８ ３ ４８ １ ６ ３ ５ ７ ４ ９ ２４ ３ ８ ９ ５ １ ２ ７ ６ ６ １ ８ ７ ５ ３ ２ ９ ４2 7 6 9 5 1 43 87 22 13 22 16 10 19 4 257 8 12 14 9 4 6 10 1110 21 8 11 13 15 18 5 165.九宫阵（俗称数独）。
将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。
每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。
13 15 108 11541057 4 13 981 6 92 3 68 2 95 7 46 47 23 1 982 7 1 68 4 532 5 9 7 3165 7342 48 9 1 73 9 16 8 2 4287 9 81 2 54 96 325 68 5 7 6 41 37 5 9294 8 7 637 1 56 5 3 14 298 5 67 74 1 3 9 8 2 56 52 3147 89。
趣味数学061：一些特殊的幻方
一些特殊的幻方由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。
对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。
这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。
一、间隔幻方1 35 24 54 43 9 62 326 40 19 49 48 14 57 2747 13 58 28 5 39 20 5044 10 61 31 2 36 23 5322 56 3 33 64 30 41 1117 51 8 38 59 25 46 1660 26 45 15 18 52 7 3763 29 42 12 21 55 4 34这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。
如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方：1 24 43 62 35 54 9 3247 58 5 20 13 28 39 5022 3 64 41 56 33 30 1160 45 18 7 26 15 52 37它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。
所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。
16 41 36 5 27 62 55 1826 63 54 19 13 44 33 81 40 45 12 22 51 58 3123 50 59 30 4 37 48 938 3 10 47 49 24 29 6052 21 32 57 39 2 11 4643 14 7 34 64 25 20 5361 28 17 56 42 15 6 35这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。
三、双料幻方46 81 117 102 15 76 200 20319 60 232 175 54 69 153 78216 161 17 52 171 90 58 75135 114 50 87 184 189 13 68150 261 45 38 91 136 92 27119 104 108 23 174 225 57 30116 25 133 120 51 26 162 20739 34 138 243 100 29 105 152这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。
趣味数学课件-幻方
神龟背洛书
神龟背洛书
在公元前23世纪，大 禹治水的时侯，在黄 河支流洛水中，有一 天忽然浮现出一个大 乌龟，当时，大禹与 治水士兵正在河 边观
察洛河水情，商议治理黄河大计，遇 到乌龟在河里上下翻腾十分奇怪。只 见此龟行走水面，游来游去，身形庞 大，甲背平圆。近处仔细观看，
甲背上有9种花点的图案， 大禹让士兵们将图案中的 花点记了下来，带回去作 了认真的研究,他惊奇地 发现9种花点数正巧是， 1—9这9个数，各数的位置排列也相 当奇巧，各线上三数之和皆为15， 既均衡又对称，奇偶交替变化之中似 有一种周转运动之妙，大禹受到启发 ，用此原理治理黄河，获得成功。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁 才第一次提起幻方。我国不仅拥用 幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数 学家杨辉已经编制出3－10阶幻方， 记载在他1275年写的《续古摘厅算 法》一书中。在欧洲，直到574年， 德国著名画家丢功才绘制出了完整 的4阶幻方。
一般地, 将1,2,3...n 2填入到一个n n的表格中 使得 , 每行, 列以及两对角线上的 个数字之和相等 称这 n , 样数表为n阶幻方.
26 21 22 7 12 13 111
19 23 27 10 14 18 111
24 25 20 15 16 11 111
84 84 84 138 138 138
六阶幻方填法
35 3 31 8 30 4 111 35 4 1 32 9 28 5 36 111 32 5 6 7 2 33 34 29 111 2 33 26 21 22 17 12 13 111 17 22 19 23 27 10 14 18 111 14 23 24 25 20 15 16 11 111 11 24 111 111 111 111 111 111 111 111
(完整版)趣味数学119：幻方的故事
幻方的故事前面，在“《射雕英雄传》里的数学故事”一文中，曾经谈到了“洛书”，它有三行三列，每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。
后来，人们逐步把具有类似性质的数阵扩展到四行四列、五行五列……通称为“纵横图”。
宋代数学家杨辉对纵横图做了深入的研究，取得了辉煌的成就，并且打破常规，把幻方从正方形推广到多边形和圆。
15世纪，西方数学家摩索普拉把我国的纵横图介绍到欧洲，并取名为“魔幻正方形”简称“幻方”。
“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。
由于幻方有着变幻莫测的性质，所以幻方一词逐渐为大众所接受。
占星家还将其作为护身符，至今仍有许多印度少女把“洛书”佩在胸前。
下面这个幻方被称为“魔鬼幻方”，因为它除了每行、每列、每条对角线上四个数的和相等以外，四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和竟然也都相等, 真是妙不可言！现存欧洲最古老的幻方，是公元1514年德国画家丢勒在他著名的铜板画《忧郁》上刻的图. 有趣的是，他还把创作年份1514也塞了进去。
下图是印度太苏神庙石碑上的幻方，刻于十一世纪。
这个幻方也是一个魔鬼幻方。
更为奇特的是。
如果把幻方边上的行或列，挪到另一边去，所得到的仍是幻方。
一百年前的1910年，一位叫阿当斯的青年人，对六角幻方产生了浓厚兴趣。
他先去填简单的一层六角幻方（每边两个数），没有成功。
经过研究，这种幻方是不存在的。
于是，阿当斯便将精力集中在两层的六角幻方上（每边3个数）。
他趁着在铁路公司阅览室当职员之便，利用一些空闲时间，去摆弄从1到19这19个数。
冬去春来，度过了漫长的47个年头。
经过了无数次的挫折、失败，使他由一个英俊少年，变成了白发苍苍的老头，但是他仍然不甘心失败，这就是兴趣的魔力。
1957年的一天，病中的阿当斯，在病床上无意中将六角幻方排列成功了。
他惊喜万分，连忙找纸记录下来，了却了他多年的宿愿。
几天后，他病愈出院。
到家后却不幸地发现，他填的宝图不见了。
三年级上册趣味数学(8)幻方(九宫格九宫阵)ys
三年级趣味数学（8）
九宫格与阵
班级姓名
1.在1——9这九个数中，取其中3个不同的数相加，使和为15，你能写出哪些三组数？（例如1，5,9。
1+5+9=15）
2.如右图把一个正方形划分为3行3列9个方格，我们俗称“九宫
格”。
每个方格填一个数，使横行、数列以及对角线上三个数的和相
等。
这样的九宫格成为三阶幻方。
把上面的1——9这九个数填入格子中，使横行、数列以及对角线上
三个数相加的和为15，怎样填呢？
3.探索三阶幻方的特点
（1）对角线上三个数之间有什么关系？
（2）“十”字形中纵列或横行三个数之间有什么关系？（3）中宫数（最中间的数）与九个数之间有什么关系？（4）研究特殊的等腰三角形数之间的关系。
4.利用掌握三阶幻方的特点制作三阶幻方。
5.九宫阵（俗称数独）。
将1——9这九个数填入每行、每列、每个九宫格的小方格内。
每个数字在每行、每列、每个九宫格内只能出现一次。
趣味数学108：富兰克林幻方
这里再给网友介绍一个特殊幻方。
下面这个幻方叫“富兰克林幻方”，是由美国一位幻方爱好者富兰克林制作的。
他曾经说过：“在我年轻的日子里，我一有空暇，总是以制作幻方自娱。
”“富兰克林幻方”不仅具有一般幻方的性质，每行、每列、每条对角线上8个数的和都是260，而且还有一些奇异的特性：1、每半行的和都是130。
如，52＋61＋4＋13＝130，20＋29＋36＋45＝130；2、每半列的和都是130。
如，52＋14＋53＋11＝130，55＋9＋50＋16＝130；3、由粗线分成的4个正方形中，角上4个数加上中心4个数和都是260。
如，52＋13＋54＋11＋3＋62＋5＋60＝260；4、由粗线分成的4个正方形中，角上4个数的和、中心4个数和都是130。
如，52＋13＋54＋11＝130，3＋62＋5＋60＝130；5、由任意4个小方格组成的正方形中，4个数的和都是130。
如52＋61＋14＋3＝130，3＋62＋60＋5＝130，54＋43＋10＋23＝130；6、“人”字形斜线上8个数的和都是260。
如，11＋60＋62＋13＋20＋35＋37＋22＝260；7、接成的“人”字形斜线上8个数的和都是260。
如，52＋1＋2＋56＋41＋31＋32＋45＝260。
14＋61＋64＋15＋18＋33＋36＋19＝260，53＋3＋4＋49＋48＋29＋30＋44＝260。
此外，幻方中的数看似杂乱无章，其实，如果把这些数从1到64依次用直线连接起来，如下图：还是很有规律的，呈现出一种复杂的对称关系，也实属意外。
一个幻方里，竟然蕴含了这么多美妙之处，想当初，富兰克林先生一定为此耗费了不少心血。
我国是幻方的发祥地，富兰克林先生如此热爱中华文化，让我们向这位外国友人致敬！。
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13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
对角线和=34
=40 =36 =32 =28
少6 少2 多2 多6
根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个魔中师心, 点 4个我数可和是= 3有4 魔法的
现在我们来指引 24.个数每数字中你列和2心们的和=点去数334与相字把谁对每和关行相于等
3.数字5和9谁关于 中心点相对
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
归位
5：如何填幻方（幻方的构成） 2）三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
49 2 35 7 8 16
49 2 35 7 8 16
357+753= 1100 951+159= 1100
456+654= 1100 852+258= 11700
6）每列每行每一条对角线上看成的三位数 和它逆转之后的三位数之和相等。
（7）幻和=九个数之和÷3， （8）中间数=幻和÷3. （9）C=(A+B)÷2 （如右图）
探究一
龟背上的这些数填到表格中，你能发现什么？
49 2 35 7 8 16
每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点?
1、幻方的定义（三阶8+5幻+2=方15 ）
49 2
35 7
8 16
49 2 35 7 +8 +1 +6 15 15 15
4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15
276+951+438= 1665 672+159+834= 1665
2762+9512+4382= 1172421 6722+1592+8342= 1172421
4）每列看成的三位数和 =它逆转之后的三位数。
5）每列看成的三位数的平方和 =它逆转之后的三位数平方和
行也成立
3、探究幻方的规律（3）：
1 83
1、利用每一行，每一列，每一条对角线上的 三个数的和相等的特点。
3，如果幻方的和全是15，看谁填得又对又快：
81 6 57 2
83 5
67 2
2、幻方的分类
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
49 2 35 7 8 16
4、如何改变幻方：
改变数的位置还有可能满足上述规律吗？
4 92 357 816
8 16 357 492
2 94 753 618
6 18 753 294
上下换 左右换 上下左右换
4、探究改变幻方的规律： 共有8种：
4 92 357 816
83
59 2
618 7 53 2 94
它就是对称交换法
每行每列斜着的三个数的和是否都相等，来判断是不是幻方。
2、填幻方：
1）这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮它 找出来吗？
92
4 3
5
7
81 6
1、利用每一行，每一列，每一条对角线上的 三个数的和相等的特点。
4、填幻方： 2）看！又来了一只龟爷爷，背上的图案缺得 更多了，请你帮帮它好吗？
72 9
（1）先算幻和： 幻和=（1+2+…+16）÷4= 34
三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4
原理与步骤：（1 ）幻和=34 （2）分析列表
1 2 3 4 第一行和=10 少了24
5 6 7 8 第二行和=26 少了8
9 10 11 12 第三行和=42 多了8
4+5+6=15
每行、每列、对角线上的三个数的和都相等的方格，叫 “幻方”。这个相等的和叫三阶幻方的幻和。
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
20 2 6 7 15 8 4 3 15
15 8 1 6 15 3 5 7 15
9 1 5 15
4 9 2 15
19 11 15 11 不是
15 15 15 15 是
耆那幻方。
耆那幻方：
是在印度耆那教寺庙门前一块石牌上刻的，是12 －13世纪的产物。它的任何2×2的方块内的4个数 字和也是34。
5：如何编幻方（幻方的构成）
四阶幻方构成方法
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
原理与步骤：
1 2 34 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1、初步认识1〜9的幻方。 2、通过尝试、调整数据，探究幻
方的关系。 3、培养学生对中国古代数学文化
的兴趣。
故事引入：
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝 夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一 只大乌龟，背上有奇特的图案。
龟背上的图案是 什么意思呢？
龟背上的图案代表了几个不同的数，人们称它为“书”。
27 6 951 438
8 16 357 4926 2 159 8342 94 753 618
4 38 753 276
将幻方围绕中心，向右旋转90度一次、二次、三次
向右旋转90度一次、二次、三次后将幻方上下对换。
5：如何编幻方（幻方的构成）
1）三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
9
9
3
7
1
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
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1997年美国佬发射 了两个宇宙飞船， 在飞船上为了向外 星人展示人类的文 明，科学家就选择 了一张四阶幻图--