江苏省无锡市2021届高三上学期期中调研考试数学试题
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．复数z ＝i(﹣1﹣2i)的共轭复数为
A ．2﹣i
B ．2＋i
C ．﹣2＋i
D ．﹣2﹣i
2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝
A ．{1}
B ．(0，1]
C ．[0，1]
D ．(-∞，1]
3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为
A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
4．已知函数1, 1
()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为
A ．2
B ．1
C ．94
D ．14
5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为
A ．24
B ．﹣24
C ．110
D ．﹣110
6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为
A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
7．若cos(15°＋α)sin(60°﹣2α)＝
A ．9
B ．9±
C ．59
D ．59
- 8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如
下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论定是
A ．函数()f x 的图象过点(2，1)
B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值
C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]
D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列结论正确的有
A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2
B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”
C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题
D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期
内的图象如图所示，则
A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8
f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58
x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8
k ππ-，0)，k ∈Z D ．函数7()8
y f x π=+是偶函数 第10题 11．已知数列{}n a 满足0n a >，
121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等
人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非 空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有
A ．(sin )cos 2f x x =
B ．(sin )f x x =
C ．(1)f x x -=
D ．2(2)1f x x x +=+
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两
动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．
14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++
＝ ． 第13题
15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98
π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．
16．已知函数3ln , 1(), 1
x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx =-，当k ＝﹣2e 2时，有0()0g x =，
则0x ＝ ；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝1
3AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23
BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；
（2）若EF ⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．
18．（本小题满分12分）
如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把△ABC 沿AC 翻折到△AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ．
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值；
（2）求△ADP 面积的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣
6π)＝14． （1）求∠BAC 的值；
（2）若A ，sinB ＝7
，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．
20．（本小题满分12分）
定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：①()()0f x f x -+=，②(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．
（1）判别函数33221()e
e x x
f x -+=-，2()cos()32
x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；
（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+． （1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）若不等式2
(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)．
（1）讨论()f x 的极值；
（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2
()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 或C （错题）
9．BD 10．BD 11．BC 12．AD
13．8 14．9216 15．(54π，118π) 16．0，1e
17．
18．
19．
20．
21．
22．。
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江苏省无锡市普通高中2021—2021上学期高三期中调研考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．函数()f x =的定义域为 ．答案：[1，+∞) 考点：函数的定义域解析：∵x ﹣1≥0，∴x ≥1，故函数()f x =[1，+∞)．2．已知向量a ＝(2，﹣3)与向量b ＝(x ，﹣6)共线，则x ＝ ． 答案：4考点：平行（共线）向量的坐标表示解析：∵向量a ＝(2，﹣3)与向量b ＝(x ，﹣6)共线， ∴2×(﹣6)﹣(﹣3)x ＝0，解得x ＝4．3．若角α的终边过点(﹣1，2)，则tan α＝ ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：∵角α的终边过点(﹣1，2)， ∴tan α＝21-＝﹣2． 4．在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a ＝ ． 答案：﹣81考点：等比数列的通项公式，等比数列的性质解析：∵数列{}n a 是等比数列，且11a =-，427a =， ∴34127271a q a ===--，解得q ＝﹣3， ∴5427(3)81a a q ==⨯-=-．5．已知集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，若A B 中恰好含有一个整数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣1考点：集合的交集解析：∵集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，且AB≠∅，∴AB ＝{}3|x x a a Z -<<∈，，∵A B 中恰好含有一个整数，显然这个整数是﹣2， ∴实数a 的值为﹣1．6．函数2sin y x x =-在区间[0，π]的单调递增区间为 ．答案：[3π，π]（本题如果写开区间也算对） 考点：利用导数研究函数的单调性解析：∵2sin y x x =-，∴12cos y x '=-，列表如下：由表格可知，原函数在区间[0，π]的单调递增区间为[3π，π]． 7．偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且满足(2)(1)f x f x >+，则x 的取值范围为 ． 答案：(13-，1) 考点：函数的单调性与奇偶性的综合解析：∵偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且(2)(1)f x f x >+， ∴21x x <+，两边同时平方并化简得：23210x x --<，解得113x -<<，故x 的取值范围为(13-，1)．8．函数()cos xf x e x =在点(0，(0)f )处的切线方程为 ． 答案：10x y -+=考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()cos xf x e x =，∴()(cos sin )xf x e x x '=-， ∴(0)1f =，(0)1k f '==，故切线为：1y x -=，即10x y -+=． 9．已知sin 3cos 0αα+=，则sin2α＝ ． 答案：35-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵sin 3cos 0αα+=， ∴tan α＝﹣3， ∴sin2α＝2222sin cos 2tan 63sin cos tan 1915αααααα-===-+++． 10．若函数()sin()f x x ωϕ=+，(ω＞0，2πϕ<)的图象关于点A(n ，0)中心对称，也关于直线：x ＝m 对称，且m n -的最小值为4π．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象过点(6π，12)，则()4f π＝ ．答案：2考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意可知244ππω=⨯，解得ω＝2，∴()sin(2)f x x ϕ=+，∵函数()f x 的图象过点(6π，12)， ∴1sin(2)26πϕ=⨯+，∵2πϕ<，即22ππϕ-<<∴5636πππϕ-<+<，故36ππϕ+=，6πϕ=-，则()sin(2)6f x x π=-，故()sin(2)446f πππ=⨯-= 11．家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元．那么厂方获得的最大利润是 元．答案：10000 考点：线性规划解析：设生产x 升甲种饮料，y 升乙种饮料，则312000421110004200x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，设该厂获得的利润z ＝3x ＋4y ，画出可行域，如图：当直线z ＝3x ＋4y 经过点(2000，1000)时， z 的值最大，即z ＝3×2000＋4×1000 ＝10000．12．在直角△ABC 中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知△ABC 的面积为2，则AM AN⋅的最小值为 ． 答案：169考点：平面向量数量积，基本不等式 解析：如图建立直角坐标系：B(c ，0)，C(0，b )，则N(23c ，13b )，M(13c ，23b )， ∵△ABC 的面积为2，则bc ＝4， AM ＝(13c ，23b )，AN ＝(23c ，13b )， ∴AM AN ⋅＝(13c ，23b )·(23c ，13b )＝222221629999c b bc +≥⋅=， 当且仅当b ＝c 时取“＝”．13．若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，n b ∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为q (q ＜1)的等比数列，则q ＝ ．答案：23-考点：等比数列解析：∵21n n b a =-，∴12n n b a +=，∵n b ∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}， ∴n a ∈{﹣12，﹣4，﹣3，8，18}，∵集合内恰有三个正数，两个负数， ∴成等比数列的三个数不可能三个都是正数，而三个负数又不成等比数列 故这三个数中1正2负或2正1负，∵集合中不存在两个负数的积为82，182，∴不可能是1正2负； 故这三个成等比数列的数是2正1负， 由q ＜1，q ＜0，284189q ==，解得23q =-．14．已知函数22212()log (2)2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，，，1(1)4f x a x ++=恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为 ．答案：(0，1) 考点：函数零点 解析：令114x t x++=，由对勾函数性质可知， t ＜0时两解，t ＝0时一解，0＜t ＜2时无解，t ＝2时一解，t ＞2时两解 画出()f x 图像，由图可知，关于t 的方程()f t a =的解的情况如下： a ≤0时两解，不成立，0＜a ＜1时三解，10t <，2323t t <<<，成立，a ＝1时，10t =，22t =，394t =，46t =，不成立， 1＜a ＜2时四解，12340123t t t t <<<<<<<，不成立，a ＝2时三解11t =，2323t t <<<，不成立，a ＞2时两解，不成立．故实数a 的取值范围为(0，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 1的中点，点F 为A 1D 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：AA 1⊥EF ．16．（本题满分14分）如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．（1）设M(0，1)，N(1，0)，求OM ON ⋅的值； （2）若12OP 32e e =+，计算OP 的大小．17．（本题满分15分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC于D，点D在边BC上（不与端点重合），且AD＝12 BC．（1）若∠BAC＝60°，求sinBsinC的值；（2）求b cc b的取值范围．18．（本题满分15分）为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角△ABC斜边AC的中点F处，乙站在B处，丙站在C处．游戏开始，甲不动，乙、丙分别以v(m/s)和v2(m/s)的速度同时出发，匀速跑向终点A和B．运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的△DEF．（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且0＜v≤3(m/s)）．已知AB长为40m，BC长为80m，记经过t(s)后△DEF的面积为S(m2)．（1）求S关于t的函数表达式，并求出t的取值范围；（2）当游戏进行到10s时，体育教师宣布停止，求此时S(m2)的最小值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，当n ≥2时，满足11(2)n n nS nS n S -=+-．（1）求证：2132a a a =+； （2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）若12a =-，公差d N *∈，问是否存在n ，d ，使得n S ＝15？如果存在，求出所有满足条件的n ，d ，如果不存在，请说明理由．20．（本题满分16分） 设函数2(1)()x e x bf x x -+=．（1）当b ＝0时，求函数()y f x =的单调区间；（2）当b ∈[0，1)，x ∈(0，2]时，记函数()y f x =的最小值为()h b ，求()h b 的最大值．。
江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题
启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数 学 试 卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝ ． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝ ．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为 ．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为 ；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点． 设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足 ．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。
江苏省徐州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
2021~2022学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝x－1}，则A∪B＝A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若复数z满足z1－i＝2i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门．若某同学从中选3门，要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法种数共有A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．若(x －a x)8的二项展开式中x 6的系数是－16，则实数a 的值是A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D6．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X 服从正态分布N (60，102)，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数约为(附：若随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.9545，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)≈0.9973)A ．12B ．23C ．46D ．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A (a ，b )，B (c ，d )，且sin θ＋3cos θ＝0，若a ＋c ＝－1，1b ＋4d的最小值为A ．83B ．3C ．103D ．4【答案】B8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝(13)n ＋1－b ，数列{(ab )n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是A ．－3B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三(上)期初数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三（上）期初数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N|2<x<6}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=()A. {x|3≤x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4，5}2.在复平面内，复数1+i2−i(i为虚数单位)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“m=1”是“直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数y=ln|x|+cosx的大致图象是()A. B.C. D.5.F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为()A. 7B. 74C. 72D. 7√526.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−52)其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 65C. 66D. 697.设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若A nB n =12n+1，则a7b3=()A. 19B. 12763C. 43D. 13128.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，2√2为半径的球面与平面A1B1C1D1的交线长为()A. π2B. √2π2C. √2πD. π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在(1+x2)(2+x)4的展开式中()A. x3的系数为40B. x3的系数为32C. 常数项为16D. 常数项为810.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴交于点A，B，若|OB|=7|OA|，图象的一个最高点D(43,23)，则下列说法正确的是()A. φ=−π4B. f(x)的最小正周期为4C. f(x)一个单调增区间为(−23,4 3 )D. f(x)图象的一个对称中心为(−53,0)11.已知2x=3，3y=4，则()A. x<32B. xy=2C. x>yD. x+y>2√212.我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有()A. 正方体的棱切球的半径为√2B. 正四面体的棱切球的表面积为π2C. 等长正六棱柱的棱切球的体积为4π3D. 等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为7π12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为______．14.化简：1cos80∘−√3sin80°=______．+x−1存在λ(λ∈N∗)个零点，则所有这些零点的和15.若函数f(x)=a(x−1)3+bx−1等于．16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.例如二进制数1011表示十进制数1×23+0×22+1×21+ 1=11，现有五个二进制数101，1100，11001，10111，111111，其中十进制为偶数的是______ ；从中随机选取两个数，它们的和不大于35(十进制)的概率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在①c(cosA+sinA)=b，②csinB+bcosC=√2b，③sinB+tanCcosB=√2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知______，c=√2，cosB=3．5(1)求cos A的值；(2)求△ABC的面积．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=2a3，S4=2a4+4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n+2，设数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<2．2n S n19. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如下表：(1)求出y 与x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x −，σ2近似为样本方差s 2，求P(3.8<X <13.4)．附：①回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i y i )−nxy −∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −． ②√10≈3.2，√3.2≈1.8.若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测： 方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．(1)求这两种方案检测次数相同的概率；(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(√3,√62),P2(0,√2)，P3(1,√62),P4(1,−√62)中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程：(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，D为x轴上一点，是否存在实数k，使得△ABD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k值及点D的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=e2x−(a+2)e x+ax(a>0)，其中e≈2.71828是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+(a+2)e x−ax(1+x)在(0,+∞)上存在极大值M，证明：M<a4．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={3,4，5}，B={x|0<x−1<4}={x|1<x<5}，∴A∩B={3,4}．故选：C．2.【答案】A【解析】解：∵复数1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，故选：A．根据两个复数代数形式的除法法则化简复数1+i2−i 为15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，从而得出结论本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m=1，则直线x+y=1和直线x−y=1互相垂直，是充分条件；若直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A．根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了直线垂直的性质，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=ln|x|+cosx ，其定义域为{x|x ≠0}， 则f(−x)=ln|x|+cosx =f(x)，y =ln|x|+cosx 为偶函数，排除BD ， 在区间(e,+∞)上，lnx >1，−1≤cosx ≤1，则f(x)>0，排除A ， 故选：C ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD ，再分析区间(e,+∞)上，f(x)的符号，排除A ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可得a =3，b =√7，c =√2，故F 1 F 2=2√2，AF 1+AF 2=6，AF 2=6−AF 1，∵AF 22=AF 12+F 1F 22−2AF 1⋅F 1F 2cos45°=AF 12−4AF 1+8，∴(6−AF 1)2=AF 12−4AF 1+8，AF 1=72，故三角形AF 1F 2的面积S =12×72×2√2×√22=72．求出F 1F 2的长度，由椭圆的定义可得AF 2=6−AF 1，由余弦定理求得AF 1=72，从而求得三角形AF 1F 2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF 1的值，是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：由已知可得K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解得e −0.23(t−52)=119， 两边取对数有−0.23(t −52)=−ln19≈−3， 解得t ≈65， 故选：B ．由已知可得方程K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解出t 即可．本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，分别令n =1,2,3得出a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3之间的关系，求出公比q ，t 即可求出a 7b 3的值． 【解答】解：设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，A nB n=12n +1，∴令n =1可得a1b 1=12+1=13，即b 1=3a 1;令n =2可得a 1+a 2b1+b 2=15，即b 2=5a 1+5a 2−b 1=2a 1+5a 2; 令n =3可得a 1+a 2+a 3b1+b 2+b 3=19，即b 3=9(a 1+a 2+a 3)−b 1−b 2=4a 1+4a 2+9a 3；由b 22=b 1b 3可得(2a 1+5a 2)2=3a 1(4a 1+4a 2+9a 3)，由a 22=a 1a 3化简得a 22−4a 1a 2+4a 12=(a 2−2a 1)2=0，即a 2=2a 1，所以q =a2a 1=2，所以b 1=3a 1,b 2=12a 1,b 3=48a 1，所以t =b2b 1=4，∴a 7b 3=a 1q 6b 1t 2=13⋅2642=43，故选C ．8.【答案】D【解析】解：由题意知AB 1=AD 1=√22+22=2√2，如图，在平面A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，使A 1P =2，则AP =√AA 12+A 1P 2=2√2，故以A 为球心，2√2为半径的球面与平面A 1B 1C 1D 1的交线是以A 1为圆心，以2为半径的圆弧B 1PD 1，故该交线长为π2×2=π．故选：D ．根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求解结论．本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】AC【解析】解：(2+x)4的通项公式T k+1=C 4k 24−k x k ，则x 3的项为1×C 43×2x 3+x 2⋅C 41×23x =40x 3，则x 3的系数为40，故A 正确，B 错误， 常数项为1×24=16，故C 正确，D 错误， 故选：AC ．求出二项式的通项公式，根据多项式乘积的性质进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的性质是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为图象的一个最高点D(43,23)， 所以A =23，因为|OB|=7|OA|，所以|AB|=6|OA|， 所以x 0=|AB|2+|OA|=4|OA|=43，所以|OA|=13，|AB|=T2=2，所以T =4， 所以f(x)的最小正周期为4，故B 正确； 由周期公式T =2πω，可得ω=π2， 将点D(43,23)代入f(x)=23sin(π2x +φ)中，可得23sin(π2×43+φ)=23，即sin(2π3+φ)=1， 结合|φ|<π2，可得φ=−π6，故A 错误；因为T2=2，所以43−2=−23，则(−23,43)为f(x)的一个单调增区间，故C 正确； 将x =−53代入f(x)=23sin(π2x −π6)中，可得f(−53)=23sin(−5π6−π6)=0，所以f(x)的一个对称中心为(−53,0)，故D 正确； 故选：BCD ．由题意可求得A ，T ，由周期公式可得ω的值，再将点D 的坐标代入解析式中，即可求得φ，结合三角函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵2x =3，3y =4， ∴x =log 23，y =2log 32，因为9>8，∴32>23，故2log 23>log 223，即2log 23>3， ∴x >32，所以选项A 错误，∵xy =log 23⋅2log 32=2，所以选项B 正确， ∵log 232>log 243>log 343，∴1+log 232>1+log 343，即log 23>log 34，所以选项C 正确，由于B 正确，所以x +y >2√xy =2√2，所以选项D 正确． 故选：BCD ．先把已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12.【答案】BCD【解析】本题考查命题的真假判断与应用，考查多面体棱切球表面积与体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是较难题．由棱切球的定义，分别求出选项ABC 中棱切球的半径，再求表面积与体积判断；对于D ，求出等长正四棱锥的底面与四个侧面内切圆的面积判断． 【解答】解：正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为√22，故A 错误；如图，四面体ABCD 为棱长为1的正四面体，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接EF ，则EF 为其棱切球的直径， BE =CE =√32，则EF =√(√32)2−(12)2=√22，则其棱切球的半径为√24，棱切球的表面积为4π×(√24)2=π2，故B 正确； 如图，为等长正六棱柱，其棱切球的半径为棱锥的棱长1，则其棱切球的体积为4π3×13=4π3，故C 正确；由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为π×(12)2=π4，每一个侧面正三角形的内切圆的半径r 满足32r =12×1×1×√32，则r =√36，四个侧面三角形的内切圆的面积为4×π×(√36)2=π3， 则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为π4+π3=7π12，故选：BCD．13.【答案】8√23π【解析】解：将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2√2，∵球O与正四面体的各棱都相切，∴球O的直径为正方体的棱长2√2，则球O的体积V=43πR3=8√23π．故答案为：8√23π．将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，可得球O的直径为正方体的棱长，再由球的体积公式求解．本题考查球的体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法，属于中档题．14.【答案】4【解析】解：由1cos80∘−√3sin80°=sin80°−√3cos80°sin80°cos80°=2sin(80°−60°)12sin160°=4sin20°sin(180∘−20∘)=4．故答案为4．通分，根据二倍角公式，利用两角和与差的公式求解即可．本题主要考察了二倍角公式，两角和与差的公式的应用，属于基本知识的考查．15.【答案】λ【解析】【分析】本题考查函数零点的判定，考查函数奇偶性的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．判断函数g(x)=ax3+bx +x为奇函数，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，再由对称性求解f(x)的所有零点的和．【解答】解：函数g(x)=ax3+bx+x的定义域为{x|x≠0}，且满足g(−x)=a(−x)3+b−x +(−x)=−(ax3+bx+x)=−g(x)，可得函数g(x)为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，若函数有零点，则必有偶数个零点，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，又f(x)存在λ(λ∈N∗)个零点，则λ为偶数，且以这λ个零点为横坐标的点两两关于点(1,0)对称．∴所有这些零点的和等于λ2×2=λ．故答案为：λ．16.【答案】1100 25【解析】解：根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，101(2)=1×22+0×21+1=5，1100(2)=1×23+1×22+0×20+0=12，同理可得11001(2)=25，10111(2)=23，111111(2)=63，即十进制为偶数的是1100，从5个数中，随机选取两个，总共有C52=10，其中随机选取两个数，它们的和不大于35的共有4种情况，分别为：5和12，5和25，5和23，12和23，则所求的概率为P=410=25，故答案为：1100，25．根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，即可求解，先求出从5个数中，随机选取两个的总数，再求出满足条件的个数，即可求解．本颞主要考查二进制的转换，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．17.【答案】解：若选①：c(cosA +sinA)=b ，由正弦定理得sinCcosA +sinCsinA =sinB ， ∵sinB =sin(A +C)，∴sinCcosA +sinCsinA =sinAcosC +cosAsinC ， ∴sinCsinA =sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴sinC =cosC ， ∴tanC =1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， (1)∵cosB =35，B ∈(0,π)，∴sinB =45，∴cosA =−cos(B +C)=sinBsinC −cosBcosC =45×√22−35×√22=√210．(2)∵A ∈(0,π)，∴sinA =7√210， 由正弦定理得asinA =csinC ，∴a =c⋅sinA sinC=7√25， ∴S △ABC =12acsinB =12×7√25×√2×45=2825．若选②：csinB +bcosC =√2b ，由正弦定理得sinCsinB +sinBcosC =√2sinB ，∵sinB ≠0，∴sinC +cosC =√2，∴√2sin(C +π4)=√2， 即sin(C +π4)=1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， 下面步骤同①．若选③：sinB +tanCcosB =√2sinA ，则sinBcosC +sinCcosB =√2sinAcosC ， ∴sin(B +C)=√2sinAcosC ，∴sinA =√2sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴cosC =√22，∵C ∈(0,π)，∴C =π4，下面步骤同①．【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (1)选择条件①，②，③都求出C =π4，再cosA =−cos(B +C)可求出cos A ， (2)由正弦定理求出a ，再利用三角形的面积公式即可求解．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设可得：{3a 1+3×22d =2(a 1+2d)4a 1+4×32d =2(a 1+3d)+4，解得：a 1=d =2， ∴a n =2+2(n −1)=2n ； (2)由(1)可得：S n =n(2+2n)2=n 2+n ，∴b n =an+22n Sn=2(n+2)2n (n 2+n)=2×[1n⋅2n−1−1(n+1)⋅2n ]， ∴T n =2[(11×20−12×21)+(12×21−13×22)+⋯+(1n ⋅2n−1−1(n +1)⋅2n )]=2[1−1(n+1)⋅2n ]<2．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设列出d 与a 1的方程组，解得d 与a 1，即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得S n 与b n ，再利用裂项相消法求得T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)x −=15×(2+5+8+9+11)=7，y −=15×(12+10+8+8+7)=9． ∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=4+25+64+81+121=295， ∑x i 5i=1y i =24+50+64+72+77=287， ∴b ̂=287−5×7×9295−5×72=−0.56， â=9−(−0.56)×7=12.92． ∴回归方程为：ŷ=−0.56x +12.92． (2)∵b̂=−0.56<0，∴y 与x 之间是负相关． 当x =6时，ŷ=−0.56×6+12.92=9.56． ∴该店当日的营业额约为9.56千元．(3)样本方差s 2=15×[25+4+1+4+16]=10， ∴最低气温X ～N(7,10)，∴P(3.8<X <10.2)=0.6826，P(0,6<X <13.4)=0.9544， ∴P(10.2<X <13.4)=12(0.9544−0.6826)=0.1359．∴P(3.8<X <13.4)=P(3.8<X <10.2)+P(10.2<X <13.4)=0.6826+0.1359=0.8185．【解析】(1)利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；(2)根据b^的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；(3)求出样本的方差，根据正态分布知识得P(3.8<X<13.4)=P(3.8<X<10.2)+ P(10.2<X<13.4)．本题考查了回归直线方程和正态曲线及其性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，可设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，设乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，方案甲与方案乙相互独立，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，P(Y=2)=C52C63C31+C53 C63C31=13，P(Y=3)=1−P(Y=2)=23，用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=16×13+16×23=16，所以这两种方案检测次数相同的概率为16；(2)由(1)可知，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，所以E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×13=103，又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23，所以E(Y)=2×13+3×23=83，所以E(Y)<E(X)，所以方案乙检测总费用较少．【解析】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．(1)设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，分别求出对应的概率，然后由P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)求解即可得到答案．(2)利用期望的计算公式分别求出E(X)和E(Y)，比较即可得到答案．21.【答案】解：(1)由对称知：P 3，P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点(x,y)，易知y 是x 的减函数，故P 1，P 3只有一个点符合，显然P 1不在椭圆上， ∴P 2，P 3，P 4三点在椭圆上，∴b =√2， 将P 3代入椭圆方程可得1a 2+642=1，解得a =2，∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设D(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)假设存在k 符合题意，由{y =kx +2x 24+y 22=1，得(2k 2+1)x 2+8kx +4=0，△=64k 2−16(2k 2+1)>0，∴k >√22或k <−√22， 设AB 中点G(x 3,y 3)，则x 1+x 2=−8k2k 2+1，x 1x 2=42k 2+1， ∴x 3=x 1+x 22=−4k2k 2+1，y 3=y 1+y 22=k(x 1+x 2)2+2=22k 2+1，∴G(−4k2k 2+1,22k 2+1)，由△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，有DG ⊥AB ，DA ⊥DB ，∴{k DG ⋅k AB =−1DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2k2k 2+1+t =0(2k 2+1)t 2+8kt −4(k 2−2)=0，解得{k =1t =−23或{k =−1t =23， ∴当k =1时，D 点坐标为(−23,0)；当k =−1时，D 点坐标为(23,0)．【解析】(1)由椭圆的对称性即可判断P 1不在椭圆上，因此可由P 2，P 3，P 4三点在椭圆上确定椭圆的方程；(2)可先假设存在实数k ，根据△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，建立关系，利用韦达定理进行求解即可．本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系等相关知识，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=)=e 2x −(a +2)e x +ax(a >0)，则f′(x)=2e 2x −(a +2)e x +a =(2e x −a)(e x −1)， 当a =2时，f′(x)=2(e x −1)2≥0，f(x)单调递增，当a >2时，令f′(x)>0，解得：x >ln a2或x <0，令f′(x)<0，解得：0<x <ln a2， 故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增，当0<a <2时，令f′(x)>0，解得：x >0或x <ln a 2，令f′(x)<0，解得：ln a2<x <0， 故f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增，综上：当a >2时，f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增， 当a =2时，f(x)在R 上单调递增，0<a <2时，f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增； (2)证明：由函数g(x)=e 2x −ax 2，则g′(x)=2(e 2x −ax)，令m(x)=e 2x −ax ，可得m′(x)=2e 2x −a ，令m′(x)=0，解得：x =12ln a2， 当0<a ≤2时，m′(x)>0，m(x)在(0,+∞)递增，此时m(x)>m(0)=0， 故g′(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时不存在极大值，当a >2时，令m′(x)>0，解得：x >12ln a2，令m′(x)<0，解得：x <12ln a 2， 故g′(x)在(0,12ln a2)上单调递减，在(12ln a 2,+∞)上单调递增，∵g(x)在(0,+∞)上存在极大值，故g′(12ln a2)=a −aln a2<0，解得：a >2e ， ∵g′(0)=2>0，g′(12)=2e −a <0，g′(lna)=2a(a −lna)>0，12<12ln a2<lna ， 易证a −lna >0，存在x 1∈(0,12)，g′(x 1)=2e 2x 1−2ax 1=0，存在x 2∈(12ln a2,lna)，使得g′(x 2)=0，故g(x)在(0,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，故当x =x 1时，函数g(x)取得极大值M ，即M =e 2x 1−ax 12，0<x 1<12， 由2e 2x 1−2ax 1=0，e 2x 1=ax 1，故M =e 2x 1−ax 12=−a(x 1−12)2+a4<a4．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的极大值M ，证明结论成立即可．。
江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
男女患者各 200 名，每位患者患Ⅰ型或 II 型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病
II 型病
男
150
50
女
125
75
(1)根据列联表，判断是否有 99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排 2 个接种
周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为 p(0＜p＜1)，每人每次接种的费用为 m 元(m
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则 f(9)的值为( )．
A． －3
B． 3
C．－9
D．9
1
3．已知 a＝20222021，b＝log20222021，c＝log2022
1
，则 a，b，c 的大小关系为(
)．
2021
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
答．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
．
(1)求 A；
10
(2)若点 M 在线段 AC 上，∠ABM＝∠CBM，BM＝5 7，且cosB＝1，求 c．
3
7
【解析】
21．(本小题满分 12 分)
某种疾病可分为Ⅰ、II 两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了
A．对于一个半径为 1 的圆，其“优美函数”仅有 1 个 B．函数f(x)＝x3－3x可以是某个圆的“优美函数” C．若函数 y＝f(x)是“优美函数”，则函数 y＝f(x)的图象一定是中心对称图形 D．函数y＝2cos(3π－x)可以同时是无数个圆的“优美函数”
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。
2.复数的虚部为 。
3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。
4.不等式的解集为 。
5.已知平行直线，则与之间的距离为 。
6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。
7.已知向量，则的充要条件是= 。
8.已知，则= 。
9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。
11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。
12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。
13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。
若，则双曲线的渐近线方程为 。
14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。
二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。
（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。
16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
17.（本小题满分14分）已知圆。
（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。
18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。
在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。
现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数z ＝i (﹣1﹣2i )的共轭复数为A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知z ＝i (﹣1﹣2i )=-i +2，则其共轭复数为2＋i.故答案选B.2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝A ．{1}B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(-∞，1]【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}10，=M ，{}10|≤<=x x N ，则M N ＝[0，1].故答案选C. 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A ．24B ．26C ．28D ．302【答案】B【考点】文化题（数列的通项与求和）【解析】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则211820191820b b S b b S S ++=++=261183=++⨯=，故答案选B.4．已知函数1, 1()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．94 D ．14【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R 上单调递增，则m >0，2-n >1，且m ×1+1≤(2-n )1，解得m >0，n <1，m +n ≤1，则由基本不等式可得mn 4121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n m ，当且仅当m=n=21时取等号.故答案选D. 5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，1F ，2F 的合力F ==1F +2F ==(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()51450104，，-=+--=→AB ，则由共点力平衡得合力F 对该质点所做的功为2()()2451421=-⋅-=⋅→→，，AB F .故答案选A. 6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知a -1=0，则函数可化为()x x f sin -=，则()()10cos -='-='f x x f ，，则由导数得几何意义可知曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为-1.故答案选D.7．若cos(15°＋α)＝3，则sin(60°﹣2α)＝ A． B． C ．59 D ．59- 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意()()()95194115cos 2152cos 230cos 2-=-=-+︒=+︒=+︒ααα，则sin(60°﹣2α)＝()[]()95230cos 26090cos -=+︒=-︒-︒=αα.故答案选D.8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A ．函数()f x 的图象过点(2，1)B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值2C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称【答案】B 或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A 选项，()12482=+++=c b a f ；对于B 选项，()()00232=='++='b f b ax x x f ，；对于C 选项，由递减区间可得()()0412200=++='=='b a f b f ，；对于D 选项，函数()f x 的图象关于点(1，0)对称，则有()()011=-++x f x f ，可赋值得到：当x =0时，()012=f ，当x =1时，()()002=+f f ，即可得到010248=+++=++++c b a c c b a 与，综上可知选项B 、C 矛盾，则由A 选项和D 选项解得a =-3，b =3，c =-1，即()()3231133-=-+-=x x x x x f ，则选项BC 错误. 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列结论正确的有A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查【解析】由题意可知，对于A 选项，当c =0时不满足，则选项A 错误；2 对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三个连续的数满足题意，所以为全称性命题，则选项C 错误；对于D 选项，2121<-x 解得10<<x ，显然10<<x 为x ＜1的真子集，则“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD. 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8k ππ-，0)，k ∈ZD ．函数7()8y f x π=+是偶函数 第10题 【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8832T ，所以22==T πω，由图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛-08，π，则Z k k ∈+=+⨯-，ππϕπ2228，解得Z k k ∈+=，ππϕ243，又0＜ϕ＜π，则043==k ，πϕ，所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432sin 3πx x f .对于A 选项，不正确；对于B 选项，当58x π=-时，343852sin 385-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，为最小值，选项2B 正确；对于C 选项，当8ππ-=k x 时，343822sin 38=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππk k f ，显然对称中心不是(8k ππ-，0)，故选项C 错误；对于D 选项，x x x x f y 2cos 3222sin 3438722sin 387=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππ，为偶函数，故选项D 正确.综上，答案选BD.11．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >【答案】BC【考点】数列的通项与求和 【解析】由121n n n a n a a n +=+-可知nn n n n a n a a n a a n 1121-+=-+=+，即n n n a n a n a 11--=+， 当n =1时，则211a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；n n a a a S +++= 21 11112312011201+++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n a n a a n a n a n a a a a ，所以n a S n n =+1，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.综上，答案选BC.12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托2 尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x =C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+【答案】AD【考点】文化题（函数的概念）【解析】对于A 选项，()x x x f 2sin 212cos sin -==，则()221x x f -=，满足函数的概念，故选项A 正确；对于B 选项，可代入特殊值验证65621ππ或可以为，则x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则不满足y 有唯一的值，故选项B 错误；对于C 选项，同样可以带入特殊值验证()1f ，则x 可以为1或0，同样不满足y 有唯一的值，故选项C 错误；对于D 选项，可令t x x =+22，则()221112+=+=++x t x x ，则()()111-≥+=+=t t x t f ，，满足函数的概念，故选项D 正确；综上，答案选AD.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．【答案】82【考点】平面向量的线性运算、数量积综合 第13题【解析】由题意AB ⊥CN ，BN ⊥DC ，且可设BM=x ，则CN=2-x ，（0<x <2）则→→→→→→→→→→→→→→→⋅+++=⋅+⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅CN BM CN BM DC BM CN AB AB CN DC BM AB DN AM 0092()()209229180cos 92<<+-=--=︒⋅+=→→x x x x x CN BM ，，则x 2-2x +9=（x -1）2+8≥8，当x =1时取得最小值.14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++＝ ．【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列{}n a 中，可解得a 1=1，q =2，则23102310a a a +++＝m =⋅++⋅+⋅+⋅9321210242322 ，则m 221024232210432=⋅++⋅+⋅+⋅ ，两式相减可得()m -=⋅-+++++⋅1094321210222222 ，则()2121222821--+⋅=-m 9216292101010-=⋅-=⋅-，则原式=m =9216.15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．【答案】(54π，118π) 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为x∈(0，98π)，则⎪⎭⎫⎝⎛∈+25442πππ，x，可画出函数大致的图象则由图可知当122<<a时，方程()axf=有三个根，由8242πππ==+xx解得，852342πππ==+xx解得，且点()01，x与点()02，x关于直线8π=x对称，点()02，x与点()03，x关于直线85π=x对称，所以421π=+xx，893ππ<<x，则81145321ππ<++<xxx，即⎪⎭⎫⎝⎛∈++81145321ππ，xxx.16．已知函数3ln,1(),1x xf xx x x≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx=-，当k＝﹣2e2时，有0()0g x=，则x＝；若函数()g x恰好有4个零点，则实数k的值为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】0，1e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当x≥1时，()02ln2>+=xexxg恒成立，所以x0<0；当x<1时，()0223=++-=xexxxg，可化简得()02122=++-exx，则2210exx+-==或；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当0≠x时，可令()0=-kxxf，22则解得⎩⎨⎧=≥≠<+-1ln0112x x x x x x k ，，且，，若方程有四个解，则e k 1=. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；（2）若EF⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．【考点】平面向量的线性运算即数量积应用【解析】（1）由平面向量的线性运算可知a b AB AD AE AF EF 31313131-=-=-=→→→→→， a b AD AB BG EB EG 32323232+=+=+=→→→→→． （2）由题意因为EF⊥EG ，所以()()()()a b a b a b a b EG EF +-=+⋅-=⋅→→923231 ()()()()09292323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⋅-=⋅→→a b a b a b a b a b EG EF ，解得22a b =， 所以()A b a a A b a a b a EG AB cos 232cos 32322 =+=+⋅=⋅→→，则可化简上式为A A cos 2cos 3232=+，解得.321cos π==A A ，则 18．（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把⊥ABC 沿AC 翻折到⊥AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ． （1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求⊥ADP 面积的最大值．【考点】三角函数中的实际问题【解析】（1）由题意可知在⊥ABC 中，可设θ=∠=∠CAP CAB ，则由角度关系可得θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，设BC=y ，且θπθθtan 332tan tan ===yxy ，，则有33tan tan 3tan 1tan 22tan 2==-=θθθθθ，解得，则有x y 33=， ∴m x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+332，最后解得()m x 433-=． （2）由题意可设θ=∠=∠CAP CAB ，则θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，且()10tan ，∈θ，则有()m x x =⨯+2tan θ，解得()θtan 12+=m x ，即AD=BC=()θθtan 12tan +m ，∴()m m AD PD 4tan 1tan 2tan 1tan 12tan 2tan 2θθθθθθ-=-⋅+==， 则S ⊥ADP =()θθθθθθtan 1tan tan 164tan 1tan 12tan 21222+-⋅=-⋅+⋅m m ，令()21tan 1，，则∈=+t t θ2所以S ⊥ADP =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-+-⋅=---⋅32162316111622222t t m t t t m t t t m ≤()223162-⋅m ，当且仅当22==t tt ，即时取等号. 则⊥ADP 面积的最大值为()223162-⋅m .19．（本小题满分12分）已知⊥ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6π)＝14．（1）求⊥BAC 的值；（2）若A，sinB＝7，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．【考点】三角函数与解三角形 【解析】（1）由cosAsin(A ﹣6π)＝14．可化简得416sin cos 6cos sin cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππA A A即()A A A A A A A 2cos 32sin 4122cos 1232sin 41cos 23cos sin 212-=+⋅-=-24143=-，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ∵()π，0∈A ，∴326265662ππππππ==-⎪⎭⎫⎝⎛-∈-A A A ，，则，. （2）由题意在⊥ABC 中，可由正弦定理得B b A a sin sin =，代入化简得721237b=，解得b =2．又由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=，代入化简得c c 2472-+=，解得c =3.则在⊥AMB 中，由余弦定理可得BM AB AM BM AB B ⋅-+=2cos 222，在⊥ABC 中，由余弦定理可得BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222，两式联立可得()77322732732273222222⋅⋅-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AM ，解得219=AM 20．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：⊥()()0f x f x -+=，⊥(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判别函数33221()e ex x f x -+=-，2()cos()32x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．2【考点】新定义函数的性质综合应用 【解析】（1）由题意()()02323232311=-+-=+-+--+x x x x eeeex f x f ，且()()x x x x eex f eex f --+--=-≠-=+232112521121，则()x f 1不具有性质P .又因为()()03sin 3sin 23cos 23cos 22=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x x x x x f x f ππππππ，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+33sin 323cos 12πππππx x x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-33sin 2333cos 22πππππx x x f则()()x f x f -=+2122，即()x f 2具有性质P .（2）若函数()g x 具有性质P ，则满足()()0=+-x g x g 且()()x g x g -=+21，则()g x 在R 上为奇函数，且一个周期为6，则()00=g ，()06=g ，()06=-g ，而由()()x g x g =+6，可得()()33-=g g ，所以()()33g g -=，所以()()033=-=g g ，所以()()099=-=g g ，则函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，n 的最小值为7.21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；2（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题【解析】（1）由21441n n a S n +=++①，则当n ≥2时()114412+-+=-n S a n n ②，则①-②可得444441221+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以()2221244+=++=+n n n n a a a a ，因为0>n a ，则()221≥+=+n a a n n ，当n =1时，3542122=+=a a a ，则，此时212=-a a 亦满足上式，所以21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知()12121-=-+=n n a n ，且215411122=+=+=a b a a ，则，16115184=+=+=a b ， 因为数列{}n b 为等比数列，则设公比为q ，所以28143===q b b q ，则，所以n n n b 2221=⋅=-，所以2(4)(1)n n n a b m a ->-可化简为 ()()()2224212-≥-⋅-n m n n，则()()()max2212224⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ，可令()()nn n n c 212222⋅--=， ()()()()()()()()()()()1231222121212122524212122414124212142124++++⋅-++--=⋅-++---=⋅---⋅+=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c 令()()*230252N n n n n n f ∈>+-=，且，所以()()5321062-=-='n n n n n f ，令()0='n f ，解得35=n ，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈350，n 时()0<'n f ，即()n f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，35n 时()0>'n f ，即()n f 单调递增，且()()，，022011<-=<-=f f2()0113>=f ，所以当21≤≤n 时，01>-+n n c c ，321c c c <<；当3≥n 时，01<-+n n c c ，则 >>>543c c c ，所以()523max ==c c n ，则()()()52212224max 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ， 解得518<m .所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-518，.22．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】（1）由题意函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()2ln ++='a x a x f ∴①当a =0时，()02>='x f 恒成立，则()x f 在定义域上单调递增，此时无极值；②当a ≠0时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='a x a x f 21ln ，可令()0='x f ，解得a e x 21--=，所以（i ）当a >0时，且当aex 210--<<时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减；当aex 21-->时，此时()0>'x f ，即()x f 单调递增，则()x f 的极小值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极大值；2（ii ）当a <0时，且当aex 210--<<时，此时此时()0>'x f ，即()x f 单调递增；当aex 21-->时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减，则()x f 的极大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极小值；综上所述，当a =0时，()x f 无极值；当a >0时，()x f 有极小值aae 21---，无极大值；当a <0时，()x f 有极大值aae21---，无极小值.（2）若a ＝2，()x x x x f 2ln 2+=，不等式化为()()2ln 4ln 2ln 22++≥+x x x x x m则令[)∞+-∈=，，2ln t t x ，则不等式化为()24222++≥+⋅t t e e t m t t ， 所以①当12-≤≤-t 时，参变分离得()2224222422+++=+⋅++≤t e t t e e t t t m t t t ，设()()22242+++=t e t t t g t ，()()()()()()01222224222222>++-=+--+='t e t t t e t t t e t g t t t ， 则()t g 在[]12--，上单调递增，∴()()2min 2e g t g m =-=≤. ②当t =-1时，不等式化为0>-1，显然成立.③当t >-1时，()22242+++≥t e t t m t ，则()()()22122++-='t e t t t g t ，可令()0='t g ，解得t =0， 且当01<<-t 时，()0>'t g ，即()t g 单调递增；当0>t 时，()0<'t g ，即()t g 单调递减，所以()()10max ==g t g ，所以()1max =≥t g m . 综上所述，实数m 的取值范围为[]21e ，．。
江苏省无锡市普通高中2021届高三上学期期末调研考试数学试题 Word版含答案
江苏省无锡市普通高中2021届高三上学期期末调研考试数学试题注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____. 答案：{1,3}解：因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B ={1,3}2.已知复数z a bi =+(,)a b R ∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____. 答案：-8解：2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 答案：7.5 解：76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++4.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 答案： (0,2)-解：由指数函数的性质，可得()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-5.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 答案：4解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+ 整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.答案：12解：23241=2CC7.在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=,2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.答案：6解：1111211=323A ADES-=⨯⨯⨯⨯三棱锥，11623=2A DES∆=⨯⨯1161=33A A DES h-=⨯⨯三棱锥，解得6=h8.如图所示的流程图中，输出n的值为______.答案：49.圆22:(1)(2)4C x y++-=关于直线21y x=-的对称圆的方程为_____.答案：22(3)4x y-+=解：22:(1)(2)4C x y++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x=-对称点设为(,)x y则有：2121222112y xyx+-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故22(3)4x y-+=.10.正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PN⋅的取值范围是______.答案：[0,1]11.双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 答案：34-12.对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____. 答案：2213.在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =,若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 答案：314.函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥. （1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.16. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证：OE ∥平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥.17. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不行与坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M . （1）求1PFQ ∆的周长； （2）求1PF M ∆面积的最大值.18.（本小题满分16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池AD边长的范围;(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.19.（本小题满分16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a=，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x （12x x <）. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.附加题，共40分21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知a，b R∈，矩阵A＝a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．B．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点, ∠AEB ＝90°，∠EAB ＝30°，AB ＝23，AD ＝3．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A —DE —C 的正弦值．23．（本小题满分10分）对于任意的x ＞1，N n *∈，用数学归纳法证明：1nx x e n ->！．。
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江苏省无锡市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.）1.函数()f x =的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞考点：函数定义域2.已知向量()2,3a =-与向量(),6b x =-共线，则x =______.【答案】4【解析】【分析】由向量共线的条件求解.【详解】∵,a b 共线，∴2(6)(3)0x ⨯---=，4x =.故答案为4.【点睛】本题考查向量共线的条件，属于基础题.3.若角α的终边过点()1,2-，则tan α=______.【答案】-2【解析】【分析】由正切函数定义计算. 详解】根据正切函数定义：2tan 21α==--.故答案为－2.【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.4.在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______.【答案】-81【解析】【分析】先求公比q ，再求5a .【详解】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-.故答案为－81.【点睛】本题考查求等比数列中的项，可根据等比数列的通项公式求出公比q ，然后再求某一项.5.已知集合{}|31A x x =-<<，集合{}|,B x x a a Z =<∈，若A B 中恰好含有一个整数，则a 的值为______.【答案】-1【解析】【分析】根据集合A ，B 的形式，它们交集中只有一个整数，必定是－2．【详解】由题意2AB -∈，1A B -∉，∴21a -<≤-，又a 为整数，∴1a =-．故答案为－1． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础．6.函数y=x ﹣2sinx 在（0，2π）内的单调增区间为___________ 【答案】5,33ππ（） 【解析】 对函数求导可得'12cos y x =-，其单调增区间满足12cos 0x ->，得1cos 2<，即增区间为π5π2π2π33k x k +<<+，限定在()0,2π范围内，则有π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．故本题应填π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且满足()()21f x f x >+，则x 的取值范围为______. 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】 利用偶函数的性质把不等式化为(2)(1)f x f x >+，然后利用单调性求解．【详解】∵()f x 是偶函数，∴原不等式可化为(2)(1)f x f x >+，又()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴21x x <+，解得113-<<x ． 故答案为1(,1)3-．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为12()()f x f x >的形式，其中12,x x 在()f x 的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“f ”后求解．8.函数()cos x f x e x =在点()()0,0f 处的切线方程为______. 【答案】10x y -+=【解析】【分析】求出导函数，得'(0)f ，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由题意()cos sin x x f x e x e x '=-，∴'(0)1f =，又(0)1f =，∴所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．故答案为10x y -+=．【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．9.已知sin 3cos 0αα+=，则sin 2α=______. 【答案】35 【解析】【分析】由已知求出tan α，由二倍角公式得sin 22sin cos ααα=，把它转化为关于tan α的代数式．【详解】∵sin 3cos 0αα+=，∴tan 3α=-， ∴22222sin cos 2tan 2(3)3sin 22sin cos sin cos tan 1(3)15ααααααααα⨯-=====-++-+． 故答案为35．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．解题中注意“1”的代换，利用“1”的代换可化sin ,cos αα的二次式为二次齐次式，从而可化为tan α的代数式，这样解题可减少计算量．10.若函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π.已知函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】2 【解析】【分析】由两个对称性可得函数的周期，从而可求得ω的值，再由函数图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，最终可求()4f π． 【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点(),0A n 对称，也关于直线l ：x m =对称，且m n -的最小值为4π. ∴44T ππ=⨯=，∴222T ππωπ===，即()sin(2)f x x ϕ=+， 1()sin(2)662f ππϕ=⨯+=，2πϕ<，∴6πϕ=-，∴()sin(2)sin 4463f ππππ=⨯-==．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的解析式．属于基础题．11.一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是______元.【答案】10000【解析】【分析】设生产甲和饮料x L ，生产乙种饮料y L ，根据题意列出,x y 满足的不等关系，然后求()max 34x y +．【详解】设生产甲和饮料x L ，生产乙种饮料y L ，生产甲种饮料需要()34x L ，李子汁和()14x L 苹果汁，生产乙种饮料需要()12y L ，李子汁和()12y L 苹果汁， 则312000*********20,0x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥≥⎪⎪⎩，.利润34z x y =+， 由312000*********2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得20001000x y =⎧⎨=⎩，作出可行域，如图四边形OABC 内部（含边界），作直线:340l x y +=，平移直线l ，当l 点(2000,1000)B 时，34z x y =+取得最大值10000．故答案为10000.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题时设出两个变量,x y ，列出,x y 满足的不等关系，即约束条件，同时表示目标函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解．12.在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅的最小值为______. 【答案】169【解析】【分析】以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，由面积求得AC ，即C 点坐标，计算出,M N 的坐标，再计算AM AN ⋅，最后利用基本不等式可得最小值．【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，∵122ABC S AB AC ∆=⋅=， 4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 22232641699819AM AN t t ⋅=+≥=， 当且仅当2223299t t=即2t =时取“=”， ()min 169AM AN ⋅=. 故答案为169. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查基本不等式求最小值．由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度．13.若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______. 【答案】23-【解析】【分析】由n b 求出n a 的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定q ．【详解】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，则{}12,4,3,8,18n a ∈---，∵()212818-=⨯， n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-. 故答案为23-. 【点睛】本题考查等比数列的性质，三个数非零实数,,x y z 成等比数列的充要条件是2y xz =．14.已知函数()()2221,2log 2,2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程114f x a x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为______.【答案】(0,1]【解析】【分析】 令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x =++图像，通过图象分析解的各种情况． 【详解】令114x t x ++=，()114f x a f t a x ⎛⎫++=⇔= ⎪⎝⎭，作出()f x 图象，作出114t x x=++图像，1︒2a >时，()f t a =有两根，设为1t ，2t ，则123t <<，23t >，即1114x t x ++=，此时有2个根，2114x t x ++=，此时有2个根，共4个根，不满足条件.2︒2a =时，()f t a =，解得1t =或94或6，即1114x x ++=，无解，19144x x ++=，2解，1164x x ++=，2解，共4个解，不满足条件.3︒12a <<时，()f x a =，有四个根，设为3t ，4t ，5t ，6t ，其中301t <<，412t <<，59542t <<，646t <<， 即3114x t x ++=，无解，4114x t x ++=，无解，5114x t x ++=，2解，6114x t x ++=，2解，共4个解，不满足条件.4︒1a =时，()f t a =有4个根，0，2，m ，n （23,3m n <<>），1104x x ++=，1解，1124x x ++=，1解，114x m x ++=，2解，114x n x ++=，2解，共6解，满足条件.5︒01a <<时，()f t a =，有3个根，设为7t ，8t ，9t ，其中90t <，8532t <<，934t <<， 即7114x t x ++=有2解，8114x t x ++=有2解，9114x t x ++=有2解，共6解，满足条件.6︒0a =时，()0f t =， 有两根12--和3，11124x x++=--有2个根， 1134x x ++=有2个根， 共4个根，不满足条件，综上01a <≤.故答案为(0,1].【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设114t x x =++，方程化为()f t a =，114t x x=++，这样可作出两个函数()y f x =和114t x x =++的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AB 的中点，点F 为1A D 的中点.求证：（1）//EF 平面ABCD ；（2）1AA EF ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中位线定理证明//EF BD 即可；（2）直四棱柱中1AA ⊥平面ABCD ，从而1AA BD ⊥，再由平行线的性质得1AA EF ⊥. 【详解】证明：（1）连接1A B ，BD ，∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴四边形11A ABB 为平行四边形，∴E 为1A B 的中点，又∵F 为1A D 的中点，∴//EF BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD .（2）∵四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，∴1AA ⊥平面ABCD ，又∵BD ⊂平面ABCD ，∴1AA BD ⊥.又∵//EF BD ，∴1AA EF ⊥.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于基础题.16.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两数轴，1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,1M ，()1,0N ，求OM ON ⋅的值；（2）若1232OP e e =+，计算OP 的大小.【答案】（1）12（2）19 【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义计算. （2）把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.【详解】解：（1）1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅︒=. （2）2222129412OP e e e e =++⋅941211cos6019=++⨯⨯⨯︒=.∴19OP =.【点睛】本题考查向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用22a a =转化为向量的数量积运算. 17.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上（不与端点重合），且12AD BC =.（1）若60BAC ∠=︒，求sin sin B C 的值.（2）求b c c b+的取值范围.【答案】（12）2,⎡⎣ 【解析】【分析】 （1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；（2）同（1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅=，1sin 24ABC S AB AC BAC AB AC ∆=⋅∠=⋅，∴2144BC AB AC =⋅， ABC ∆中由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得21sin sin sin 44A B C =，sin sin B C =. （2）22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42a bc BAC =∠，优质资料\word 可编辑∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠+， ()222sin cos bc BAC BAC b c b c c b bc bc∠+∠++==22sin 4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭， 当4BAC π∠=时c b b c+取最大值22， 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=”即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴c b b c+的取值范围是2,22⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.18.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD BC ⊥于D ，点D 在边BC 上（不与端点重合），且12AD BC =.（1）若310sin BAC ∠=sin sin B C 的值. （2）求b c c b+的取值范围. 【答案】（1310（2）2,22⎡⎣ 【解析】【分析】 （1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得sin sin B C ；（2）同（1）把ABC ∆面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得22sin a bc BAC =∠，再由余弦定理得2222cos b c a bc BAC +=+∠2sin 2cos bc BAC bc BAC =∠+∠，求出b c c b+，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）AD 为BC 边上的高，211112224ABC S AD BC BC BC BC ∆=⋅=⋅⋅= 1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠， ABC ∆中的正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可得 211sin sin sin sin 42C B C BAC =∠∴1sin sin sin 220B C BAC ⋅=∠=. （2）22111244ABC S AD BC BC a ∆=⋅==， 1sin 2ABC S bc BAC ∆=∠， ∴211sin 42a bc BAC =∠， ∴22sin a bc BAC =∠，()2222cos 2sin cos b c a bc BAC bc BAC BAC +=∠=∠+∠，()222sin cos bc BAC BAC b c b cc b bc bc∠+∠++==4BAC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭，当4BAC π∠=时c b b c+取最大值 2c b b c+≥，当且仅当b c =时“=”即min 2c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴c b b c+的取值范围是2,⎡⎣. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角ABC ∆斜边AC 的中点F 处，乙站在B 处，丙站在C 处.游戏开始，甲不动，乙、丙分别以()/v m s 和()2/v m s 的速度同时出发，匀速跑向终点A 和B ，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的DEF ∆.（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且()03/v m s <≤）.已知AB 长为40m ，BC 长为80m ，记经过()t s 后DEF ∆的面积为()2S m .（1）求S 关于t 的函数表示，并求出t 的取值范围；（2）当游戏进行到10s 时，体育教师宣布停止，求此时()2S m的最小值. 【答案】（1）()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦，其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2S m 最小值为2400m 【解析】【分析】 （1）求出路程,BD CE ，从而可得BE ，由勾股定理得DE ，以,BC BA 为,x y 轴建立平面直角坐标系，可得直线DE 的方程，求出F 到直线DE 的距离，即FDE ∆的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到,A B 所用时间24080,v v ，比较它们的大小，可得t 的取值范围. （2）由（1）得()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+，利用导数求出其最小值.【详解】解：以B 为坐标原点，分别以BC 、BA 为x 、y 轴建立直角坐标系，40AB =，则()0,40A ，80BC =，则()80,0C ，F 为AC 中点，则()40,20F ，t 秒后BD vt =，2CE v t =，280BE v t =-， ()()22280DE vt v t =+-， 直线DE 方程为：2180x y v t vt+=-， ()()2280800vtx v t y vt v t +---=，F 到DE 距离()()232222401*********vt v t vt v t d vt v t +--+=+-()()32222280vt v t =+-，∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦， 040BD ≤≤，即040vt ≤≤，则400t v≤≤， 080BE ≤≤，即208080v t ≤-≤，则2800t v ≤≤， ()22240280408040v v v v v v ---==， 当02v <≤时，400t v≤≤， 当23v <≤时，2800t v ≤≤，∴()3221204016002S v t v v t ⎡⎤=-++⎣⎦， 其中02v <≤时，400,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 23v <≤时，2800,t v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）∵10t s =，∴()323250100280050100200800S v v v v v v =-++=--+， ()22'15020020050344S v v v v =--=--()()50322v v =+-，令'0S =得2v =，当02v <<时，'0S <，S 为单调递减，当23v <≤时，'0S >，S 为单调递增，∴当2v =时S 取最小值，此时2400S m =，答：此时()2S m 最小值为2400m .【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是列出函数式，本题通过建立坐标系用解析法求点到直线的距离即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，如果函数较复杂，可用导数求最值.20.已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，当2n ≥时，满足()112n n nS nS n S -=+-.（1）求证：2132a a a =+；（2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）若12a =-，公差*d N ∈，问是否存在n ，d ，使得15n S =？如果存在，求出所有满足条件的n ，d ，如果不在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，219n d =⎧⎨=⎩或37n d =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】（1）已知条件是2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =可证结论2132a a a =+；（2）已知条件变形()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n ----- ()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，用累加的方法得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，从而()21112n a a S n n na -=⋅-+()3n ≥，把此式再写一次： 当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-，两式相减得：4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-，同时123,,a a a 也适合此式，从而证明{}n a 是等差数列；（3）由12,15n a S =-=求得()3041n d n n +=-，让n 从2开始一一检验，看是否有*d N ∈，当然9n ≥时，有1d <，*d N ∉.【详解】（1）证明：∵2n ≥时，()112n n nS nS n S -=+-，令3n =得21333S S S =+，()12112333a a a a a a +=+++，∴2132a a a =+.（2）由()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n -----()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭， ∴()()()321341111121322113243231112121n n S S a S S a S S a n n n n n n -⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⋅⋅⎝⎭⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪-----⎝⎭⎩，各式相加得()2111211n S S a n n n ⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，()21112n a a S n n na -=⋅-+， 当4n ≥时，()()()21111212n a a S n n n a --=--+-， 由4n ≥时，()()()1211211212n n n a S S a a n a a a n a a -=-=--+=-+-， 而1a ，2a ，3a 也满足上式，∴{}n a 为等差数列.（3）∵12a =-，公差为d ，∴()11152n n n S na d -=+=，()12152n n n d --+=，()3041n d n n +=-， 当2n =时，19d =，当3n =时，7d =，当4n =时，*236d N =∉（舍），5n =时，*52d N =∉（舍）， 当6n =时，*95d N =∉（舍），7n =时，*2921d N =∉（舍）， 当8n =时，*3128d N =∉（舍）， 当9n ≥时，()()25130430363060n n n n n --≥--==+>-，∴()1304n n n ->+，*d N ∉（舍），综上219n d =⎧⎨=⎩或37n d =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查等差数列的证明，由n S 的递推关系证明数列{}n a 是等差数列，由于已知式较复杂，因此关键是第一步的变形：()112n n nS n S nS ---=⇒()()()1121n n n n S S n n ----- ()()()111131221S a n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，这样可用累加法求得n S ，再由1n n n a S S -=-得n a （4n ≥），然后说明前3项也适合此表示法，完成证明.这里涉及到n S 与n a 的关系，要注意在推理过程中n 的取值范围.21.已知函数()()21x e x b f x x-+=. （1）当0b =时，求()f x 的单调区间；（2）当[)0,1b ∈,(]0,2x ∈时，记()f x 的最小值为()h b ，求()h b 的最大值.【答案】（1）()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.（2）()2max4e h b = 【解析】【分析】（1）求导数'()f x ，由导数确定函数的单调区间；（2）求导数'()f x ，变形为：()()32(2')2x e b x x xx f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>，∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，由()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.这个0x 就是()f x 的最小值点，min 0()()()h b f x f x ==，由0()0g x =，得()00022t e x b x -=+，代入()h b ，即化()h b 为0x 的函数，再用导数可求得得其最大值.【详解】解：（1）当0b =时，()2x e f x x =，()()24322'x x x x f x e e x x e x x ⋅-⋅-==， 当0x <时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.综上可得：()f x 的单增区间为：(),0-∞，()2,+∞，单减区间为()0,2.（2）()()()242'1x x e b x x e x b x f x ⎡⎤---+⎣⎦=()()3222x x e b x e x bx --++=()()()()3322222x x e b e b x x x x x x x +--+++==⋅+ 令()()22x e x g x b x -=++，()()22'02x e x g x x ⋅+=>， ∴()g x 在(]0,2上单调递增，∴()1b g x b -+<≤，且()010g b =-+<，()20g b =≥，∴存在(]00,2x ∈使()00g x =.且当00x x <<时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减；当02x x <≤时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增.∴()()()()00min 0201x f e x b x x h b f x ===-+，而()000202x e x b x -+=+， ∴()00022t e x b x -=+， ∴()()()00000020212x x e x e x x f x x --+⋅+= ()0020200022x x e x e x x x ⋅==++，(]00,2x ∈， 令()2x e h x x =+，()()()()()2202212'x x x x x h x e e e x x -==++>++， ∴()h x 在(]0,2上单调递增，()()224e h x h ≤=， ∴()2max 4e h b =，当2x =，0b =时取到. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间.求最值时，由于有参数b ，因此需定性分析.对'()f x 变形为()()32(2')2x e b x x x x f x ++=⋅+-，令()()22x e x g x b x -=++，再用导数研究()g x 的单调性，确定它有零点0(0,2]x ∈，同时建立0x 与b 的关系.表示出最小值0()()h b f x =，利用前面0x 与b的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.本题难度很大，对学生的分析问题解决问题的能力，对运算能力的要求都较高，属于困难题.。
江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试 数学试题 Word版含答案
江苏省苏州市2021届高三年级第一学期期中考试数 学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A ∩B ＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x －e －x ）cos xx 2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e 7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，则( )A. 若S 5>S 9，则S 15>0B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab C. ab 的最小值为1＋ 2 D. 1a －1＋1b －1>2 12. 若函数f(x)＝e x －ln x ＋kx－1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( ) A. x 0ex 0＝1 B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋yx ＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x ≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x ∈R ，不等式e x f(e x )－e x ＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin (ωx －φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域；(2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x(a ∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围．在① csin B ＋C2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n .若函数f(x)在x ∈[a ，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x ∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C：y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2) 当a＝－2时，设函数g(x)＝f（x）x，若x0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x0)＜2.2021届高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 217. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分)此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分)由a 24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分) 19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin CsinB ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ．(2分) 由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分) 因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16，所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k ＝32，解得k ＝5.(5分) 存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)， 所以n(n ＋1)≥2n ，即2n －n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n －n(n ＋1)，因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]， 所以当n ≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f(n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数，所以当x ∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分) 所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”，设2≤a ＜b ≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k ≥8)，所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k ≥8，所以a ≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝ka，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x ∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x ∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k ≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k ＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a ＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e xx －2sin x ，其中x ∈(－π，0)，则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos xx 2.(4分)令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x)． 当x ∈(－π，－π2)时，因为e x ＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x ∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x ∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x ∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0.因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x ∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)11 当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2， 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。