第1讲-常微分方程的物理背景
常微分方程的发展史 毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
常微分方程课程介绍
常微分方程课程介绍课程名称：常微分方程课程学分：3学分开设时间：第三或四学期先修课程：本课程是基于微积分的基本思想提出的。
注册本课的同学应当有数学分析的背景，此外还有具备高等代数、解析几何及普通物理学等方面的知识背景。
背景及意义：三百年多年前，当牛顿和莱布尼奠定微积分的基本思想的同时，他们也就正式提出了微分方程的概念。
随后，许多著名数学家对微分方程开始了研究。
从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术, 从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系, 使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一, 而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。
常微分方程定性理论的发展更加拓广了它的应用范围，并深入到机械、电讯、核能、火箭、人造卫星、生物、医学及若干社会学科（如人口理论、经济预测等）的各个领域。
尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测等等。
现在微分方程已成为当今数学中最具有活力的分支之一。
课程内容：作为一门与微积分一起成长起来的学科，本课程是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。
微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。
常微分方程的基本理论和方法通常包括以下五方面的内容：1．初等积分解法主要包括变量可分离方程、齐次方程、掌握齐次方程、一阶线性方程、全微分方程及积分因子、一阶隐式微分方程、几种可降阶的高阶方程等的解法。
2．基本定理主要介绍解的存在与唯一性定理3．线性微分方程组包括线性齐次方程组的一般理论、线性非齐次方程组的一般理论、常系数线性微分方程组的解法等。
4．n阶线性微分方程包括n阶线性微分方程的一般理论，n阶常系数线性齐方程解法，n阶常系数线性非齐方程解法。
常微分方程第一章课件
数值解法的稳定性
数值解法的稳定性是指数值解法对于离散化误差的敏感程度，如果数值 解法对于离散化误差敏感，则会导致数值解的精度下降甚至失去意义。
数值解法的稳定性可以分为条件稳定性和无条件稳定性，其中条件稳定 性是指数值解法在一定条件下是稳定的，无条件稳定性是指数值解法在
任何条件下都是稳定的。
对于不稳定的数值解法，可以采用一些改进的方法来提高其稳定性，例 如减小步长、增加迭代次数等。
04
微分方程的应用
物理中的应用
力学
描述物体的运动规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。
电磁学
解释电磁现象，如振荡电路、交流电等。
光学
研究光的传播规律，如波动光学中的干涉和衍射等。
经济中的应用
1 2
金融
预测股票价格、债券收益率等金融产品的动态变 化。
供需关系
分析商品价格与市场需求和供应之间的关系。
微分方程的几何意义
总结词
微分方程的几何意义是通过图形表示未知函数和其导数的变化规律，有助于直观理解方 程的性质和求解方法。
详细描述
通过作图，可以直观地表示微分方程的解，即未知函数的导数随自变量的变化规律。例 如，一阶常微分方程描述了一条曲线的斜率变化规律，二阶常微分方程描述了曲线的弯 曲程度等。通过观察图形，可以更好地理解微分方程的性质和求解方法，例如，通过观
察斜率的变化规律可以求解一阶常微分方程。
02
一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义
应用
形如y'=ay+b的微分方程，其中a和b 为常数，a≠0。
描述物理、工程等领域的线性现象。
解法
通过变量代换y=e^(at)，将其转化为 线性方程。
常微分方程----第一章-绪论PPT课件
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
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一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
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在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
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n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
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例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
cosx sinx 10
sinx cosx
特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解称 为特解。
x,
y,
,
常微分方程的概念与性质
常微分方程的概念与性质常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）是研究函数与它的导数之间的关系的数学分支。
它在众多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
我们将在本文中探讨常微分方程的概念以及其一些重要的性质。
概念常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：\[ F(x, y, y', y'',...,y^{(n)}) = 0 \]其中，x是自变量，y是未知函数，y'、y''等是y的各阶导数。
性质1. 阶数与解的个数：对于n阶常微分方程，其解可能有0个、1个或者多个。
这取决于初始条件的给定以及方程的性质。
2. 相互独立的解：如果一个常微分方程有n个解，且它们在某个开区间内相互独立，那么这n个解就构成了这个方程的通解。
通解的一般形式为y = C1y1 + C2y2 + ... + Cny_n，其中C1、C2等为常数。
3. 唯一解的条件：如果一个常微分方程在某个区间上满足Lipschitz条件，并且初始条件给定（即确定了初始点和初值），那么在这个区间上定解问题将有唯一解存在。
4. 叠加原理：对于齐次线性常微分方程（即方程中只有y及其各阶导数的线性组合项），如果y1(x)和y2(x)分别是其解，那么它们的线性组合C1y1(x) + C2y2(x)也是该方程的解。
5. 稳定性：常微分方程的解有时会表现出稳定性，即当初始条件稍微改变时，解的行为也只有微小的变化。
稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，具体取决于解的行为。
总结通过对常微分方程的概念和一些重要性质的介绍，我们可以看到常微分方程在实际问题中的重要性和广泛应用。
熟练掌握常微分方程的理论和方法，对于解决一些实际问题具有重要的意义。
在进一步研究常微分方程时，我们可以探索更多的应用领域，深入理解方程的性质和解的行为。
这将帮助我们更好地理解自然现象和工程问题，并为解决实际问题提供有效的数学工具。
常微分方程讲解
常微分方程讲解常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。
例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。
利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。
例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。
）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。
其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。
下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。
例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。
掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。
我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。
这里我们假定空气的温度保持为。
解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。
例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。
常微分方程发展简史—经典阶段
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的；221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)；321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t+∆-=-∆ 令0t ∆→，可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >，即 b d >，则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =，即 b d =，则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <，即 b d <，则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来，常微分方程诞生于数学与自然科学（物理学、力学等）进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴含着丰富的数学思想方法。
常微分方程-简介
用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，解 决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基 本的微分方程问题。 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习后续课 程打下基础。
通过这门课的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法。 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为将来从事相关领域的科学研究工作打下坚实的基础。
常微分方程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象的运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融
领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程， 如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发 展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场 均衡价格的变化等。
对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分
方程模型的研究。
常微分方程最早出现在数学家们彼此的通信和 一些刊物中 荷兰数学家、物理学家、天文学家 惠更斯(Christiaan Huygens,1629.4—1695.7) 在1693年的《教师学报》中明确提出了微分方程
雅各布〃伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705) 是利用微积分求常微分方程问题解析解的 先驱者之一。在1695年提出了伯努利方程
约翰.伯努利（雅科布之弟，巴塞尔大学医学博士) 在1694年的《教师学报》中对齐次方程的解法 作了更加完整的说明，并首先提出了全微分方程 的概念
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年，德国数学家）在1694年 利用变量替换法给出了一阶线性方程的解。 1696年给出证明：利用变量替换,可以把 贝努利方程化为线性方程。
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2. 落体运动？ 如果是自由落体, 真空环境, 即 物体只受重力作用, 由牛顿第 二运动定律 F=ma, 有:
d s F mg , a 2 . dt
2
从而位移 s (t ) 满足的等式为
d2 s g, 2 dt
(4)
其中 s=s(t) 是未知函数.
g是一个常数, 什么函数的二阶导数为一个常 数呢？
最后, 总结一下常微分方程在实际问题中 应用的过程: 实际问题 常微分方程（建模）
求解方程
实际问题
一个例子比十个定理重要.
—— 牛顿
数学对观察自然做出重要的贡献, 它解释了规律结构中简单的原始元素, 而天体就是用这些原始元素建立起来的. ——开普勒
实践证明, 常微分方程数学正是研究天体运 动机理的一门重要学问！ 没有哪门学科能比数学 更为清晰地阐明自然界的和谐性.
热茶什么时候喝可靠？用数学怎么回答？
茶水的温度为时间t的一元函数, 记为u(t). 假设空气的温度恒为ua=24℃. 物体温度的变 化速度与物体和外界温度的差值成比例.设比 例系数为k (k>0),于是有
du k (u ua ). dt
(1)
du k (u ua ). dt
(1)
dN aN , a 0. dt
(7)
——马尔萨斯（Malthus）人口律
如果N(t0)=N0, 类似于方程(1)解的分析,(7)的解 为 N (t ) N0ea(t t0 ) .
指数增长, 人口大爆炸？
统计研究表明, 人口增长与人口总数成正比, 并受与人口的平方成正比的负增长率的限制, 即:
n
（9）
n
dy d y dy d y 这里 F ( x, y, ,, n ) 是 x,y, , , n dx dx dx dx
的已知函数, 而且
dn y d xn
一定出现.
n阶显示微分方程的一般形式为:
y
( n)
( n1) f ( x, y, y , , y ).
(10)
如n=1时, 变为1阶微分方程 y'= f (x, y).
第一讲: 微分方程的物理背景 ——动力机制的数学模型
内蒙古大学 阿拉坦仓 教 授
alatanca@
课件制作： 阿拉坦仓 侯国林
1. 茶水的变凉
刚泡完的茶一喝会很烫， 那什么时候喝呢？茶水是 如何变凉的？你们能给出 一个精确的时间吗？
“……数学之所以有高声誉, 一个理由就是数 学使得自然科学实现定理化, 给予自然科学 某种程度的可靠性” . ——爱因斯坦
u ua ce
kt
(2)
像(2)那样, 含有与方程的阶数相同的任意独 立常数的解称为通解.
假设环境温度恒为ua=24℃, t=0时茶水的温度 为u0=90℃, 则c=66. 从而
u 24 66e .
k与物质的特性有关, 做实验: 5分钟后测得茶 水的温度为u1=30℃ , 则
kt
dN aN bN 2 , dt
（8 ）
—— Logistic人口律
其中a>0, b>0, a>>b. (8)式可改写为
dN a b( N ) N , dt b
上述方程为非线性方程.
(8)
通过3个引例, 我们介绍了常微分方程 的物理背景. 一般地 n阶微分方程的一般形式为:
dy dn y F (x,y, ,, n ) 0, dx dx
1 2 s (t ) gt c1t c2 . 2
(5)
(5)为(4)的通解.
自由落体的位移为双曲线, 下降速度很快, 而 且越来越快(只要高度足够高)!
如果是这样, 高空跳伞岂不是很危险？ 绝对的真空环境是不存在的, 一般情况下, 物 体的下落还要受到空气阻力的影响!
设阻力与速度成正比, 比例系数为k>0, 阻力方向与运动方向相反, 于是: 2 d s d s F mg kv(t ), a 2 , v (t ) . dt dt 于是得到如下方程模型:
微分方程是与实际问题联系紧密的数学分 支, 他能对许多物理问题的动力学机制进 行定性刻画.
英国天文学家亚当斯和法国天文学家勒维 烈使用微分方程各自计算出那时尚未发现 的海王星的位置等, 与后来的天文观测误 差很小.
本讲再通过两个简单的物理模型: • 落体运动
• 人口的增长 引入常微分方程的基本概念.
30 24 66e
于是有 我们得到24 66e
1 t ln11 5
.
(3)
上式称为方程(1)的特解 .
特解的图形为:
u
90
u(t)
24
O
t
微分方程这么深奥的知识是谁发现的呢？ 微分方程差不多是和微积分同时产生的, 牛顿 和莱布尼兹奠定微积分基本思想的同时, 他们 也于17世纪正式提出了微分方程的概念.
公式(1)就是描述茶水变凉的简单数学模型. 像(1)那样, 包含未知函数以及未知函数导数 (微分)的等式, 称为常微分方程. 而出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称 为微分方程的阶.
常数的导数为0, 于是
d(u ua ) k (u ua ). dt
u ua 是什么类型的函数？
——卡罗斯
d2 s k d s g 0 2 m dt dt
(6)
d2 s k d s g 0 2 m dt dt
(6)
像(6)那样, 未知函数及其各阶导数的次数都 是一次的方程称为线性方程, 否则称为非线 性方程.
3. 世界人口增长的Logistic模型 某地区的人口总数N=N(t), 人口是怎么增长 的？一个人能增长吗？
莱布尼兹(1646-1716) 德国哲学家、数学家
牛顿(1643-1727)
英国物理学家、
数学家、哲学家
“如果说我比别人看得更远些, 那是因为我 站在了巨人的肩上”. —— 牛顿
对于牛顿而言, 一个“巨人”可能是开普勒.
牛顿研习了开普勒等天文学家的先进思想, 提出了万有引力定律和基于万有引力定律 的描述天体运动规律的牛顿二体运动方程. 牛顿二体运动方程就是常微分方程.