常微分方程教学设计
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程
数学教案引导学生理解数学中的常微分方程一、引言在数学学科中，微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
本教案旨在通过引导学生理解数学中的常微分方程，培养学生解决实际问题的能力，提高数学思维和计算能力。
二、教学目标1. 了解常微分方程的基本概念和分类；2. 掌握一阶常微分方程的解法；3. 能够应用常微分方程解决实际问题。
三、教学内容1. 常微分方程的概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述未知函数和它的导数关系的方程。
它涉及到未知函数、自变量和导数三个变量。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
2. 一阶常微分方程的解法（这里省略数学公式和推导过程，侧重介绍解法方法）（1）可分离变量法（2）齐次方程法（3）线性方程法（4）常系数线性方程法（5）恰当方程法四、教学过程1. 概念解释与例题讲解介绍常微分方程的定义和性质，并通过实例讲解一阶常微分方程的解法。
2. 练习与讨论让学生通过练习题巩固所学的解法方法，并进行讨论分析，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
3. 拓展运用引导学生通过实际问题的分析和变量建模，将问题转化为常微分方程，并运用所学的解法方法得出结果。
五、教学评价1. 课堂表现评价通过学生在课堂上的主动参与、解题能力的表现以及对常微分方程理解的深度进行评价。
2. 作业评价布置与课堂内容相关的作业题目，评价学生对解法方法的理解和运用能力。
3. 实际问题解决评价评价学生能否将实际问题转化为常微分方程，并正确运用解法方法得出准确结果。
六、教学反思通过本教案的实施，学生在数学中的常微分方程问题方面的理解将有所提升。
但教学中还需注重培养学生的实际问题解决能力，加强综合运用能力的训练，进一步提高教学质量。
七、结语在现代科学和技术的发展中，常微分方程扮演着重要的角色。
通过本教案的学习和实践，相信学生能够更好地理解数学中的常微分方程，并能够在实际问题中运用所学的知识解决现实难题。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
常微分方程(王高雄)第三版1学习教案
' ' ex 4e4x
c1 c2
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故y c1ex c2e-4x是方程y" 5y' 4 y 0的通解. 由初始条件 y(0) 2, y' (0) 1有 c1 c2 2 c1 4c2 1 解以上(yǐshàng)方程c1 组 3得, c2 1 故方程y" 5y' 4 y 0满足初始条件 y(0) 2, y'(0) 1的特解为 y 3ex e-4x
(c1ex c2ex 2c3e2x ) 2(c1ex c2ex c3e2x 3) (c1 2c1 c1 2c1)ex (-c2 2c2 c2 2c2 )ex
(8c3 8c3 2c3 2c3)e2x 6 6
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故y c1ex c2ex c3e2x 3是 微分方程y'" 2 y" y' 2 y 6的解.
又由于(yóuyú)
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ex e x
ex e x
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c1 c3 c3 故y c1ex c2ex c3e2x 3是微分方程 y'" 2 y" y' 2 y 6的通解.
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(2) 对x I有 : F (x,(x), '(x), n (x)) 0,
则称y (x) 为方程
在I上的一个解 .
常微分方程教案
常微分方程教案一、引言常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案旨在介绍常微分方程的基本概念、解法以及应用，帮助学生掌握解常微分方程的方法，并了解其在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 常微分方程的定义常微分方程是指只依赖于一个独立变量的函数的导数与该函数本身构成的方程。
常微分方程通常以形如 dy/dx = f(x,y) 的形式表示，其中 f(x,y) 是已知函数。
2. 常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中最高阶导数的阶数。
一阶方程仅涉及一阶导数，二阶方程涉及到一阶和二阶导数，依此类推。
3. 常微分方程的解常微分方程的解是指满足方程的函数或函数组。
解可以由解析法得到，也可以通过数值方法进行近似求解。
三、解常微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于能够将方程表示为 dy/dx = g(x)h(y) 的情况。
通过分离变量并积分得到解。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx = f(y/x) 的情况。
通过变量代换和分离变量的方法求解。
3. 线性方程法线性方程法适用于能够将方程表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的情况。
通过使用积分因子和积分求解。
4. 恰当方程法恰当方程法适用于能够将方程表示为 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的情况。
通过使用判别式和积分求解。
5. 变量替换法变量替换法适用于通过变量替换将高阶微分方程转化为一阶方程的情况。
通过适当选择替换变量，将高阶方程转化为一阶常微分方程。
四、常微分方程的应用1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，运动学中的运动方程、电路中的电流方程、振动系统中的运动方程等都可以用常微分方程进行建模和求解。
2. 工程学中的应用常微分方程在工程学中也有着重要的应用。
例如，电力系统中的电压和电流的变化、控制系统中的系统稳定性分析等都可以通过常微分方程进行建模和分析。
常微分方程课程设计
常微分方程课程设计1. 背景介绍常微分方程是数学中的一门重要的分支，其应用广泛，尤其在工程、物理、经济等学科中有着重要的地位。
常微分方程的研究对象是描述性能或物理现象的数学关系，其解法方法多种多样，如常系数线性微分方程、变系数线性微分方程、常系数非线性微分方程等。
针对这些不同类型的微分方程，研究者们提出了丰富的解法，如变量分离法、常数变易法、欧拉公式等。
2. 目的和意义常微分方程的解法非常实用，是解决多种实际问题的有效工具。
因此，本次课程设计旨在探究不同类型的常微分方程，并结合实例进行分析和解决问题，加深学生对常微分方程的理解和应用。
通过本次课程设计，学生可以很好地掌握常微分方程的基本概念及其解法方法，增强其在实际问题中应用数学知识解决实际问题的能力，提高其数学思维能力，帮助学生打牢数学基础。
3. 设计内容3.1 基本概念常微分方程的基本概念是本课程设计的基础。
在教学过程中，需要向学生简要介绍基本概念，包括常微分方程的定义、解、常微分方程的分类等。
3.2 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程是常微分方程的重要类型之一，解决实际问题时常常需要采用非齐次线性微分方程的解法。
因此，在本次课程设计中，需要详细介绍常系数非齐次线性微分方程的定义、特点、解法等，并在此基础上，结合实例进行分析和应用。
3.3 高阶常微分方程高阶常微分方程是常微分方程的重要类型之一，也是常微分方程的拓展，其解决了微分方程中仅含一自变量的情况，具有广泛的应用场景。
因此，在本次课程设计中，需要向学生详细介绍高阶常微分方程的定义、特点、解法等，并结合实例进行分析和应用。
3.4 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组是常微分方程的一种特殊情况，也是一种常见的微分方程类型，其解法多样，具有一定的难度。
因此，在本次课程设计中，需要向学生详细介绍常系数线性微分方程组的定义、特点、解法等，并结合实例进行分析和应用。
4. 总结本次课程设计中，我们主要介绍了常微分方程的各种类型和解法方法，可以帮助学生更好地理解和掌握常微分方程的基本概念和解法方法。
常微分方程及其应用第二版教学设计
常微分方程及其应用第二版教学设计一、教学目标1.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的重要作用。
2.理解常微分方程的概念、基本性质、基本解法和应用。
3.掌握一阶常微分方程解法中的分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程、常数变易法及应用。
4.掌握高阶线性常微分方程和泛函方程的解法及应用。
5.了解矩阵微分方程及其应用。
二、教学内容1. 常微分方程概述1.1 常微分方程定义 1.2 常微分方程的阶数 1.3 常微分方程的一般形式 1.4 常微分方程的初值问题 1.5 常微分方程的重要性2. 一阶常微分方程解法2.1 分离变量法 2.2 齐次方程法 2.3 一阶线性方程 2.4 常数变易法 2.5 应用：生物学问题、物理问题、化学问题、经济问题、工程问题等实际问题。
3. 高阶线性常微分方程解法3.1 齐次线性方程的通解 3.2 非齐次线性方程的通解 3.3 懒汉必备：常数变易法 3.4 应用：振动问题、热传导问题、杂质物扩散问题。
4. 泛函方程的解法4.1 常微分方程的基本理论：皮卡-极大原理、存在唯一性定理、连续依赖原理等。
4.2 变分法解微分方程 4.3 应用：微分方程的振动性质、最大值问题、最小值问题。
5. 矩阵微分方程及其应用5.1 线性矩阵微分方程的一般形式 5.2 常数系数的线性矩阵微分方程 5.3 非齐次线性矩阵微分方程的通解 5.4 应用：电路问题、控制问题、自动化问题。
三、教学方法3.1 前置听课法：先讲多元函数、极值、微分、积分等相关基础知识，使学生有良好的数学功底。
再介绍和讲解本课程的基本内容。
3.2 理论与实践相结合：在讲解理论内容的同时，重点培养学生的实际运用能力，引导学生做大量的例题、计算和求解。
3.3 多媒体教学法：运用各种多媒体工具进行教学，如视频讲解、课件、PPT 演示、动画演示等，提高学生的学习效果和兴趣。
四、教学评估课程结束后，学生需要完成一份期末考试并提交一个课程小项目，内容为任选一题，完成题目的分析、求解和推导，并给出相关的实际应用案例。
常微分方程及其应用理论与模型教学设计
常微分方程及其应用理论与模型教学设计前言常微分方程是数学中一门重要的理论，同时也是应用非常广泛的数学工具。
常微分方程相关的知识和技能在数学、统计、工程、物理、生物、经济等领域中都有非常广泛的应用。
因此，对于从事相关研究或工作的人士来说，熟练掌握常微分方程的相关知识和技能是非常必要的。
基于此，本文将从理论与模型的角度出发，针对常微分方程及其应用进行教学设计，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。
一、理论教学1.1 基础理论作为常微分方程教学的入门课程，要求学生掌握如下内容：•常微分方程的定义和基本概念；•常微分方程的解法及其分类；•高阶线性常微分方程和欧拉方程的解法。
以上内容可以通过结合数学公式、图像和实例等方式进行讲解和演示。
在讲解解法时，可以通过例题和练习题进行巩固和测试。
1.2 进阶理论学生学习基础理论后，可以进一步了解更高级的常微分方程相关知识，比如常微分方程的解的连续性和唯一性、常微分方程的初边值问题、变系数和变阶微分方程的解法等。
这些内容对于学生的理解和掌握程度有更高的要求，需要通过更深入的讲解和实例来加深学生的印象。
二、应用教学2.1 模型建立常微分方程的应用非常广泛，可以用来描述各种自然现象和社会现象。
在教学中，可以通过讲解实际问题的建模过程，来引导学生理解和掌握常微分方程的应用。
比如，在物理中，可以通过讲解质点运动、简单谐振动、受阻运动等问题来引导学生建立常微分方程模型。
在生物学中，可以通过讲解人口增长问题、化学反应过程等问题来引导学生建立常微分方程模型。
2.2 模型求解在建立模型后，学生需要掌握相应的求解方法，比如直接法、分离变量法、变形法等。
同时，还需要学会运用常微分方程的初边值问题解法和数值解法对模型进行求解。
在教学中，可以通过提供实际问题的例子和实例，让学生进行模型求解，并进行讨论和思考。
2.3 模型评价在模型求解完成后，需要对模型进行评价。
学生可以分析并评价模型的优缺点、稳定性、收敛速度等。
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常微分方程教学设计第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：3常微分方程组之例:记vector)，是自变量t 的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义6若微分方程其导数中的函数关于未知函数及是一次有理整式，则称方程是线性的(linear)，称它是n阶线性(微分)方程．一般形式为：，，则称它是n阶线性齐次(homogeneous)方程；否则称为线性为线性方程的非齐次项.(提示)若其中非齐次(inhomogeneous)方程．这时称常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)4，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义7不是线性的微分方程称为非线性(nonlinear)方程．(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：第1讲第2第3第4第5第6第7第8讲讲讲讲讲讲讲微分方程与解变量可分离方程齐次微分方程一阶线性微分方程全微分方程与积分因子一阶隐式微分方程几种可降阶的高阶方程应用举例第二章基本定理解的存在性与唯一性定理解的延展奇解与包络解对初值的连续依赖性第10讲第11讲第12讲第三章线性微分方程组第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念第14讲线性齐次微分方程组的一般理论第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论常系数线性微分方程组的解法(单实根）第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章线性微分方程第17讲第18讲第19讲第20讲n阶线性微分方程的一般理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(·=）()()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(·=)(′=)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为如果在()中能将y′解出，则得到方程或()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为()在方程()中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程()是一阶线性方程；方程()是一阶非线性方程；方程()是二阶线性方程；方程()是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程()，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程()在区间I上的一个解.1.函数y=x2＋Ｃ是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程()在区间上的解，其中C是任意常数.又方程()有两个明显的常数解y=±１，这两个解不包含在上述解中.3.函数立的任意常数.4.函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在上有从而该函数是方程()的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程()的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数y=±１是方程()的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数()显然是方程()的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程()有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a图b而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程()所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解()所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为()它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称()是初值问题的解.对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是其中是自变量的某个取定值，而()是相应的未知函数及导数的给定值.方程()的初值问题常记为()，只要把初值条件。