微分方程教案-精选.
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)
微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。
微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。
通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。
2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。
3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。
可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。
3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。
3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。
恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。
4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。
高中数学教案解微分方程
高中数学教案解微分方程引言：微分方程是数学中的重要分支，既是专业的研究领域，也是高中数学课程的内容之一。
本教案旨在帮助高中数学教师更好地解析微分方程，引导学生理解其基本概念和解题方法。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含导数或微分的方程，是研究变化和变化率的数学工具。
常见的微分方程类型包括一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程。
一阶线性微分方程具有一般形式dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
二、解微分方程的方法1. 可分离变量法可分离变量法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程。
将变量分离后，将两边积分得到解。
例如，对于dy/dx = x/y，可以将方程改写为ydy=x*dx，然后积分求解。
2. 齐次微分方程齐次微分方程适用于形如dy/dx = f(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x 进行变量代换，并化简方程，得到形如dv/(1-v) = f(x)dx的方程。
再次积分并变换回原变量，即可得到解。
3. 线性微分方程线性微分方程是形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
常用的解法是利用积分因子法，通过乘以合适的积分因子，将方程转化为可积的形式。
具体步骤涉及计算积分因子、乘法积分和求解，并根据初始条件确定特定解。
4. 变量代换法变量代换法适用于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程。
通过引入新的变量和代换，可以将方程转化为一阶微分方程或者已知的微分方程类型，进而求解。
三、解题示例1. 题目：求解微分方程dy/dx = 2x解析：由题可知，这是一个可分离变量的微分方程。
将dy/dx = 2x 改写为dy = 2xdx，并积分两边，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
因此，微分方程的解为y = x^2 + C。
2. 题目：求解微分方程dy/dx = y/x解析：该方程为齐次微分方程。
高中数学教案微分方程
高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。
教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。
2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。
3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。
教学重点：1.微分方程的概念与分类。
2.常微分方程的解法。
3.微分方程在实际问题中的应用。
教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。
2.求解复杂微分方程的能力。
教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。
2.学生：教材、笔记本、计算器。
教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。
例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。
2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。
三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。
鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。
2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。
教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。
四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。
五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程一、教学目标1.理解一阶微分方程的概念和基本性质。
2.掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
3.熟练运用线性微分方程的解法。
4.了解齐次微分方程和一般一阶线性微分方程的解法。
5.能够应用一阶微分方程解决实际问题。
二、教学内容1.一阶微分方程的概念和基本性质1.1一阶微分方程的定义1.2一阶微分方程的基本形式1.3一阶微分方程的解的含义和概念1.4一阶微分方程的解的存在与唯一性定理2.一阶可分离变量微分方程的解法2.1可分离变量微分方程的基本概念2.2可分离变量微分方程的解的求法2.3可分离变量微分方程解的存在与唯一性定理3.线性微分方程的解法3.1线性微分方程的定义3.2线性微分方程的标准形式3.3齐次线性微分方程的解法3.4非齐次线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法4.1齐次微分方程的定义4.2齐次微分方程的解的形式4.3齐次微分方程的解的存在与唯一性定理5.一般一阶线性微分方程的解法5.1一般一阶线性微分方程的定义5.2一般一阶线性微分方程的解的形式5.3一般一阶线性微分方程的解的存在与唯一性定理6.应用一阶微分方程解决实际问题6.1几何问题的建模与求解6.2生活中的实际问题的建模与求解三、教学重点和难点1.一阶微分方程的概念和基本性质2.一阶可分离变量微分方程的解法3.线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法5.一般一阶线性微分方程的解法6.应用一阶微分方程解决实际问题四、教学策略1.打破传统的教学模式，采用探究式教学，鼓励学生主动思考和参与课堂讨论。
2.结合具体实例，生动形象地介绍一阶微分方程的概念和性质，激发学生的兴趣。
3.设计一些有趣的练习题和实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
五、教学资源1.教材：《高职工科应用数学》第五章2.多媒体课件3.相关的教学视频和软件六、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，检验学生对知识点的掌握程度。
2.课堂讨论：鼓励学生参与课堂讨论，检验学生的分析和解决问题的能力。
高中数学教案微分方程的基本解法与应用
高中数学教案微分方程的基本解法与应用高中数学教案：微分方程的基本解法与应用1. 介绍微分方程的概念和意义（200字左右）微分方程是描述物理、生物和工程等领域中变化规律的数学工具。
它可以用来描述未知函数的导数和未知函数之间的关系，并由此得到函数的解析解或数值解。
在物理学和工程学中，微分方程广泛应用于描述运动、生长、衰变和传播等现象。
高中阶段，学生将进一步学习微分方程的基本解法和应用。
2. 一阶线性微分方程的基本解法（400字左右）一阶线性微分方程是最简单的微分方程形式之一，可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用积分因子法。
首先，将dy/dx的表达式化简为(d/dx)(y*e^(∫p(x)dx))=q(x)e^(∫p(x)dx)。
然后，对方程两边同时积分得到y*e^(∫p(x)dx)=∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C，其中C为常数。
进一步简化化简得到y=e^(-∫p(x)dx)*(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C)。
利用这个公式，可以求得一阶线性微分方程的解析解。
3. 一阶分离变量微分方程的基本解法（400字左右）一阶分离变量微分方程是指可以将dy/dx的表达式表示为f(y)g(x)的形式。
要解决这种微分方程，可以使用分离变量法。
首先，将方程重写成dy/f(y)=g(x)dx的形式。
然后，对方程两边同时积分得到∫dy/f(y)=∫g(x)dx。
通过对f(y)和g(x)的具体形式进行积分，得到关于y和x的方程。
最后，可以通过求解这个方程，得到一阶分离变量微分方程的解析解。
4. 微分方程的应用举例（500字左右）微分方程的应用范围非常广泛。
它可以用于描述自然现象、物理实验、经济模型等各种实际问题。
举例来说，微分方程可以用于描述弹簧的振动、电路的变化、化学反应的速率等等。
其中，描述自然界中的变化规律最常见。
例如，牛顿的冷却定律可以通过微分方程来描述物体的温度随时间的变化；放射性衰变的速率可以通过微分方程来描述。
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
微分方程教案范文
微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。
教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。
教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。
教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。
第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。
第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。
教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。
课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。
课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。
幼儿园中班数学教案认识微分方程让孩子学会微分方程概念
幼儿园中班数学教案-《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》本篇文章将从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点以及教学总结六个方向详细阐述中班数学教案《认识微分方程，让孩子学会微分方程概念》。
一、教学目标通过本次教案的教学，让幼儿了解微分方程的概念与基本知识，激发幼儿的学习兴趣，提高幼儿的数学思维能力，培养幼儿的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容本次教案的教学内容主要包括微分方程的概念、常微分方程的基本形式、微分方程的解法与应用等方面。
通过让幼儿了解微分方程的定义与特点，学习微分方程的基本形式以及解法，让幼儿能够掌握微分方程的基本知识和解题方法，为日后的学习打下坚实的基础。
三、教学方法本教案采用多种教学方法，如讲解法、示范法、互动法、实验法等，以培养幼儿的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，可以让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
四、教学步骤1.导入通过讲解微分方程的概念，引导幼儿了解微分方程的基本定义和特点。
2.学习微分方程的基本形式通过讲解微分方程的基本形式，让幼儿了解常微分方程的基本形式，并掌握微分方程的一些基本概念。
3.学习微分方程的解法通过讲解微分方程的解法，让幼儿了解微分方程的解法和求解方法。
4.实践操作通过实验和操作等方式，让幼儿自己动手实践，帮助幼儿理解和掌握微分方程的概念和解题方法。
5.课堂互动通过课堂互动，让幼儿在互动中学习，相互交流，培养幼儿的合作意识和创新精神。
6.总结通过总结，让幼儿回顾学习内容，巩固所学知识，培养幼儿的思维能力和记忆能力。
五、教学重点与难点1.教学重点让幼儿了解微分方程的概念和基本知识，掌握微分方程的基本形式和解法，为日后的学习打下坚实的基础。
2.教学难点微分方程的概念和解法较为抽象，需要通过多种方式引导幼儿理解和掌握，提高幼儿的学习兴趣和积极性。
六、教学总结通过本教案的教学，幼儿们对微分方程的概念和基本知识有了较为深入的了解和掌握，培养了幼儿的数学思维能力和逻辑思维能力，提高了幼儿的创新意识和实践能力，为日后的学习打下了坚实的基础。
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其中C是任意常数
把条件“x1时y2”代入(3)式得
212C
由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)
yx21
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
(5) 或 不是线性方程
齐次线性方程的解法
齐次线性方程 是变量可分离方程分离变量后得
两边积分得
或
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）
例1求方程 的通解
解这是齐次线性方程分离变量得
两边积分得
ln|y|ln|x2|lnC
方程的通解为
yC(x2)
非齐次线性方程的解法
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)把
x|t0Ax|t00
的特解
解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得
C1A
再由条件x|t00及x(t)kC1sinktkC2coskt得
C20
把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得
xAcoskt
作业：P298：4
1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得
yx2C
一般地方程yf(x)的通解为 (此处积分后不再加任意常数)
即lnMtlnC也即MCet
由初始条件得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et
例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma得函数v(t)应满足的方程为
§
线性方程
方程 叫做一阶线性微分方程
如果Q(x)0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程
方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程
下列方程各是什么类型方程？
(1) 是齐次线性方程
(2) 3x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程
(3)yycosxesinx是非齐次线性方程
(4) 不是线性方程
微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上
F[x(x)(x)(n)(x)]0
那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解
解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式
(4)
此外未知函数ss(t)还应满足下列条件
t0时s0 简记为s|t0=0s|t0=20(5)
把(4)式两端积分一次得
(6)
再积分一次得
s02t2C1tC2(7)
这里C1C2都是任意常数
把条件v|t020代入(6)得
令xyu则原方程化为
即
分离变量得
两端积分得
uln|u1|xln|C|
以uxy代入上式得
yln|xy1|ln|C|或xCeyy1
作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）
§75可降阶的高阶微分方程
一、y(n)f(x)型的微分方程
解法积分n次
例1求微分方程ye2xcosx的通解
第二步两端积分 设积分后得G(y)F(x)C
第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)
G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
例1求微分方程 的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
两边积分得
即ln|y|x2C1
从而
因为 仍是任意常数把它记作C便得所给方程的通解
2求微分方程y2xy2的通解
因为y是未知的所以积分 无法进行方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为 两边积分得
或
可以验证函数 是原方程的通解
一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成
g(y)dyf(x)dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶
x3yx2y4xy3x2
y(4)4y10y12y5ysin2x
y(n)10
一般n阶微分方程
F(xyyy(n))0
y(n)f(xyyy(n1))
设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
化简得
于是非齐次线性方程的通解为
或
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和
例2求方程 的通解
解这是一个非齐次线性方程
先求对应的齐次线性方程 的通解
分离变量得
两边积分得
lny2ln (x1)lnC
齐次线性方程的通解为
yC(x1)2
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、
2、
3、
4、
教学难点：
1、
2、
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程
解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)
(1)
此外未知函数yy(x)还应满足下列条件
x1时y2简记为y|x12(2)
把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)
的函数即 则称这方程为齐次方程
下列方程哪些是齐次方程？
(1) 是齐次方程
(2) 不是齐次方程
(3)(x2y2)dxxydy0是齐次方程
(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程
(5) 是齐次方程
齐次方程的解法
在齐次方程 中令 即yux有
分离变量得
两端积分得
求出积分后再用 代替u便得所给齐次方程的通解
令zy1n得线性方程
例4求方程 的通解
解以y2除方程的两端得
即
令zy1则上述方程成为
这是一个线性方程它的通解为
以y1代z得所求方程的通解为
经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程
例5解方程
解若把所给方程变形为
即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解所给方程
解对所给方程接连积分三次得
例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程 的解
解求所给函数的导数
将 及x的表达式代入所给方程得
k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0
这表明函数xC1cosktC2sinkt满足方程 因此所给函数是所给方程的解
例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解求满足初始条件
初始条件为
v|t00
方程分离变量得
两边积分得
即 ( )
将初始条件v|t00代入通解得
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
例4求微分方程 的通解
解方程可化为
分离变量得
两边积分得
即
于是原方程的通解为
作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3
齐次方程
如果一阶微分方程 中的函数f(x,y)可写成
初始条件为
i|t00
方程 为非齐次线性方程其中
由通解公式得
其中C为任意常数
将初始条件i|t00代入通解得
因此所求函数i(t)为
伯努利方程方程
(n01)
叫做伯努利方程
下列方程是什么类型方程？
(1) 是伯努利方程
(2) 是伯努利方程
(3) 是伯努利方程
(4) 是线性方程不是伯努利方程
伯努利方程的解法以yn除方程的两边得
解取O为坐标原点河岸朝顺水方向为x轴y轴指向对岸设在时刻t鸭子位于点P(x,y)则鸭子运动速度
故有
另一方面
因此 即
问题归结为解齐次方程
令 即xyu得
分离变量得
两边积分得
将 代入上式并整理得
以x|yh0代入上式得 故鸭子游过的轨迹方程为
0yh
将 代入 后的整理过程
作业：P309：1（1）（3）（5），2
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
xx0时yy0yy0
一般写成
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解
初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yf(xy)满足初始条件 的解的问题记为
积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
§
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程