2015微积分(上)练习册修改
《微积分初步》形成性考核册题修改正式版
《微积分初步》形成性考核册题修改正式版一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞Y 提示：关于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也确实是3≠x ； 关于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；因此函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞Y 2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：关于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也确实是5≠x ； 关于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；因此函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(---Y 提示：关于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠+x ，也确实是1-≠x ； 关于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 关于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ；因此函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---Y4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x 提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，因此6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x 是在0≤x 区间，应选择22+x 进行运算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案： 12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，因此1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情形之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f xx → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
2015微积分上试题
一、填空题（每小题4分，共20分）1）设()()3sin 11111ax x x f x x e x ⎧-<⎪=-⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a =ln 2。
2）设4arctan y x x =，在1x =处对应的微分dy =12dxπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
3）设()f x 在[0,)+∞上可导，()00f =，且其反函数为()g x ，若()()30f xg t dx x =⎰，则()f x =232x 。
分析：()()30f xg t dx x =⎰两边关于x 求导得()()()()()22233332x f x g f x x f x x x f x x f x C '''=⇒=⇒=⇒=+⎡⎤⎣⎦4）设函数()f x 连续，且()()12011f x x f x dx x =++⎰，则()f x =2112xx π++。
分析：设()1C f x dx =⎰，则有()211f x Cx x =++ ()1120011422C C f x dx Cx dx C x ππ⎛⎫==+=+⇒= ⎪+⎝⎭⎰⎰。
5）函数y []1,1-上的平均数为1124π-=⎰。
二、解答下列各题（每小题5分，共15分）1）用极限的定义证明11lim22x x x →+=-- 证明：任取0ε>，因为()()311321222x x x x x x -+--==---- 无妨设114x -<，则有3544x <<，此时133122444x x -<-<-⇒-> ()3281113234x x x x ε-<-=-<-取13min ,48εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当01x δ<-<时恒有()122x x ε+--<- 所以11lim22x x x →+=--。
2）求极限01cos 1lim sin x x x x x→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解：原式232000sin cos sin cos sin 1lim lim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x →→→--==== 3）求极限2112limsin 2sin sin n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭解：原式[]110011limsin sin cos sin sin1cos1nn k k k x xdx x x x nn n →∞==⋅==-+=-∑⎰ 三、计算下列各题（每小题6分，共18分）1）设()2sin cos f x x x x =，求()()20150f。
2015微积分考试题及答案复习题及答案试题库
kx x
1
， C是常数 k C C, , , , , t an x C c oC x t C, C, , , 1 ,
1 ln x
arcx tan C ar cx si n C x si n C c xo C s s e xdx c c sxdx c sec x csc x C, C,
2 2
1 x
2
第 1 页 共 30 页
3 .................... ...................... 3 4 8 .... 8 9 10 13 13
（二）无界函数的反常积分
. ............................
15 16 16 17 18 18 18 20 20 21 22 22 22 23 23
如果 定积分 ,记作
f x dx
（ 2 ） 不 定积分得基本性质 1．
F x
C,
d dx
3。
f x dx Af x
f
x 2。 F dx
'
x dx
F x
C
Bg x
A f x dx
B g x dx.
（ 3）基本不定积分公式表一
第 3 页 共 30 页
(1)k d x （2 ) x d x （3） (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 x dx dx 1 x dx
co xdx s s ixdx n dx c o sx dx s t
(11) csc x cot xdx (12) a dx (13) shxdx (14) chxdx (15) (16) 1 ch x 1 sh x
2 2 x
a
x
ln a chx
微积分第一章课外习题参考答案
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
微积分练习册(上)
·1·习题1-1 函数1. 填空题： （1）()x y 32loglog =的定义域 。
（2）523arcsin 3x x y -+-=的定义域 。
（3）xx y +-=11的反函数 。
（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x f ，则=)(x f 。
2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3, sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。
3. 指出下列函数的复合过程。
（1）xey 1=（2）xey 3sin=（3）()[]12ln arcsin +=x y4. 设()x f 为定义在（-L,L ）内的奇函数，若()x f 在（0，L ）内单调增加，证明：()x f 在（-L,0）内也单调增加。
5. 设()⎩⎨⎧<≥=0, 10, x x x x f （1）求()1-x f ；（2）求()()1-+x f x f ，（写出最终的结果） 6. 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a 公里内，每公里k 元；超过a 公里，超过部分每公里54k 元，求运价m 和里程s 之间的函数关系，并作出此函数的图形。
7. 某商店年销售某种产品800件，均匀销售，分批进货。
若每批订货费为60元，每件每月库存费为0.2元，试列出库存费与进货费之和p 与批量x 之间的函数关系。
习题1-2 常用的经济函数1. 某车间设计最大生产力为月生产100台机床，至少要完成40台方可保本，当生产x 台时的总成本函数()xx x c102+=（百元），按市场规律，价格为x p 5250-=（x 为需求量），可以销售完，试写出月利润函数。
2. 某工厂生产某种产品年产量为x 台，每台售价为250元，当年产量在600台内时，可全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可再多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。
高等数学微积分习题册上册答案
|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
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一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε
2015微积分考试题及答案复习题及答案试题库（带答案）
微积分基础知识复习资料目录一、不定积分 (3)（一）不定积分概念，第一换元积分法 (3)（二）第二换元积分法，分部积分法 (4)二、定积分 (8)（一）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 (8)（二）定积分的几何定义 (9)（三）定积分的基本性质 (10)三、反常积分 (13)（一）无穷限的反常积分 (13)（二）无界函数的反常积分............................. 15 四、微分方程 ...........................................16 （一）微分方程的基本概念............................. 16 （二）可分离变量的微分方程...........................17 四、齐次方程 ...........................................18 （一）齐次方程 ...................................... 18 （二）可化为齐次的方程............................... 18 五、一阶线性微分方程 ...................................20 （一）线性方程 ...................................... 20 （二）伯努利方程 .................................... 21 六、可降阶的高阶微分方程................................22 （一）()()n y f x 型的微分方程...........................22 （二）(,)y f x y 型的微分方程..........................22 （三）(,)yf y y 型的微分方程..........................23 七、题型分析 ...........................................23一、不定积分（一）不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数F x与f x在区间,a b内有定义，对任意的,x a b，有'F x f x或dF x f x dx，就称F x是f x在,a b内的一个原函数。
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《微积分（上）》练习册学院：专业：年级：班级：学号：姓名：第一章 函数 基础练习题（作业）一、填空题：1．11111y x =++的定义域.2．1arctan y x=的定义域 . 3．若cos =y x ，[2,]∈--x ππ，则其反函数为 .4．已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则=)(x f .二、 指出各组函数能否构成复合函数，为什么？1．arcsin =y u ，21=+x u x2．ln =y u ，sin 1=-u x三、求由所给函数构成的复合函数.1．2arccos ,ln ,1y u u v x ωω====-；2．2ln(1),sin ,2 1.=+==+y u u v v x四、指出下列函数的复合过程.1．ln cos x y e =2．21xy e +=3．()[]12ln arcsin +=x y五、对下面两个分段函数，回答相应的问题 （1）()22 , 0 , 0,()2 , 0 , 0x x x x f x g x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩，求()()f g x .（2）()22 , 11 , 1<⎧=⎨-≥⎩x x f x x x 求()-f x ，并给出()()f x f x +-的表达式.六、证明题证明函数21()=f x x函数在(0,1)内无界.第二章 极限与连续 基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,3572．11111,,,,,2345-- 3．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n nn n nn a n 为奇数为偶数§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限：1．lim x x e →-∞2．2lim tan x x π→3．lim arctan →-∞x x4．01lim x x+→-二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩……，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？三、设()tan 11x f x e =+，求 2x π→时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在。
四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在。
1．绝对值函数()||=f x x2．取整函数()[]=f x x3．符号函数()sgn =f x x§2.3 无穷小量与无穷大量一.判断对错并说明理由,错误的举反例说明：1．1sin x x是无穷小量.2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量.3．任意两个无穷小量都可进行比较。
4．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量.二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：1．221x x +-， 2．1ln tan x3.22623x x x x ----三、当0+→x 时，2x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？四、利用无穷小量与极限的关系证明：000lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=.§2.4 极限的性质与运算法则一、如果0lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得____________成立。
（可多选） （1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-<f x A ，>0ε∀.二、求下列函数的极限1．113(2)lim 3(2)n n n n n ++→∞+-+- 2．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n3．2134lim 1x x x x →+-- 4．3113lim 11x x x →-⎛⎫- ⎪++⎝⎭5．)lim 2x x x →+∞ 6．(lim x x →∞（提示：有理化）三、求,,a b c ，使得220cos x ax bx c x x →++-当时，是比高阶无穷小。
四、是否存在常数a 使得3223+3lim 2x x ax a x x →-+++-存在？如果可以是求出a 和极限值？§2.5 极限存在性定理与两个重要极限一、判断题：1．1sin lim1x x x→= 2．1sin(1)lim 11x x x →-=- 3．sin lim 1x x x→∞= 4．1lim sin 1x x x→∞= 5．01lim sin 1x x x→= 6．01lim(1)x x e x →+= 7．1sin 0lim(1sin )x x x e →+=8．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1x x x x x x e +-都是x 的等价无穷小.二、求下列函数极限：1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim 2x x x →--3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭5．111lim x x x -→ 6．22lim 1xx x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭7．2301limln(1)x x x x x→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+三、求极限222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ .四、设222111123n u n =+++⋅⋅⋅+，证明数列{}n u 的极限存在。
五、设112,(4)3(2,3),lim .n n n n n x x x x n x -→∞=+-== 试求§2.6 函数的连续性一、填空题1．设函数()()xx x f -=1ln ，若补充()=0f 可使()x f 在0=x 处连续. 2．1=x 是函数23122+--=x x x y 的第 类间断点，且为 间断点. 3．0=x 是函数tan =x y x的第 类间断点，且为 间断点. ()⋯±±==2,1k k x π是函数tan =x y x的第 类间断点，且为 间断点. ()⋯±±=+=2,12k k x ππ是函数tan =x y x 的第 类间断点，且为 间断点. 4．a x =是函数a x ax y --=的第 类间断点，且为 间断点.5．0=x 是函数xy 1cos 2=的第 类间断点.二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：1．221cos ,0()1,0x x f x x x x -⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩2．1()1arctan f x x x =-3. ()f x =四、sin ,0(),01sin ,0xx xf x a x b x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩，确定,a b 使 1．()f x 在0x =处有极限； 2．()f x 在0x =处连续。
五、()()(1)-=--x e bf x x a x ，确定,a b 使同时满足（1）0x =是()f x 的无穷间断点； （2）1=x 是()f x 的可去间断点。
六、设()f x 在[,]a b 上连续，且()≤f a a ，()≥f b b ，证明在区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()ξξ=f 。
第二章 极限与连续 基本内容与思考题基本内容：一、数列的极限 l i m n n a A →∞=1．直观定义：对数列{}n a 存在常数A ，使得当n 无限增大时，n a 无限趋近于A ． 2．分析定义：数列{}n a 和常数A ，对任意给定的0ε>，存在正整数N ，使得当n N >时，恒有n a A ε-<.二、函数的极限 0l i m ()x x f xA →= 1．直观定义：当x 趋于0x 的过程中，函数 ()f x 无限接近常数A ．2．分析定义：函数()f x 和常数A ，对任意给定的0ε>，存在0δ>，使得当00||x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<.3．单侧极限：0lim ()x x f x A +→=；0lim ()x x f x A -→=. 4．极限存在的充要条件：0lim ()x x f x A →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→==. 5．x →∞时的极限及单侧极限：lim ()x f x A →∞=；+lim ()x f x A →∞=；lim ()x f x A →-∞=.三、无穷小量1．概念：在某极限过程中极限为零的变量. 2．基本性质：（1）无穷小量与极限：lim ()f x A =⇔()f x A α=+,α为相同极限过程下的无穷小； （2）有限个无穷小量的和、差仍为无穷小量； （3）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量； （4）无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量；（5）无穷小量除以极限存在且不为零的变量仍为无穷小量. 3．无穷小量比较：设α,β为相同极限过程下的无穷小量，且lim A αβ=，则 （1）当0A =时，α是β的高阶无穷小量；（2）当0A ≠时，α是β的同阶无穷小量.特别地,当1A =时,α是β的等价无穷小量. 4．等价无穷小代换定理：求两个无穷小量之比的极限时，分子分母的因子都可用等价无穷小量来替代，可使计算简化.5．无穷大量的概念：在某极限过程中绝对值无限增大的变量.6．无穷小量与无穷大量的关系：在同一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；不为零的无穷小量的倒数是无穷大量.四、极限的性质和运算 （lim ()f x 泛指函数极限的任何一种形式） 1．唯一性：如果极限lim ()f x A =存在，则唯一.2．局部有界性如果lim ()f x A =，则存在极限点的某个邻域，使得函数()f x 有界. 3． 局部保号性：如果lim ()0f x A =>，则存在极限点的某个邻域，使得函数()0f x >. 4．不等式性质：如果lim ()f x A =，lim ()g x B = 且()()f x g x ≤，则A B ≤. 5．极限运算法则：若lim ()f x A =，lim ()g x B =，则 （1）lim[()()]f x g x A B ±=±；（2）lim ()()f x g x A B ⋅=⋅； （3）lim ()kf x kA =，k 为常数；（4）lim[()]nnf x A =； （5）()lim()f x Ag x B=，()0g x ≠，0B ≠. 五、极限存在性定理1．两面夹定理：lim ()lim ()f x g x A ==,且在极限点的某邻域内()()()f x h x g x ≤≤,则lim ()h x A =.2．单调有界定理：单调有界数列必有极限. 六、两个重要极限1．0sin lim1x x x →=，由该极限得，当0x →时，sin x x ，tan x x ，211cos 2x x - ；2．1lim(1)x x e x→∞+=，由该极限得，当0x →时，ln(1)x x + ，1xe x - .七、函数连续和间断的概念1．函数点连续的直观定义：函数在一点处当自变量变化很小时，函数值的变化也很小. 2．函数点连续的增量定义：函数()y f x =，在0x 点，当自变量的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，即0lim 0x y ∆→∆=.3．函数点连续的极限定义：函数()y f x =，在0x 点的某邻域内，有00lim ()()x x f x f x →=.4．函数在一点单侧连续的定义：在0x 点右连续⇔00lim ()()x x f x f x +→= 在0x 点左连续⇔00lim ()()x x f x f x -→= 5．函数区间连续的定义：函数()y f x =在开区间(,)a b 内处处连续，且在a 点右连续，在b 点左连续，则称函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续．6．函数的间断点的定义：函数不连续的点． 7．函数间断点的类型：（1）第一类间断点：左右极限都存在的间断点．包括可去间断点和跳跃间断点． （2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点．八、连续函数的性质1．连续函数经四则运算，反函数，复合函数后所得函数仍是连续函数． 2．初等函数在其定义区间内必连续． 3．闭区间上连续函数的基本定理：（1）最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．（2）零值定理；闭区间上的连续函数在两端点处函数值异号,则区间内至少有一个零点. （3）介值定理：闭区间上的连续函数，可取到介于最大值和最小值之间的任意值．第二章极限与连续 综合练习题一、填空题1．n →∞________.2．若21lim 11x x x b x →∞⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，则b =________.3．若当0x →时，1cos x -与2sin 2xa 是等价无穷小，则a =________. 4．已知25lim232n a bn n →∞++=-，则a =_____，b =_____. 5．设函数),()(+∞-∞+=在bxe a xx f 内连续，且0)(lim =-∞→x f x ，则常数a,b 应满足________.6．若2,0()2,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，2,0(),0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则0lim [()]x g f x →= .7．函数21()1ln f x x=-的连续区间为________ . 8．函数2()ln |1|x f x x -=-的无穷间断点为________.9．若21sin ,0,(),0,x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩…在R 上连续，则a =________. 10．函数()sin xf x x=在R 上的第一类间断点为________. 二、选择题1．设数列 1,1,1n n n n u n -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数,为偶数, 则当n →∞时，n u 是（ ）(A) 无界变量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量 (D) 无穷小量 2．若函数()f x 在某点0x 处的极限存在，则（ ） (A) ()f x 在点0x 处的函数值必存在且等于极限值 (B) ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值 (C) ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在 (D) 如果0()f x 存在的话，必等于极限值3．设0)(lim ,=-≤≤∞→n n n n n n x y y z x 且，则=∞→n n z lim （ ）(A) 存在且等于零 (B) 存在但不一定等于零 (C) 不一定存在 (D) 一定不存在4．函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的（ ）(A) 充分条件但不是必要条件 (B) 必要条件但不是充分条件(C) 充要条件 (D) 既不是充分条件也不是必要条件 5．0sin()sin limx x xββ→+-的值是 （ ）(A) sin β (B) cos β (C) 1 (D) 极限不存在6．n ）(A) 1 (B) 0 (C)12(D) 因为当n →∞时，分母为0，因此极限不存在 7．下列极限正确的是 （ ）(A) 01sinlim 11x x x →= (B) 1sinlim 11x x x→∞= (C) 01lim sin 1x x x →= (D) 1lim sin 0x x x→∞= 8．设函数在点0x 处连续，则下列陈述中不正确的是（ ） (A) ()f x 在点0x 处有定义 (B) ()f x 在点0x 处的左极限存在 (C) ()f x 在点0x 处可导 (D) ()f x 在点0x 处的值与0lim ()x x f x →相等9．方程410x x --=至少有一个根的区间是（ ） (A) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 1,12⎛⎫⎪⎝⎭(C) (2,3) (D) (1,2)10．设0()0,0x f x x ≠=⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ） (A) 可去间断点 (B) 无穷间断点 (C) 连续点 (D) 跳跃间断点三、计算题1．求下列极限：（1）limn →∞（2）2lim n n →∞（3）41sin 2lim1cos 4x xx π→+- （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2121ln cos lim x x x （5）lim x →-（6）01lim x x→（7）0x →（8）02sin2x →（9）2011arctanlimx x e x +→-+ （10）20sin lim tan 2x x x x→-（11） 20sin cos 1lim sin3x x x x x →+-- （12）220ln(1sin )lim (1cos )tan x x x x →++ （13）sin 0lim sin x x x e e x x →--（14）1121lim (22)nn n n +→∞- （15）11lim x x x -→ （16）lim 1nxn n x n →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭（17）22cot 0lim(1)xx x →+ （18）lim [ln(1)ln ]x x x x →+∞+- （19）0lim n +→（20）01x e →- （21）1sin lim4(1)x x x π→- （22）1x →（23）21ln lim1x xx →- 2．求kk x 为当0x →时的同阶无穷小。