复旦大学2016～2017学年《高等数学C上》第一学期期末考试试卷及答案
A卷
（装订线内不要答题）
1. (本题满分 42 分, 每小题 6 分) 计算下列各题:
(1) 设函数
由参数方程
,
和.
给出, 求
(2) 请确定常数 , 使得 导.
在
点可
1
(3) 计算积分
(4) 计算由
(
) 绕 轴一周所得的旋转体的体积.
kπ
1
π
0
π2(2k + 1)
= (kπ + x)(1 + cos(2x)) dx =
,
20
4
nπ
x sin2
x dx
=
n−1
π2(2k
+
1)
=
π2n2 .
0
4
4
k=0
π
π
(2) S0 = | sin t|p dt, S1 = t| sin t|p dt,
k,
0
0
(k+1)π
π
x| sin x|p dx = (kπ + x)| sin x|p dx = kπS0 + S1,
f x1
.
√ 3− 5 x1 = ln 2 ,
, x2
(2) lim (f (x) − x) = −1, lim (f (x) − x) = 0
x→−∞
x→+∞
y = x − 1, y = x.
x = 0.
f (x)
4. (1)
Rolle , f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0
n2π2
n2π2
x
lim 0 t| sin t| dt = S0
x→+∞
x2
2π
.
3
ξ1 ∈ (1, 2), ξ2 ∈ (2, 3), ξ3 ∈ (3, 4),
f (ξi) = 0 (i = 1, 2, 3);
η1 ∈ (ξ1, ξ2), η2 ∈ (ξ2, ξ3),
f (ηi) = 0 (i = 1, 2);
ζ ∈ (η1, η2)
f (ζ) = 0.
(2)
j
(x − j) (j = 1, 2, 3, 4),
x arctan x
1√+ sin2√t dt =
√ 1 − x2
+
1 2 − cos2 t d(cos t)
x arctan x 1
2 + 1 − x2
=√
+ √ ln √ √
+ C.
1 − x2 2 2 2 − 1 − x2
6. (1)
k,
(k+1)π
π
x sin2 x dx = (kπ + x) sin2 x dx
5. (1)
dx (1 − x2)3/2
x==sin t
1
x
cos2 t
dt
=
tan t
+
C
=
√ 1 − x2
+
C
(2)
arctan x
x
1
x
dx = arctan x √
−
√
dx
(1 − x2)3/2
1 − x2
1 + x2 1 − x2
x==sin t x√arctan x − 1 − x2
sin t
(5) 设过原点的直线同曲线
相切, 求此直线的斜率。
2
(6) 设
,求 .
(7) 设
, 问 在什么范围内时积分
收
敛.
3
2. (本题满分 10 分) 证明当
时
.
3. (本题满分 12 分) (1) 求函数 出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线
的极值点(需指 的渐近线.
4
4. (本题满分 12 分) 设
C.
C
x2 + 4x + 42
C A
x3 + 4x2 + 42x + 43
(−x)
,
(−x)
,
1
(−x)
,
11 1 1
f (x)
=
(x
−
1)(x − 2)(x
−
3)(x
−
4)
1
2
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 22 33 42 .
1 23 33 43
= 12(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
kπ
0
2
x = (n + α)π (0 ≤ α < 1),
1
n(n 2
−
1)πS0
+
nS1
=
nπ
t| sin t|p dt
0
≤
x
t| sin t|p dt
0
(n + 1)2π2
(n + 1)2π2
x2
≤
(n+1)π
t| sin t|p dt
0
=
1 2 n(n + 1)πS0 + (n + 1)S1 ,
dx et + 1 dx2 (et + 1)3
42
π2 (4)
(5)
3
√ 32
(6)
1 0
−1 0
4 1 (7) p < 4
2
2
−1 2 −7
2. f (x) = x arctan x − ln(1 + x2),
2x2
f (x) =
.
(1 + x2)2
f (0) = 0 x > 0
x f (x) = arctan x − 1 + x2 ,
f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)·
0
1
1
B
x+1
B
B @
x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
x+2 x2 + 2x + 22 x3 + 2x2 + 22x + 23
1 x+3 x2 + 3x + 32 x3 + 3x2 + 32x + 33
1
1
x+4
.
(1) 证明存在 使得
; (2) 计算
5. (本题满分 12 分) (1) 计算
;
(2) 计算
.
5
6. (本题满分 12 分) (1) 设 是正整数, 计算
;
(2) 证明对任何正实数 , 函数极限
存
在.
6
C
(2016-2017
A)
dy
et d2y
1
π1
1. (1) =
,=
(2) a = 1, b = −1 (3) + ln 2
f (x) > 0
x>0
f (x) > 0,
f (0) = 0
x > 0 f (x) > 0.
e2x − 3ex + 1
ex(ex + 1)
3. (1) f (x) = √
(ex − 1)2 , f (x) = (ex − 1)3 .
3+ 5 x2 = ln 2 .
f (x1) < 0, f (x2) > 0
2017高数C(上)A卷
1 x n t f t dt, x 0 F x x 0 在 0, 上连续又单调增加 n 0 。 0, x 0
2.设 f x 在 0,1 上二阶可导，且 f x 1 。已知 f x 在 0,1 内取到最大值
f 0 f 1 1 。
4.设函数 yx 由方程 y 1 xe y 确定，求 dy x0 。
5.
x ln 2 xdx
6.
1 2 1 2
1 x
dx
2 3
3
1 2 7. 设 AX b 为非其次线性方程组， r A54 3 ， ， ， 为方程解 , 3 ， 4 3 5 ，求方程组通解。 6 9
x 0
。
ln f x 2 1 ，则 f 0 x sin x
。
三、计算题 8 8 1. lim
x0
x2 1 1 x2
2. lim
x 0
1 2x 1sin
0 2 x
x2
ln 3 1 t dt
2
x
2
3. 设 f x e x cos x ，求 f n x 。
2 0
ln sin xdx =
。
1
2.
1
1 1 1 1 ln x x2 x
dx =
。
10 5 1 3. 设 A 8 4 1 ，则 A 1 = 7 4 1
4. 已知 f x 在 x 0 连续， lim
B x 0 是 g x 的第二类间断点 D g x 在 x 0 的连续
2017高等数学上试题及解答
法线斜率k法
=
1 2
,
法线方程为y 1 x 1 2, x 2y 3 0.
2
3. 函数f
x
x
2
cos
x在
0,
2
上的最小值m=
2
先求内部驻点 y 1 2sin x,令y 0,sin x 1 , x ,
26
f
6
6
3,
f
0
2,
f
2
2
,
ymin
f
2
.
2
4.
广义积分 1
解 令x 3sect,则dx 3sect tan tdt
x
x2 9
t
原式
3 tan 3sec
t t
3sec
t
tan
tdt
3
tan2 tdt 3
3
sec2 t 1 dt 3tan t t C
x2 9 3arccos 3 C. 或令 x2 9 t,即x t2 9,则dx t dt
sin x
4.设F
x
x
0
x
t
f
t
dt , 则F
x
A
A.
x
0
f
t
dt
B.
x
0
f
t dt
C. 0
D. f x
F
x
xx 0
tf
t
dt
=
x
0
xf
t tf
t dt
x
0
x
f
t dt
x
0 tf
t dt
x
x0
f
t
dt
x
复旦大学2014～2015学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
上，曲线上凸；在区间
e
3 2
,
上，曲线下凸。拐点为
e
3 2
,
3 2
e
3
；
（
装 订
（5） cos x
1 cos3
xC
；（6） ln 2 2
π
；（7）
X
5 8
1 1
；
线
3
2
6 1
内
不
（8）一定有解。
要
2．（本题满分 8 分） a 1 ， b 1。
答
2
题
3．（本题满分 8 分）（1） 4 ；（2）是极小值点。
x1 x2 a1,
（8）已知
a1
a2
a3
0
，问线性方程组
x2
x3
a2 ,
是否一定有解？请说明理由。
x3 x1 a3
3
2．（本题满分
8
分）
设函数
f
(x)
asixnxb,
cos x
x
1,
x 0, x 0 在 x 0 点可导，求常数
a 、 b 的值。
3．（本题满分
8
分）设函数
f
在 x 0 点附近有定义，且满足
6
复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（I）A 卷试题答案
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） t ；（2）0； 2
（3）在 (, 1]上单调减少，在[1, ) 上单调增加。 f (1) 17 为极小值； 12
（4）在在区间
0,
e
3 2
x
(t
1)(t
2)
高数期末考试题及答案复旦
停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。
通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。
二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。
三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。
停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。
•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。
•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。
2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。
•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。
3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。
当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。
4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。
通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。
四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。
宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。
五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。
复旦大学2011 ～2012学年《高等数学C上》第一学期期末考试试真题及答案
3. 设 y f x由方程 xy2 sin x3 y 3x 确定，求 dy 。
4． y arctan 3ex ，求 dy 。 d sin x 1, x 0
5. 设 f x x 1,0 x 1 ，求 f xdx 。
2x, x 1
1 1 2x
6. 2
dx
0 1 2x
xf
x
0
，则
lim
x 0
6
f x2
x
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
3．
A
0
0
2
1
0
，则
A
1
=
0 0 3 2 0
0
0
0
0
3
。 。 。
4． lim n 2n 3n
。
n
5．
x cos x
2
2
1
sin
2
x
dx
。
二、单选题（ 3 5 ）
1． lim xx0
f x 是
f x 在 x0 的某空心邻域内无界的（
1 x ln
x
dx
5． x ，有 f x f x，且 f x0 k 0 ，则 f x0 （ ）。
A．
1 k
B.
1 k
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
x 1 t 2 1 t 2 dt
1． lim 0 x0
x2 sin x
2．
cos2 x sin x dx
cos x 1 cos xesin x
A．
1 k
B.
1 k
答案：C
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
复旦数学专业真题试卷
复旦数学专业真题试卷由于我无法提供真实的复旦数学专业真题试卷，我可以为你模拟一份数学专业的试卷，以供学习和练习之用。
请注意，这份试卷是虚构的，仅用于示例。
复旦大学数学专业模拟试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 泰勒公式B. 拉格朗日中值定理C. 费马引理D. 牛顿-莱布尼茨公式2. 线性代数中，下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯矩阵D. 任意矩阵3. 集合{1, 2, 3}的子集个数是多少？A. 3B. 4C. 7D. 84. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在点x=-1处的导数是：A. -2B. -1C. 0D. 15. 欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ中，e的值是多少？A. 1B. 2.71828C. πD. √2...二、填空题（每题2分，共10分）1. 根据泰勒公式，函数f(x) = sinx在x=0处的泰勒展开式为：______。
2. 矩阵A = [a_{ij}]_{n×n}的行列式记作|A|，若|A| = 0，则称矩阵A为______。
3. 已知函数f(x) = ln(x)，求其在x=1处的导数f'(x)，结果为______。
4. 给定一个实数序列{a_n}，如果对于任意的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，|a_{n+1} - a_n| < ε，则称序列{a_n}是______。
5. 根据傅里叶级数，周期函数f(x)可以表示为______。
...三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述拉格朗日插值法的基本原理，并给出一个具体的例子。
2. 解释什么是特征值和特征向量，并说明它们在矩阵理论中的重要性。
3. 描述什么是连续性、可导性、可积性，并给出它们之间的关系。
...四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列不定积分：∫(3x^2 - 2x + 1) dx2. 求解下列线性方程组：\[\begin{bmatrix}2 & -1 &3 \\-1 & 4 & -2 \\3 & -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\6\end{bmatrix}\]3. 证明：对于任意的实数x，不等式e^x ≥ x + 1成立。
复旦大学16年高数C(上)(A)期末考试试题
复旦大学数学科学学院
2016～2017学年第一学期期末考试试卷
A卷
1.(本题满分42分, 每小题6分) 计算下列各题:
(1)设函数由参数方程, 给出, 求
和.
(2) 请确定常数, 使得在点可
导.
（
装
订
线
内
不
要
答
题
）
(3) 计算积分
(4) 计算由() 绕轴一周所得的旋转体的体积.
(5) 设过原点的直线同曲线相切, 求此直线的斜率。
(6) 设, 求.
(7) 设, 问在什么范围内时积分收敛.
2. (本题满分10分) 证明当时.
3.(本题满分12分) (1) 求函数的极值点(需指
出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线的渐近线.
4. (本题满分12分) 设.
(1) 证明存在使得; (2) 计算
5.(本题满分12分) (1) 计算;
(2) 计算.
6.(本题满分12分) (1) 设是正整数, 计算;
(2) 证明对任何正实数, 函数极限存在.。
高等数学微积分上C答案
任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 1 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：C一、 填空题（10分/2分） 1、a=12、2e3、(sin 22cos 2)x x x +4、01=+-y x 或11(0)y x -=-5、0二、 选择题（20分/2分）.1、A2、D3、B4、C5、A6、C7、B8、A9、D1010、、C三、 计算题（每小题7分，共35分）.1.1. 223lim()21x x x x +®¥++； 解: 223lim()21x x x x +®¥++2212lim()21x x x x +®¥++=+ 22lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim+¥®）---3分13221lim(1)12x x x ++®¥=++————————————————————————————————————————————55分132211lim(1)lim(1)1122x x x x x +®¥®¥=+×+++13221211lim (1)[lim(1)]1122x x x x x +®¥+®¥=++++32e 1=×e =．——————————————————————．——————————————————————77分 2.2. 202lim(sin )xxx t dtt t t dt®+òò任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 2 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：202002lim (sin )2lim (sin )2lim sin11xx x x x t dtt t t dtx x x x x x®®®+=+=+=òò————————————55分 ——————————————————————77分3.3. 设242arcsin x xx y -+=，求y ¢.解：22242)4(22112arcsin x x x x x x y -¢-+¢÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+=¢ ---3分 2242)2(212112arcsin x x x x x --+÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+= ---5分 22442arcsin x xx xx---+=2arcsin x =.——————————————————————77分 4. 4.ò-12x x dx =211sec sec tan sec tan 1arccos dxxx x tt tdt t t dt t C Cx-=××==+=+òòò令---5分——————————————————————77分5.5. 1x e dx ò令t x =,则2,2x t dx tdt ==，当0x =时，0t =；当1x =时，1t =。
2016-2017第一学期考题答案(1)
2016-2017高数试题答案一、1. 设11ln(1)10()0x x x f x ex -+-<≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，求()f x 的间断点，并指出间断点的类型。
解 0lim ()lim ln(1)0x x f x x --→→=+= 1110lim ()lim x x x f x e e ++--→→==所以0x =为跳跃间断点； ……………………..3分 1111lim ()lim 0x x x f x e ---→→==1111lim ()lim x x x f x e++-→→==∞所以1x =为第二类间断点。
………………………….6分 2.求,a b 的值，使点（1,3）为曲线32y ax bx =+的拐点解 232,62y a x b x y a x b '''=+=+， ………………………………..3分 则 6203a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得 39,22a b =-=。
…………………….6分 3.已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0, 0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞解 2(a r c t a n)21,(0)11x y e y x-''=⋅=+ 切线方程为 y x =， …………………………………3分2()(0)2lim ()lim 2(0)21n n f f n nf f nn→∞→∞-'=== …………………..6分 4.求定积分1解 换元tan x t =23322144sec cos tan sec sin tdt tdt t t tππππ==⋅⎰⎰ ………………………3分341sin tππ=-=…………………………………6分 或 换元1x u=11==………………….3分=…………………………..6分5. 求不定积分2x xe dx -⎰解2221122xx x xe dx e x e dx ---=-+⎰⎰ ………………..3分 221124x x e x e C --=--+。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。