最新微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。

（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将 。

6．若,11),(+-==x x u u f y 且,1)('u u f =dydx = 。

三、计算题（每小题6分，共42分）：1、 求11ln (ln )lim xx ex -→2、1[(1)]lim xx x ex →∞+-3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4、5、ln(2)x xe dx e +⎰ 6、3cos sin x x dx x ⎰7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（1） 求边际收益函数和边际成本函数； （2） 求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形 六、证明题（每题5分，共计10分）1、 设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 12y x =-２． 2 3．21ln C x x-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．221dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求11ln (ln )lim xx ex -→解：令11ln (ln )xy x -=，则1ln ln(ln )______21ln y x x=-分00011ln limln lim ln(ln lim 11ln x x x x x y x x x →→→==--）=-1-----3分 10lim x y e -→=-----1分3、1[(1)]lim xx x ex →∞+-解：原式= 11[(1)1]2lim x x x e x →∞+------分11111lim(1)241lim xx x x x e e x e x→∞→∞-+==+=-----分 3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c.解：由2211ax x cbx -+=+ 3分 得a=0，b=-2，c 取任意实数。

3分 4解：12==分1arc 2C = 3分5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2x x x x xxx e dx e de e e dx e e --+=-+=-+++⎰⎰⎰ 2分 12ln(2)22x x xxx e e e e dx e -+-=-+++⎰ 2分11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22x x x x x e e x e C e e x C--=-++-++=-++++ 2分6、解：32cos 11sin 2sin x x dx xd x x=-⎰⎰ 2分221[csc ]2sin xxdx x=--⎰ 2分2112sin 2x ctgx C x =--+ 2分 7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '解：2()()0()xf x f x x x x '-'≠=当时，g ，这时()g x '连续 2分200()(0)()(0)10(0)lim lim (0)22x x f x xf f x f x f x x →→'''--'''====当时，g 3分 所以2()(),0,()1(0),0.2xf x f x x x g x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩ 1分四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（3） 求边际收益函数MR 和边际成本函数MC ； （4） 求使销售利润最大的商品单价。

解：（1）212008,5;MR PQ P P MC ==-= 3分 （2）利润函数2()812408500,L P PQ C P P =-=-+- 1分155()1612400,2L P P '=-+=令得P=()160,L p ''=-<唯一驻点，又 2分P=155/2时利润最大。

2分五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形 答案： （1）定义域是()()1,,11,=+∞⋃∞-x 是间断点 1分 （2）渐近线因,0)1(122lim =--∞→x x x 故y=0为水平渐近线 因,)1(1221lim ∞=--→x x x 故x=1为垂直渐近线 2分(3)单调性、极值、凹凸及拐点 ,)1(23'--=x x y 令,0'=y 得x=0 ,)1(244''-+=x x y 令,0''=y 得21-=x再列表'y ''y1)0(-=f 是极小值；拐点是)89,21(--. 6分(4)选点当21=x 时，y=0;当23=x 时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，45=y 1分(5)描点作图 略 2分六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

证明：设(),f x k '=在（a ，b ）内任取一点x ，在区间[a ，x]上由拉格朗日中值定理有：()()()()()f x f a f a x k a x a x ξξ'-=-=-<< 2分则()()(,())f x kx ka f a Ax B A k B ka f a =-++=+=-=+其中 2分当x=a 时，上式也成立。

1分2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

证明：在0,)+∞（内任取一点x ，则()[0]f x x 在，上满足拉格朗日中值定理条件， 1()(0)(),f x f f x kx ξ'-=>()(0),f x kx f >+即 3分令11(0)0,()0f x f x k=->>且，由f （x ）的单调性和零值定理知原命题成立。

2分。