二阶微分方程的教案
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
微分的概念教案首页
微分的概念教案首页教案作者：[你的名字]教学目标：1. 学生能够理解微分的定义和概念。
2. 学生能够运用微分的基本规则和性质进行计算。
3. 学生能够解决实际问题，应用微分的概念。
教学重点：1. 微分的定义和概念。
2. 微分的基本规则和性质。
3. 微分的应用。
教学难点：1. 微分的概念的理解和运用。
2. 微分的基本规则和性质的掌握。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 教案和教学资料。
3. 练习题和案例。
教学过程：第一章：微分的定义1.1 引入微分的概念通过实际例子引入微分的概念，如物体在某一时刻的瞬时速度。
引导学生思考微分的意义和作用。
1.2 微分的定义给出微分的定义，即函数在某一点的切线斜率。
解释微分的符号“d”表示微小变化的意思。
1.3 微分的性质强调微分的几何意义，即切线斜率。
引导学生理解微分的正负号表示函数在该点的增减性。
第二章：微分的计算规则2.1 基本函数的微分引导学生回顾基本函数的导数公式。
强调导数与微分的区别和联系。
2.2 导数的运算法则介绍导数的四则运算法则。
举例说明导数的运算法则的应用。
2.3 复合函数的微分引入链式法则，解释复合函数的微分计算方法。
引导学生理解复合函数微分的几何意义。
第三章：微分的应用3.1 微分与切线方程引导学生运用微分求解切线方程。
解释切线方程的求解过程和应用。
3.2 微分与函数的增减性引导学生运用微分判断函数的增减性。
举例说明函数的增减性与微分的关系。
3.3 微分与实际问题通过实际问题引入微分的应用，如最小值问题。
引导学生运用微分解决实际问题。
第四章：微分的进一步应用4.1 微分与曲线的切线引导学生运用微分求解曲线的切线方程。
解释曲线切线与微分的关系。
4.2 微分与函数的极值引导学生运用微分判断函数的极值。
举例说明函数的极值与微分的关系。
4.3 微分与实际问题的解决通过实际问题引入微分的应用，如最大值问题。
引导学生运用微分解决实际问题。
第五章：微分的综合应用5.1 微分在物理学中的应用引导学生回顾物理学中的微分应用，如速度和加速度。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
一、前言教学目的：使学生了解高等数学的基本概念、方法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
重点：高等数学的基本概念、方法和应用。
难点：理解并掌握高等数学中的抽象概念和方法。
二、极限与连续教学目的：使学生了解极限的概念，掌握极限的计算方法，理解函数的连续性。
重点：极限的概念和计算方法，函数的连续性。
难点：理解极限的直观意义，掌握无穷小和无穷大的概念。
三、导数与微分教学目的：使学生了解导数的概念，掌握导数的计算方法，理解导数在实际问题中的应用。
重点：导数的概念和计算方法，导数在实际问题中的应用。
难点：理解导数的几何意义，掌握高阶导数的计算方法。
四、积分与不定积分教学目的：使学生了解积分的概念，掌握积分的计算方法，理解积分在实际问题中的应用。
重点：积分的概念和计算方法，积分在实际问题中的应用。
难点：理解积分的直观意义，掌握换元积分和分部积分的方法。
五、定积分与面积教学目的：使学生了解定积分的概念，掌握定积分的计算方法，理解定积分在实际问题中的应用。
重点：定积分的概念和计算方法，定积分在实际问题中的应用。
难点：理解定积分的性质，掌握定积分的计算技巧。
六、微分方程教学目的：使学生了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程的解法，理解微分方程在实际问题中的应用。
重点：微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，微分方程在实际问题中的应用。
难点：理解微分方程的解的存在性定理，掌握高阶微分方程的解法。
七、线性代数基本概念教学目的：使学生了解线性代数的基本概念，掌握矩阵的运算，理解线性方程组的解法。
重点：线性代数的基本概念，矩阵的运算，线性方程组的解法。
难点：理解线性空间和线性变换的概念，掌握矩阵的特征值和特征向量。
八、线性方程组与矩阵教学目的：使学生了解线性方程组的基本概念，掌握线性方程组的解法，理解矩阵的应用。
重点：线性方程组的基本概念，线性方程组的解法，矩阵的应用。
难点：理解线性方程组的解的存在性定理，掌握矩阵的逆矩阵。
二阶齐次微分方程的常数变易法教案
二阶齐次微分方程的常数变易法教案一、引言微分方程是数学中的重要分支之一，在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
而二阶齐次微分方程是微分方程中的一类常见类型。
为了解决这种类型的微分方程，我们可以使用常数变易法，本教案将介绍二阶齐次微分方程的常数变易法及其应用。
二、常数变易法的基本概念常数变易法是求解齐次线性微分方程的一种常用方法。
对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的二阶齐次微分方程，我们可以通过假设y =e^(mx)来求解，其中m为待定常数。
三、常数变易法的步骤常数变易法的求解步骤如下：1. 假设y = e^(mx)，其中m为待定常数；2. 求出y'和y''的表达式；3. 将y、y'和y''的表达式代入原微分方程中，消去e^(mx)并整理方程；4. 令方程等于零，并解出m的值；5. 根据m的值，确定y的表达式。
四、常数变易法的示例现以具体的二阶齐次微分方程为例，来演示常数变易法的应用过程。
例题：求解微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解：步骤如下：1. 假设y = e^(mx)，其中m为待定常数；2. 求出y'和y''的表达式：y' = me^(mx)，y'' = m^2e^(mx)；3. 将y、y'和y''的表达式代入原微分方程中：m^2e^(mx) - 4me^(mx) + 4e^(mx) = 0；4. 消去e^(mx)并整理方程：m^2 - 4m + 4 = 0；5. 令方程等于零，并解出m的值：(m - 2)^2 = 0，解得m = 2；6. 根据m的值，确定y的表达式：y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1、C2为待定常数。
五、常数变易法的应用举例常数变易法不仅可以用来解二阶齐次微分方程，还可以解决一些特殊形式的非齐次微分方程。
大学数学课程教案：研究微分方程
大学数学课程教案：研究微分方程1. 引言概述：在大学数学课程中，微分方程是一个非常重要的主题。
微分方程广泛应用于自然科学和工程学领域，如物理、化学、生物和工程等。
研究微分方程不仅有助于我们深入理解现实世界中的各种变化和现象，还为解决实际问题提供了一种有效的数学工具。
文章结构：本文将以以下几个部分来介绍微分方程及其应用。
首先在第二部分中，我们将回顾微积分的基本知识，以便更好地理解微分方程的概念和性质。
接着，在第三部分中，我们将探讨解微分方程的方法，并详细介绍变量可分离方程、线性一阶常微分方程和齐次线性二阶常系数微分方程的求解方法。
然后，在第四部分中，我们将关注数学建模中微分方程的应用，并说明复利问题与连续贬值问题、生物学中的增长模型和传染病模型，以及物理学中的运动问题和振动问题等案例。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容并讨论大学数学课程教案的意义和启示，同时提出未来研究的可能性。
目的：本文的主要目的是引导读者更加系统地学习和理解微分方程，并展示其在不同领域中的实际应用。
通过对微分方程基本概念和求解方法的介绍，读者将能够掌握解决实际问题所需的数学工具和技巧。
此外，本文还意在启发读者对于大学数学课程教案设计和未来研究方向的思考，以促进数学教育和科学研究的进步。
2. 微分方程的基本概念2.1 微积分回顾:微积分是数学的一个分支，涉及到导数和积分的概念。
在微积分中，我们研究函数的变化率和面积或曲线下的累计效应。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则表示了函数曲线下面积或累计效应。
2.2 微分方程的定义与分类:微分方程是描述未知函数和其导数（或偏导数）之间关系的方程。
它们广泛应用于自然科学、工程领域以及其他各个领域中，常用于建立模型来解释和预测各种现象。
根据方程中出现的未知函数和导数（或偏导数）的阶数，可以将微分方程分类为以下几类：- 常微分方程：只包含未知函数关于单变量（通常是时间）的导数。
- 偏微分方程：包含未知函数关于多个变量的偏导数。
第四章 微分方程讲稿
第四章 微分方程§4. 1 微分方程的基本概念导入：(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解):y =x 2+1.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.§4. 2 一阶微分方程导入：（8分钟）1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdxdy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 一、可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xyy x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m-=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv ,1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律. 解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh . 通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h gdt )200(262.02321--=π.两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π,其中C 是任意常数. 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π,5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ.因此)310107(262.0252335h h gt +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.二、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 提问：下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程.(2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dxdy+=10, 不是线性方程.(5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 1、齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例6 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-,或 dx e x Q e Ce y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例7 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例8 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dtdi LE , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t LE t Q m s i n )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 总结：1、微分方程的相关概念a 、微分方程的阶b 、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程a 、可分离变量的微分方程b 、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程a 、一阶线性齐次微分方程b 、一阶线性非齐次微分方程c 、常数变易法 教学后记：作业：。
高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程
再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1
x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后，将初始条件代入，解得关系式：
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h
设
t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。