山西省长治二中2020学年高一数学上学期期末考试试题

2020学年第一学期高一期末考试数学试题【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}13<<-=x x A ，{}1,0,1,2,3---=B ，则=⋂B A （ ） A ．{}1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3--- C ．{}0,1,2-- D ．{}1,2,3--- 2．为了解高一年级1200学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为60的样本，则分段间隔为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．603．用秦九韶算法计算多项式187654)(2345+++++=x x x x x x f 当4.0=x 的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A ．5，5B ．4，5C ．4，4D ．5，44．如图所示的程序框图中，输出S 的值是（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．140 5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶 6．已知4log ,2,21.331.3===--c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<7．已知函数)(x f 为奇函数，且0≥x 时，m x x f x ++=2)(，则=-)1(f （ ）A ．21-B ．21C ．2-D ．2 8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A ．14B ．8π C ．12 D ．4π9．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中2次的概率：先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次的概率为（ ）A ．0.8B ．0.85C ．0.9D ．0.9510．设奇函数()f x 在),0(+∞上为单调递减函数，且0)2(=f ，则不等式05)(2)(3≤--xx f x f 的解集为 ( )A ．]2,0()0,2[⋃-B ．),2[]0,2[+∞⋃-C ．),2[]2,(+∞⋃--∞D ．]2,0(]2,(⋃--∞ 11．已知函数()()2,log x a f x ag x x -== (0a >且1a ≠)，若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，且当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+-=1,2210,1)(2x x x x f x，若对任意的]1,[+∈m m x ，不等式)()1(m x f x f +≤-恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1- B ．21- C ．31- D ．31二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．将十进制数38化为二进制数为 .14．已知函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,3)(3x x x x f x ，若21)(=a f ，则实数=a .15．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ax y =， ),0(+∞∈x 是增函数的概率为 .16．已知函数22log (1),131910,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪⎨-+>⎪⎩()=若方程m x f =)(有4个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则=++))(11(4321x x x x ． 三、解答题：本大题共70分17．(本题满分10分)甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如右图所示 (1)写出甲、乙的中位数和众数；(2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.18．(本题满分12分) 某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份 2020 2020 2020 2020 2020 2020 年份代码t12 3 4 5 6 年产量y （万吨） 6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程∧∧+=a t b y ； （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：∑==∧---∑=ni ii i ni t ty y t t b 121)())((，t b y a ∧∧-=.参考数据:8.2))((61=--∑=i i iy y t t19．(本题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分； （2）用分层抽样的方法，在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．（本题满分12分)已知函数()()()2f x x x a =-+．（1）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （2）若()f x 在区间[]0,1上的最小值是2，求a 的值.21．（本题满分12分)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时,xx f 31)(-=.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）当]8,2[∈x 时，不等式0)log 5()(log 222≥-+x a f x f 恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知)(x f 满足)1(log )21()1(log )2()()(244x m x m x f x f +-+--=-+（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）当)(x f 为奇函数时，若方程221)2(ax f x +=-在0>x 时有实根，求实数a 的取值范围.2020学年第一学期高一期末考试数学试题答案1.C2.B3.A4.C5.D6.D7.C8.B9.D 10.A 11.B 12.C 13.)2(10011014. 32log 3或- 15.5316. 9 17. 解：（1）甲的中位数为2020202+=，众数为20；乙的中位数为192019.52+=，众数为23. （2）181920202122206x +++++==甲，()()()()()()2222222182019202020202021202220563S -+-+-+-+-+-==甲， 171819202323206x +++++==乙，()()()()()()22222221720182019202020232023201663S -+-+-+-+-+-==乙， 由于x x =甲乙，且22S S <甲乙，所以甲更为优秀.18.解（1）由题意可知：5.3=t ，7=y ，()5.175.25.15.0)5.0()5.1(5.2)(222222261=+++-+-+-=-∑=i i t t ，16.05.178.2)())((26161==---=∴∑∑==∧i ii i it ty y t tb ，所以44.65.316.07=⨯-=-=∧∧t b y a ∴y 关于t 的线性回归方程为44.616.0+=∧t y .（2）由（1)可得，当年份为2020年时，年份代码8=t ，此时72.744.6816.0=+⨯=∧y ，所以，可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.19.解（1）分数在[120，130）内的频率为1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=0.3．03.0=组距频率（直方图略）（2）平均分为：95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121． （3）由题意，[110，120）分数段的人数为：60×0.15=9人，[120，130）分数段的人数为：60×0.3=18人．∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，抽样比929186=+=k∴需在[110，120）分数段内抽取2992=⨯人，并分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取41892=⨯人并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件有：（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ）， （n ，c ），（n ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共15种． 事件A 包含的基本事件有：（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ）， （n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）共9种．∴53159)(==A P 20．（1）法一 因为()()()()2222f x x x a x a x a =-+=+--，所以， ()f x 的图象的对称轴为直线22a x -=．由212a-=，解得0a =， 法二 因为函数()f x 的图象关于1x =对称，所以()()02f f =成立，即20a -=，解得0a =．（2）函数()f x 的图象的对称轴为直线22ax -=． ①当2012a-<<，即02a <<时， 因为()f x 在区间20,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为22222a a f -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令2222a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此方程无解； ②当21122a a-=-≥，即0a ≤时，因为()f x 在区间[]0,1上单调递减，所以在区间[]0,1上的最小值为()()11f a =-+， 令()12a -+=，解得3a =-． ③当022≤-a，即2≥a 时，因为()f x 在区间[]0,1上单调递增，所以在区间[]0,1上的最小值为a f 20-=）（， 令22=a -，解得1-=a ，不成立. 综上， 3a =-．21（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=-0,310,13)(x x x f xx（2）当0≥x 时，xx f 31)(-=，则)(x f 在),0[+∞上单调递减，又)(x f 为R 上的奇函数，)(x f ∴在R 上单调递减，若0)log 5()(log 222≥-+x a f x f 在]8,2[∈x 上恒成立则)log ()(log )log 5(22222x f x f x a f -=-≥-，x x a 222log log 5-≤-∴在]8,2[∈x 上恒成立设t x =2log ，则]3,1[∈t ，此时关于t 的一元二次不等式052≤+-at t 在]3,1[∈t 时恒成立；设5)(2+-=at t t f ，由⎩⎨⎧≤≤0)3(0)1(f f 得6≥a ，所以a 的取值范围为),6[+∞。