2019-2020学年山西省长治二中高一下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
山西省长治市第二中学校2019-2020学年高一下学期摸底考试数学试题(理科)
8．已知
f
(x)
=
(2a −1) x + 3a，x
ax，x 1
1
，若
f
(x)
在R
上单调递减，那么 a
的取值范围是
A． (0，1)
B．
0，1 2
C．
14，1
D．
1，1 42
9．将函数
f
(
x)
=
cos
(
x
+
)
2
图象上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不
变），再把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 x = 对称，则 sin 等
则
=
2 T
=
2 4
=
1 2
，所以 y
=
3sin
1 2
x
+
，将点
0,
3 2
代入该式，
得3 2
= 3sin ，又
2
，故解得
= 6
，所以
y
=
3sin
1 2
x
+
6
；.................6
分
（2）由（1），令
3
sin
1 2
x+
6
= 3 ，解得 x
=
2 3
+ 4k (k
Z)，
2 三、解答题：本大题共 70 分 17．(本题满分 10 分)
已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0, + 时， f (x) = x2 − 2x . （1）写出函数 f ( x) 的解析式； （2）若方程 f ( x) = a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围.
2019-2020学年山西省高一下学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年山西省高一下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝（）A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}【答案】D【解析】先求得并集，再求补集．【详解】∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}.故选：D．【点睛】本题考查集合的综合运算，属于基础题．2．下列关于向量的概念叙述正确的是（）A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若//a cb c，则//a b，//C．若a和b都是单位向量，则a b=D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【答案】A【解析】由向量共线的定义，可知A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可.【详解】由向量共线的定义可知，A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不确定，故C不正确；向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确. 故选：A【点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目.3．已知01a b <<<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>【答案】D【解析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】01b <<，所以201b b <<<，又01a b <<<，所以2ab ab a >> ，故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，需熟记性质，属于基础题. 4．已知角α的终边过点(),2m -，若()1tan 5πα+=，则m =（ ） A ．25B ．10-C ．10D ．25-【答案】B【解析】由诱导公式可知()1tan tan 5παα+==，再由正切函数的定义知21tan5m ，即可求出m . 【详解】()1tan tan 5παα+==，角α的终边过点(),2m -，由正切函数的定义知21tan 5m ，解得10m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题.5．已知函数()24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 的最小正周期为πC ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 的图象关于直线52x π=对称 【答案】D【解析】分别求出函数的最大值，最小正周期，对称轴可判断A ，B ，D 的正误，根据定义可判断4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇偶性.【详解】 因为当sin 124x π⎛⎫+=⎪⎝⎭时，()f xA 错误； 因为()f x 的最小正周期2412T ππ==，故B 错误；因为()4242148x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，33()424428128x x f x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是奇函数，故C 错误；因为()24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴满足,242x k kZ ，当1k =时，52x π=，故D 正确. 故选： D. 【点睛】本题考查对正弦型函数性质的理解，属于基础题.6．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC = B ．2AD DE = C ．2AB AC AD+=D ．AB AC BC -=【答案】C【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C 7．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞【答案】B【解析】根据定义可得2230kx kx ++<的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立，再对k 分类讨论可得结果. 【详解】 由题意得22232301k kx kx kx x+=++<-的解集是空集，即2230kx kx ++≥恒成立.当0k =时，不等式即为30>，不等式恒成立； 当0k ≠时，若不等式恒成立，则0,Δ0,k >⎧⎨≤⎩即0,024,k k >⎧⎨≤≤⎩解得024k <≤. 综上可知:024k ≤≤.故选：B 【点睛】本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.8．已知样本9，10，11，m ，n 的平均数是9，方差是2，则mn m n --=（ ） A ．41 B ．29C ．55D ．45【答案】A【解析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【详解】 由题意可得9101195m n++++=，①()()()()()22222991091199925m n -+-+-+-+-=，②整理①式可得15m n +=，③整理②可得()()22995m n -+-=，④ 将③平方代入④，可得56mn =， 所以561541mn m n --=-=. 故选：A 【点睛】本题考查了平均数、方差的公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法错误的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列【答案】D【解析】根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 因为()31118a q+=，()2112a q q +=，所以321183122q q q +==+，所以2q ，12q =（舍），A 正确；所以12a =，2nn a =，()12122212n n nS +-==--，()8821251012S -==-，C 正确；又1222n n S S ++=+，所以{}2n S +是等比数列，B 正确；又11lg lg lglg 2n n n na a a a ++-==， 所以数列{lg }n a 是公差为lg 2的等差数列.D 错误； 故选D 【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人一宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每1小格都比前1小格加1倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就同意给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？如图所示的程序框图是为了计算上面这个问题而设计的，那么在“”和“”中，可以先后填入（ ）A ．2,64?S S n =B ．21,64?S S n =+C ．2,64?S S n n =+D ．63,2?S S n n =+【答案】B【解析】由题意可知，程序框图为求等比数列的和，结合输出的结果即可得解.【详解】由题可知，程序框图是为了计算236312222++++⋅⋅⋅+的值， 即等数列的公比为2，首项为1，结合循环结构，可知判断框内容为64?n ≤，由求和的式子可知循环结构的内容为21,S S =+故选：B ． 【点睛】本题考查了循环结构的简单应用，补全程序框图的应用，关键在于读懂题意，属于基础题.11．已知函数()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．35,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据题意求出02x ωπωπ<≤,由正弦函数的性质：只需35222ππωπ≤<，解不等式即可. 【详解】函数()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，∴02x ωπωπ<≤，只需2ωπ在第一个最小值后第二个最大值前，即35222ππωπ≤<，解得3544ω≤<， 即ω的取值范围是35,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数得性质，考查了基本知识得掌握情况，属于基础题.12．已知a R ∈，函数()243f x x x a a =-+-+在区间[]0,4上的最大值是3，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．(]3,-∞C ．(],1-∞D ．0,1【答案】C【解析】由二次函数性质知{}max()max (0),(2)f x f f =，得(0)3(2)3f f =⎧⎨≤⎩或(2)3(0)3f f =⎧⎨≤⎩，化简并解含绝对值的不等式，即得结果. 【详解】由二次函数性质知，(0)(4)f f =，所以函数()243f x x x a a =-+-+在区间[]0,4上的最大值{}max ()max (0),(2)3f x f f ==所以(0)3(2)3f f =⎧⎨≤⎩或(2)3(0)3f f =⎧⎨≤⎩，即3313a a a a ⎧-+=⎪⎨--+≤⎪⎩或1333a a a a ⎧--+=⎪⎨-+≤⎪⎩故31a a ≤⎧⎨≤⎩或13a a =⎧⎨≤⎩，即得1a ≤.故选：C. 【点睛】本题考查了利用函数最值求参数范围，考查了含绝对值的不等式的求解，属于中档题.二、填空题13．已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】12【解析】根据分段函数解析式，代入直接求解即可. 【详解】由2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，所以()12111log 12222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：12【点睛】本题考查了分段函数求函数值，考查了指数、对数的运算，属于基础题.14．两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为______. 【答案】13【解析】根据题意，求得满足题意的彩珠所在区间长度，根据几何概型的长度型问题的概率计算公式即可求得结果. 【详解】根据题意，设绳子两段为,A B ，作图如下：显然要满足题意，只需彩珠在CD 即可.根据几何概型的概率计算公式，满足题意的概率为：13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查几何概型的概率求解，属简单题. 15．已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【解析】变形()161161a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1617b a a b=++后，利用基本不等式可得. 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1617172425b aa b≥+⋅=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：25 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题. 16．已知函数2log (5),1()2,1xx x f x m x -+≤⎧=⎨->⎩在R 上存在最小值，则m 的取值范围是______.【答案】(],0-∞【解析】对分段函数进行分段讨论即可. 【详解】当1x ≤时，()()2log 5f x x =-+在(],1-∞上单调递减，在(],1-∞存在最小值()12f =，当1x >时，()2xf x m =-在()1,+∞上单调递增，若()f x 在R 上存在最小值，则只需满足()12log 152m -+≤-，∴0m ≤，故答案为：(],0-∞. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，也考查了数形结合的思想.三、解答题17．已知3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπαααππα⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+. （1）化简()fα；（2）若tan 2α=，求()2f α的值. 【答案】（1）cos α；（2）35-.【解析】（1）利用诱导公式，整理化简即可求得结果；（2）利用余弦的倍角公式以及同角三角函数关系，即可容易求得结果. 【详解】（1）3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπαααππα⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+ ()()cos sin tan tan sin ααααα-⋅⋅-=-⋅-cos α=；（2）()222222cos sin 22cos sin cos sin f cos αααααααα-==-=+ 221tan 1tan αα-=+ 1414-=+ 35=-.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系、以及倍角公式的应用，属综合基础题. 18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212nn n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 19．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos sin cos sin b A C c A B ac B += .(1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求AC 边上的高.【答案】（1）见解析（2）2【解析】分析：(1)由sin cos sin cos sin b A C c A B ac B +=，结合正弦定理可得sin sin A c B =，即a bc =；（2）由1cos 6C =，结合余弦定理可得1b =，从而可求得AC 边上的高. 详解：（1）证明：因为sin sin cos sin sin cos sin sin B A C C A B c A B +=， 所以sin cos sin cos sin B C C B c B += ， 所以sin sin A c B = ， 故a bc =.(2)解：因为3,c a bc ==，所以221093,cos 6b a b C b-==. 又1cos 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =，所以3,1a c b ===，所以AC 2=.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.20．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm ~150cm 之间），将他们的身高（单位：cm ）分成：[)90,100，[)100,110，[)110,120，…，[]140,150六组，得到如图所示的部分频率分布直方图.已知身高属于[)100,110内与[)110,120内的频数之和等于身高属于[)120130,内的频数.（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[)120130,内与[)110,120内的频率之差； （3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm 的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率.【答案】（1）0.45；（2）0.15；（3）12【解析】（1）利用小矩形的面积之和等于1即可求解.（2）设身高处于[)110,120内的频率为x ，身高处于[)120130,的频率为y ，根据题意列出方程组0.450.15x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组即可.（3）根据分层抽样求出身高处于[)130140,为5人，身高处于[)140150,的为1，分别进行标记，列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，身高区间为[)90,100的小矩形的面积为：0.01100.1⨯=； 身高区间为[)100,110的小矩形的面积为：0.015100.15⨯=；身高区间为[)130140,的小矩形的面积为：0.025100.25⨯=； 身高区间为[)140150,的小矩形的面积为：0.005100.05⨯=； ∴频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为：()10.10.150.250.050.45-+++=.（2）设身高处于[)110,120内的频率为x ，身高处于[)120130,的频率为y ， ∴0.450.15x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得0.15x =，0.3y =，所以0.15y x -=.（3）由于身高区间为[)130140,的频率与身高区间为[)140150,的频率之比为： 0.25:0.055:1=，∴需要从身高处于[)130140,选取5人，身高处于[)140150,选取1，身高处于[)130140,的5人记1,2,3,4,5，身高处于[)140150,的1人记A ， 从中任取3人的取法为：()()()()1,2,3,,1,2,4,1,2,5,1,2,,A()()()()()1,3,4,1,3,5,1,3,,1,4,5,1,4,,A A ()()()()()()1,5,,2,3,4,2,3,5,2,3,,2,4,5,2,4,,A A A ()()()()()2,5,,3,4,5,3,4,,3,5,,4,5,A A A A ，共20个，其中这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的为：()1,2,,A ()()1,3,,1,4,,A A ()()()1,5,,2,3,,2,4,,A A A ()()()()2,5,,3,4,,3,5,,4,5,A A A A ，共10个，所以这3人中恰好有一人身高不低于140cm 的概率：101202P == 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算公式，属于基础题.21．设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且33()f θ=7cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1） ()3)3f x x π=+；（2）2【解析】（1）由函数图象可得3=A π，进而可得=2ω，由函数过点7(,12π，可得3πϕ=，进而可得结果（2）3sin(2)035πθ+=-<和角的范围，可得4cos(2)35πθ+=-，7cos(2)cos(2)1234πππθθ+=++，利用两角和的余弦公式可得结果.【详解】（1）由图象可知，=A 373=(),41264ππππ--=∴=T T ，2==2ππωω⇒ ())ϕ=+f x x 过点7(,12π，7)2,123ππϕϕπ⋅+==+∈k k Z 0,3πϕπϕ<<∴=())3π=+f x x（2）()3)sin(2)0335ππθθθ=+=⇒+=-<f 又因为4(0,),2(,)2333ππππθθ∈+∈，所以42(,)33ππθπ+∈，4cos(2)35πθ∴+=- 7cos(2)cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 12343434πππππππθθθθ+=++=+-+43=()525210-⨯--⨯=【点睛】本题考查了通过三角函数的图象求解析式，利用三角恒等变换求三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题目.22．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足111a b ==，2252a b +=，且3210a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1122n n n c a b a b a b =+++，是否存在正整数k ，使n k c c ≥恒成立？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）存在正整数k ，2k =，证明见解析【解析】（1）根据题意，列出关于d 与q 的两个等式，解方程组，即可求出． （2）利用错位相减求出n c ，再讨论求出n c 的最小值，对应的n 值即为所求的k 值． 【详解】（1）解：设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的公差与公比分别为d ，q ，则5121210d q d q ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，解得212d q =⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是，21n a n =-，112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）解：由1122n n n c a b a b a b =+++，即()2111113521222n n c n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()23111111352122222nn c n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得：()2131111122122222n nn c n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而得12611992n n n c -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令161192n n n d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,得16713122261n n d n d n n ++==+++,显然0n d >、1131261n n d d n +=+<+所以数列{}n d 是递减数列， 于是，对于数列{}n c ，当n 为奇数时，即1c ，3c ，5c ，…为递减数列， 最大项为11c =，最小项大于29；当n 为偶数时，即2c ，4c ，6c ，…为递增数列，最小项为212c =-，最大项大于零且小于29， 那么数列{}n c 的最小项为2c ．故存在正整数2k =，使2n c c ≥恒成立． 【点睛】本题考查等差等比数列，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，并讨论其最值，属于难题．。
山西省长治市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷(I)卷
山西省长治市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·西湖期中) 在△ABC中，若（b+c）2﹣a2=3bc，则角A=（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°2. （2分） (2016高二上·曲周期中) 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是（）① ②a2＞b2③ac4＞bc4④ ＞．A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）A . 100，8B . 80，20C . 100，20D . 80，84. （2分）设直线l过点（﹣3，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A . ±B . ±C . ±D . ±5. （2分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A .B . -C .D .6. （2分） (2018高一下·虎林期末) 已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A . 3B . -2C . 2D . 不存在7. （2分）在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝（）A . 24B . 48C . 66D . 1328. （2分） (2019高二上·青岛期中) 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一下·大庆月考) 的三边长分别为3，4，6，则它的较大锐角的角平分线分得的两个三角形的面积之比为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·定远月考) 已知直线为圆在点处的切线，点为直线上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）A . 20B . 7C . 14D . 2112. （2分） (2020高一下·杭州期中) 已知O为锐角的外心，，，若，且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3），其中正确的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）抛物线y=2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是________．14. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 某产品共有100件，其中一、二、三、四等品的个数比为4：3：2：1，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从一等品中抽取8件，从三等品和四等品中抽取的个数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为________．15. （1分）已知实数m，n，x，y满足m2+n2=1，x2+y2=4，则my+nx的最小值为________16. （1分）已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二下·九台期中) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求 .18. （10分） (2019高二下·青冈期末) 《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：评分12345678910频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求观众评分的平均数？（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？（3）视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为10分的人数，求的分布列及数学期望.19. （10分）(2020高一下·揭阳月考) 设向量的夹角为且如果（1）证明：三点共线.（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.20. （10分） (2016高一下·大丰期中) 已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．21. （10分）(2019·泸州模拟) 已知等差数列是递增数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．22. （10分）已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .已知直线与曲线交于两点，且 .（1）求的大小；（2）过分别作的垂线与轴交于两点，求 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020年山西省长治市县第二中学高一数学理期末试卷含解析
2020年山西省长治市县第二中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数满足，则的最大值为 ( )（A）（B）（C）0 （D）参考答案：B略2. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选：C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题。
3. 若函数图象关于对称，则实数的值为A. B. C. D .参考答案：C略4. 在△ABC中，若内角和边长满足，，则角A =（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略5. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）（）A．B．C．D．参考答案：C6. 设角属于第二象限，且，则角属于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限参考答案：C7. 已知角的终边经过点，则A、B、C、D、参考答案：B根据正弦函数的定义得. 故选B.8. 等比数列{an}各项均为正数且,( )A. 15B.10C. 12D.参考答案：A略9. 集合A={1，3}，B={1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，4} C．{1} D．{1，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，3}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10. 函数在(-∞,+∞)上是减函数，则（）A . B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 幂函数f(x)的图象过点，则f(x)的解析式是______________．参考答案：设幂函数的解析式为，由题意可得：，解得：，即f(x)的解析式是.12. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．参考答案：500设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.13. 已知点在直线上，且点到原点与到直线的距离相等，则点的坐标为_____.参考答案：或14. 在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是．参考答案：（﹣，﹣2]考点：直线和圆的方程的应用；类比推理．专题：直线与圆．分析：①利用直线和圆相切的关系进行求解．②曲线x=表示圆x2+y2=4的右半部分，由距离公式可得临界直线，数形结合可得．解答：解：①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切，则圆心到直线的距离d=，即｜b｜=2，即b=，由x=得x2+y2=4（x≥0），则对应的曲线为圆的右半部分，直线y=x+b的斜率为1，（如图），设满足条件的两条临界直线分别为m和l，根据题意，曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1，因此其中两个交点必须在直线m″（过点（0，﹣2））和直线l″之间，设（0，﹣2）到直线m的距离为1，可得=1，解得b=﹣2，或b=2+（舍去），∴直线m的截距为﹣2，设直线l″为圆的切线，则直线l″的方程为x﹣y﹣2=0，由l到l″的距离为1可得=1，解方程可得b=，即直线l的截距为﹣，根据题意可知，直线在m和l之间，∴b的取值范围为：（﹣，﹣2]故答案为：，（﹣，﹣2]．点评：本题主要考查直线和圆的综合应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15. 数列{a n}的通项公式，则该数列的前项之和等于9．参考答案：99【考点】8E：数列的求和．【分析】将数列通项化简，利用叠加法，即可求得结论．【解答】解：∵，∴∴S n=a1+a2+…+a n=+…+=令，则n=99故答案为：9916. 已知，则．参考答案：－117. 求值：= ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
{高中试卷}山西省长治市第二中学高一下学期期末考试数学试卷[仅供参考]
![{高中试卷}山西省长治市第二中学高一下学期期末考试数学试卷[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/3df8c236524de518964b7df2.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：20XX —20XX 学年第二学期高一期末考试数学试题【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在ABC ∆中，7=a ，3=c ，3π=A ．则C sin 的值为( )A ．1633 B ．1433 C ．734 D ．1637 2．不等式2320x x -+-≥的解集是（ ）A ．{}|21x x x ><或B ．{}|21x x x ≥≤或 C ．{}|12x x ≤≤ D ．{}|12x x <<3．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，12=a ，6464=a a ，则公比=q ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．2 4．若实数b a ,满足条件b a >，则下列不等式一定成立的是 A ．ba 11< B ．22b a > C ．2b ab > D ．33b a >5．已知数列{}n a 为等差数列，若π41371=++a a a ，则=+)tan(122a a （ ） A ．33-B ．3C ．33 D ．3- 6．已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x ，则目标函数y x z +=的最小值为( )A ．0B ．1C ．2-D ．1-7．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项, 31-=a ，则=10S （ ）A ．18B ．24C ．60D ．908．若关于x 的一元二次不等式0122>++ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．()()+∞⋃∞-,10, B ．()1,0 C ．(]()+∞⋃∞-,10, D ．[]1,09．在ABC ∆中，边c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且满足B c a C b cos )3(cos -=，若4=⋅BA BC ，则ac 的值为 ( )A ．12B ．11C ．10D ．910．若a,b 是方程20(0,0)x px q p q -+=<>的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值为( ) A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 11．在ABC ∆中，AB ＝2，C ＝，则AC ＋BC 的最大值为（ ）A ．7B ．73C ．74D ．7212．对于数列{}n a ，定义na a a A nn n 12122-+⋅⋅⋅++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12+=n n A ，记数列{}kn a n -的前n 项和为n S ，若6S S n ≤对任意的*∈N n 恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡716,49 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,716 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,37 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,512 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC ∆中，32=a ,2=b ，3=∆ABC S ，则角=C ____.14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 15．已知正实数,a b 满足21a b +=，则112a b+的最小值为_______ 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,121==a a 且02312=++-++n n n n a S S S )(*∈N n ，记nn S S S T 11121+⋅⋅⋅++=)(*∈N n ，若()n T n ≥+λ6对*∈N n 恒成立，则λ的最小值为．三、解答题：本大题共70分17．(本题满分10分)已知等差数列{}n a 满足352,3a a ==．（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 设等比数列{}n b 满足11415,b a b a ==,求{}n b 的前n 项和n T .18．(本题满分12分)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足0sin 23=-A b a ．（1）求角B 的大小； （2）若5,7a c b +==，求ABC ∆的面积．19．(本题满分12分)已知数列{}n a 的前项和为，且2，，成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前项和n T ；20．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cosB 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.21．(本题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，121+=+n n a a ，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()221log 1n n b a +=+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .22．(满分12分)设数列{}n a ,{}n b ，已知24,5,3111n n b a b a +===+，241nn a b +=+()*∈N n ， (1) 求数列{}n n a b -的通项公式；(2) 设n S 为数列{}n b 的前n 项和,对任意*∈N n . (i) 求证：8=+n n b a ；(ii)若[]3,1)4(∈-⋅n S p n 恒成立，求实数p 的取值范围．20XX —20XX 学年第二学期高一期末考试数学试题答案1.B2.C3.C4.D5.D6.C7.C8.B9.A 10.D 11.C 12.B 13.︒30或︒150 14. 90 15.29 16. 6117.（1）设{}n a 的公差为d ，则由⎩⎨⎧==3253a a 得⎪⎩⎪⎨⎧==2111d a ,即21+=n a n（2）由（1）得8,141==b b ．设{}n a 的公比为q ，则8143==b b q ，从而2=q ， 故{}n b 的前n 项和1221)21(1-=--⨯=n n n T ． 18.（1）3π=B（2）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得722=-+ac c a5=+c a 6=∴ac 233sin 21==∴∆B ac S ABC 19.（1）由题意知n n S a ,,2成等差数列，所以n n S a +=22① ,可得)2(2211≥+=--n S a n n ② ①-②得)2(21≥=-n a a n n ，又1122a a +=，21=a ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，nn a 2=∴.（2）由（1）可得nn n b 2⋅=，用错位相减法得：n n n T 22423222432⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+=①=n T 213222)1(222+⨯+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+n n n n ②①-②可得22)1(1+⋅-=+n n n T .20.（1）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（2）解：由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=， 从而15sin 22sin cos B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-， 故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 21.（1）由121+=+n n a a 得：()1211+=++n n a a ，即1121n n a a ++=+，且112a += ∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列11222n n n a -∴+=⨯=∴数列{}n a 的通项公式为：()*21n n a n N =-∈（2）由（1）得：()()212212log 1log 21121n n n b a n ++=+=-+=+()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭()*111111123557211164623n n n T n N n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎣-+⎭∴=∈⎦22. (1))(212242411n n n n n n n n a b b a b a a b --=-=+-+=-++，又211=-a b ， {}n n a b -∴是以2为首项，21-为公比的等比数列，1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-∴n n n a b ；（2）（i ）42242411++=+++=+++n n n n n n b a b a a b ，)8(21811-+=-+∴++n n n n b a b a 又08,0811=-+∴=-+n n b a b a 恒成立，即8=+n n b a（ii)由8=+n n b a ,1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n n n a b ，两式相加即得：1)21(4--+=n n b ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=∴nnn n n S 2113242112114 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-∴nn p n S p 211324()[]3,14∈-n S p n ，3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤∴np0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴2113322111，当n 为奇数时，nn21112111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<∴n；当n 为偶数时，nn21112111-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴随n 的增大而递减，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n；n⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴2111的最大值为34，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴2113的最小值为2，23234≤≤∴p 解得32≤≤p ，所以实数p 的取值范围为[]3,2．。
山西省长治市高一下学期期末数学考试试卷(理科)
山西省长治市高一下学期期末数学考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·钦州期末) 设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A .B .C . a＞b2D . a2＞2b2. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知是等差数列的前项和，为数列的公差，且，有下列四个命题：① ；② ；③ ；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是（）A . ②③B . ①②C . ③④D . ①④3. （2分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A . 135°B . 90°C . 120°D . 150°5. （2分）在正项等比数列{an}中，a21+a22+……a2n=,则a1+a2+…an的值为（）A . 2nB . 2n-1C . 2n+1D . 2n+1-26. （2分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）A .B . 1C .D .7. （2分）设△ABC的三个内角为A，B，C，若 sin（A+B）=1+cos（A+B），则C的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·浦城期中) 已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），点P是平面上一动点，且|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A . 圆B . 直线C . 椭圆D . 线段9. （2分）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是（）A .B .C .D .10. （2分）某人坚持早晨在一条弃用的旧公路上步行锻炼身体，同时数数训练头脑，他先从某地向前走2步后退1步，再向前走4步后退2步，··· ，再向前走步后退n步，··· .当他走完第2008步后就一直往出发地走.此人从出发地到回到原地一共走了（）步.A . 3924B . 3925C . 3926D . 392711. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D .12. （2分） (2017高二上·湖南月考) 如图所示，在正方体中，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·扶余期末) 已知集合则=________.14. （1分）若sin ﹣2cos =0，则tanθ=________．15. （1分）(2017·厦门模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA ﹣bsinB，a≠b，则c=________．16. （1分） (2016高二下·惠阳期中) 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·河北模拟) 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求（1） BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）△ABC的面积．18. （10分） (2017高一下·安平期末) 在△ABC中，AC=6，cosB= ，C= ．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．19. （10分） (2020高三上·泸县期末) 在直角坐标系中，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．20. （15分）如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①a= ；②a=1；③a= ；④a=2；⑤a=4；（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正值；（3）记满足（1）的条件下的Q点为Qn（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的Q有几个？试求二面角Qn﹣PA﹣Qn+1的大小．21. （5分） (2017高三上·北京开学考) 某公司每月最多生产100台警报系统装置，生产x台（x∈N*）的总收入为30x﹣0.2x2（单位：万元）．每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为40万元，此外，每生产一台还需材料成本5万元．在经济学中，常常利用每月利润函数P（x）的边际利润函数MP（x）来研究何时获得最大利润，其中MP（x）=P（x+1）﹣P（x）．（Ⅰ）求利润函数P（x）及其边际利润函数MP（x）；（Ⅱ）利用边际利润函数MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利润是多少？22. （15分）(2016·天津理) 设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。
2020学年山西省长治市新高考高一数学下学期期末统考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若.，则（ ） A ．100B ．90C ．95D ．202．如果直线l 与平面α不垂直，那么在平面α内（ ） A ．不存在与l 垂直的直线 B ．存在一条与l 垂直的直线 C ．存在无数条与l 垂直的直线 D ．任意一条都与l 垂直3．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知点()2,3A -，()32B --，,直线l 的方程为10kx y k --+=，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．3(,4][,)4-∞-⋃+∞B ．13(,][,)44-∞-⋃+∞C ．3[4,]4-D ．3[,4]45．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．96．已知1(,1)2x ∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，那么（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若010,15,A 30a b ===，则此三角形（ ）8．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )A ．B ．C ．D ．9．将函数()3cos f x x x =-的图象向左平移56π个单位得到函数()y g x =的图象，则7()12g π的值为（ ） A ．2-B 2C ．3-D 310．已知数列{}n a 的通项公式是23n a n =-，则该数列的第五项是（ ） A ．13-B ．13C ．11-D ．16-11．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2312．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解二、填空题：本题共4小题13．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0), B(1,1), C(2,2), D(3,3), E(5,0)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_______．14．在等差数列{}n a 中，若171321a a a ++=，则{}n a 的前13项之和等于______.15．设k 为正偶数，()1112242P k k k k ⎛⎫=+++⎪++⎝⎭，则()()2P k P k +-=____________. 16．若数列{}n a 的前n 项和为()2*31n S n n n N=-+∈，则该数列的通项公式为na=______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山西省高一下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年山西省高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}2．下列关于向量的概念叙述正确的是（）A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若∥，∥，则∥C．若和都是单位向量，则＝D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合3．已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a4．已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．105．已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称6．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝2C．＝2D．＝7．定义运算：＝ad﹣bc．若不等式＜0的解集是空集，则实数k的取值范围是（）A．{0}∪[24，+∞）B．[0，24]C．（0，24]D．（﹣∞，0]∪[24，+∞）8．已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．459．在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列10．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人一宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每1小格都比前1小格加1倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了，就同意给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？如图所示的程序框图是为了计算上面这个问题面设计的，那么在“”和“”中，可以先后填入（）A．S＝2S，n≤64？B．S＝2S+1，n≤64？C．S＝S+2n，n≤64？D．S＝S+n，n≤263？11．已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜112．已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．14．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为．15．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为．16．已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若tanα＝2，求f（2α）的值．18．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．19．在△ABC中，内角A，B．C的对边分别为a，b，c，已知b sin A cos C+c sin A cos B＝ac sin B．（1）证明：bc＝a；（2）若c＝3，cos C＝，求AC边上的高．20．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率．21．设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）＝﹣，求cos（2θ+）的值．22．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}满足：a1＝b1＝1，a2+b2＝且a3＝﹣10b2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，是否存在正整数k，使得c n≥c k恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，集合B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（）A．{4}B．{3}C．{1，3，4}D．{3，4}【分析】根据集合的并集和补集的定义进行计算即可．解：∵集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{3，2，3}，∴∁U（A∪B）＝{4}，故选：A．2．下列关于向量的概念叙述正确的是（）A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若∥，∥，则∥C．若和都是单位向量，则＝D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【分析】利用平面向量的概念进行判断．解：方向相同或相反的向量是平行向量，也叫做共线向量，所以A正确；当时，与不一定平行，B错误；两个向量相等，其起点和终点不一定重合，D错误；故选：A．3．已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（）A．a＞ab＞ab2B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2D．ab2＞ab＞a【分析】根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，即可排除错误选项．解：根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b＝，则可排除ABC．故选：D．4．已知角α的终边过点（m，﹣2），若tan（π+α）＝，则m＝（）A．﹣B．C．﹣10D．10【分析】由任意角三角函数的定义推导出tanα＝﹣，由诱导公式推导出tan（π+α）＝tanα＝，由此能求出m．解：∵角α的终边过点（m，﹣2），∴tanα＝﹣，∴﹣，解得m＝﹣10．故选：C．5．已知函数f（x）＝sin（+），则（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）的最小正周期为πC．f（x﹣）为奇函数D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】先将看成一个整体，结合y＝sin x的性质，对A，C，D选项做出判断，然后套用周期公式对B选项进行判断．解：因为，所以sin（+），故A错误；周期，故B错误；f＝，取得f（x）的最小值，故是f（x）的对称轴，故D正确．故选：D．6．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝2C．＝2D．＝【分析】作出图形，根据向量的加减法运算逐一判断即可．解：如图，因为D为BC中点，所以，故A错误；所以＝＝＝2，故B正确；＝，故D错误．故选：B．7．定义运算：＝ad﹣bc．若不等式＜0的解集是空集，则实数k的取值范围是（）A．{0}∪[24，+∞）B．[0，24]C．（0，24]D．（﹣∞，0]∪[24，+∞）【分析】根据题意即可得出不等式2kx2+kx+3＜0的解集是空集，从而讨论k：k＝0时，显然满足题意；k≠0时，，从而可得出k的取值范围．解：根据题意得，不等式2kx2+kx+3＜0的解集为空集，①k＝0时，3＜5，满足题意；②k≠0时，，解得0＜k≤24，∴综上得，实数k的取值范围是[0，24]．故选：B．8．已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn﹣m﹣n＝（）A．41B．29C．55D．45【分析】根据平均数与方差的定义，求出m与n的值，即可得出mn﹣m﹣n的值．解：∵9，10，11，m，n的平均数是9，∴（9+10+11+m+n）＝9×7，又∵方差是2，即（m﹣9）6+（n﹣9）2＝7②；解得或；故选：A．9．在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法错误的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】先由题设条件求得等比数列中的基本量，然后逐项检验排除，选出答案．解：由题设条件知：，解得：或．∵q为整数，∴，故选项A说法正确；∴，∴数列{S n+2}是等比数列，故选项B说法正确；故选：D．10．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人一宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每1小格都比前1小格加1倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了，就同意给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？如图所示的程序框图是为了计算上面这个问题面设计的，那么在“”和“”中，可以先后填入（）A．S＝2S，n≤64？B．S＝2S+1，n≤64？C．S＝S+2n，n≤64？D．S＝S+n，n≤263？【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64？，由S n＝2n﹣1，得S n+1＝2n+1﹣1＝2S n+1，故选：B．11．已知函数f（x）＝sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1【分析】根据三角函数的性质得到≤2且＞2，解出即可．解：由于f（x）＝sin（ωπx）在当x＞0时，第一个最大值出现在ωπx＝，第一个最小值出现在ωπx＝，由于函数f（x）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，故ω的取值范围是[，）．故选：C．12．已知a∈R，函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值是3，则a的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，1]D．[0，1]【分析】根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（4），f（2）中的某一个值，（其中f（0）＝f（4）），分类讨论即可．解：根据二次函数y＝f（x）＝x2﹣4x+3﹣a的对称轴x＝2，可得函数f（x）＝|x2﹣4x+3﹣a|+a在区间[0，4]上的最大值只可能是f（0），f（5），f （2）中的某一个值，当|3﹣a|+a≥|1+a|+a时，|3﹣a|+a＝3，当|2﹣a|+a＜|1+a|+a时，|1+a|+a＝3，a∈∅．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可．解：由分段函数可得f（）＝，∴f（f（））＝，故答案为：14．两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，找出1m处界点，挂在大于1m处，再求出其比值．解：记“彩珠与两端距离都大于1m”为事件A，则彩珠只能在中间1m的绳子上挂，故答案为：．15．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为25．【分析】因为＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++1＝17++，由基本不等式，即可得出答案．解：＝（）×1＝（）×（a+b）＝16+++2＝17++因为a＞0，b＞0，所以17++≥25，故答案为：25．16．已知函数f（x）＝在R上存在最小值，则m的取值范围是（﹣∞，0]．．【分析】利用函数的单调性，分别求出两段的值域即可．解：函数y＝log2（﹣x+5）在（﹣∞，1]单调递减，即可得x≤1时，f（x）≥f（6）＝2．要使函数f（x）＝在R上存在最小值，只需3﹣m≥2，即m≤0．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若tanα＝2，求f（2α）的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式，花简三角函数式的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得f（2α）的值．解：（1）f（α）＝＝＝cosα．（6）∵f（α）＝cosα，∴f（2α）＝cos2α＝＝．若tanα＝8，则f（2α）＝＝＝﹣．18．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设公差为d，通过a1，a2，a4成等比数列，求出公差，然后求解通项公式．（2）化简通项公式，利用裂项消项法求解数列的和．解：（1）设公差为d，因为a1，a2，a4成等比数列，所以，即（2+d）2＝6（2+3d），所以a n＝2+2（n﹣7）＝2n．所以，，所以．19．在△ABC中，内角A，B．C的对边分别为a，b，c，已知b sin A cos C+c sin A cos B＝ac sin B．（1）证明：bc＝a；（2）若c＝3，cos C＝，求AC边上的高．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式及sin A≠0可得sin A＝c sin B，利用正弦定理可证a＝bc．（2）设AC边上的高为h，由已知利用余弦定理可求＝，解得b＝1，可求a ＝c＝3，利用同角三角函数基本关系式可求sin C，可求AC边上的高h的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为b sin A cos C+c sin A cos B＝ac sin B因为0＜A＜π，所以sin A≠0所以sin A＝c sin B，（2）设AC边上的高为h，所以a＝3b，cos C＝．………………所以＝，解得b＝1，∵，∴………………20．某机构随机抽取100名儿童测量他们的身高（他们的身高都在90cm～150cm之间），将他们的身高（单位：cm）分成：[90，100），[100，110），[110，120），…，[140，150]六组，得到如图所示的部分频率分布直方图．已知身高属于[100，110）内与[110，120）内的频数之和等于身高属于[120，130）内的频数．（1）求频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和；（2）求身高处于[120，130）内与[110，120）内的频率之差；（3）用分层抽样的方法从身高不低于130cm的儿童选取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任选3人，以频率代替概率，求这3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率．【分析】（1）根据频率和为1求出频率分布直方图中未画出的小矩形的频率和，即为面积和；（2）分别求出身高处于[120，130）与[11，120）内的频率值，再求它们的差；（3）用分层抽样法抽取样本，由题意知随机变量X的可能取值，在计算概率分布及数学期望值．解：（1）因为身高在[110，130）内的频率为1﹣（0.010+0.015+7.025+0.005）×10＝0.45；所以所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为0.45；由第2组[100，110）与第8组[110，120）的频数之和等于第4组[120，130）的频数，列方程组得，所以成绩处在第3组[110，120）的频率为0.15，处在第4组[120，130）的频率为0.30；（3）由题意得，身高在[130，140）的人数为100×0.25＝25人，在[140，150）内的人数为100×0.05＝5人；所以需要在[130，140）内抽取6×＝5人，在[140，150）内抽取1人，故答案为：（1）未画出的小矩形的面积之和为0.45．（2）3人中恰好有一人身高不低于140cm的概率：21．设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设θ∈（0，），且f（θ）＝﹣，求cos（2θ+）的值．【分析】（1）由函数f（x）的部分图象得出A、T、ω和φ的值即可；（2）由f（θ）求出sin（2θ+）的值，利用三角恒等变换求出cos（2θ+）和cos （2θ+）的值．解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝，且＝﹣（﹣）＝，又f（﹣）＝sin（2×（﹣）+φ）＝0，解得φ＝kπ+，k∈Z；所以函数f（x）＝sin（2x+）；所以sin（2θ+）＝﹣，又θ∈（0，），所以2θ+∈（，），所以cos（2θ+）＝﹣，cos（2θ+）＝cos（2θ+）cos﹣sin（2θ+）sin＝﹣×﹣（﹣）×＝﹣．22．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}满足：a1＝b1＝1，a2+b2＝且a3＝﹣10b2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，是否存在正整数k，使得c n≥c k恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项公式；（2）求得a n b n＝•（）n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得c n，讨论{c n}的单调性，即可判断存在性．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝b1＝1，a7+b2＝且a3＝﹣10b3．可得1+d+q＝，1+2d＝﹣10q，解得d＝2，q＝﹣，（2）a n b n＝（2n﹣1）•（﹣）n﹣1，﹣c n＝1•（﹣）+3•+5•（﹣）+…+（2n﹣3）•（﹣）n，＝1+2•﹣（2n﹣1）•（﹣）n，由c n+1﹣c n＝+•（﹣）n﹣﹣•（﹣）n﹣1＝（﹣n﹣）•（﹣）n﹣1，当n为奇数时，c n+1﹣c n＜0，即c n+1＜c n，即有c2为最小值1，故存在正整数k，且为2，使得c n≥c k恒成立．。
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2019-2020学年山西长治二中高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．ab＞b D．a3＞b32．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（+）D．y＝2sin（2x﹣）3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知向量，满足||＝1，||＝2，且向量，的夹角为，若﹣λ与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．5．已知sinα+cosα＝，则tanα+的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．26．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a11＝S13＝13，则a9＝（）A．9B．8C．7D．67．下列关于函数的说法正确的是（）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的定义域为C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递增8．设0＜m＜12，则的最小值为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且＝﹣5，则||等于（）A．1B．2C．3D．410．已知函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则ω的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪[6，+∞）B．（﹣∞，）∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）11．定义：在数列{a n}中，若满足＝d（n∈N*，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝（）A．4×10002﹣1B．4×10012﹣1C．4×10022﹣1D．4×1001212．已知函数f（x）＝A cos2（{ωx+φ}）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）++f（2020）的值为（）A．2458B．3501C．4040D．5739二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），则φ的值为．15．＝．16．设，，满足||＝||＝1，•＝﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是．三、解答题：本大题共70分17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，cos A＝，cos B＝﹣．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．18．已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x+（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，f（C）＝2，若向量与共线，求a，b的值．19．已知公比为整数的正项等比数列{a n}满足：a3﹣a4＝﹣24，a1a9＝310．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在△ABC中，已知：，且cos（A﹣B）+cos C＝1﹣cos2C．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）求的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．22．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），S n＝a n，且a1＝1，{b n}为等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若对∀n∈N*均满足T n＞，求整数m的最大值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若实数a，b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．ab＞b D．a3＞b3【分析】根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除错误选项．解：根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除ABC．故选：D．2．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x＝对称的是（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（+）D．y＝2sin（2x﹣）【分析】根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．解：C的周期T＝＝4π，不满足条件．当x＝时，A，y＝2sin（2×+＝2sinπ＝0≠±2，B．y＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，D．y＝2sin（2×﹣＝2sin≠±2，故满足条件的是B，故选：B．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据角α的终边经过点P（﹣3，4），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．解：∵角α的终边经过点P（﹣3，4），∴tanα＝＝﹣⇒tan2α＝＝＝．故选：A．4．已知向量，满足||＝1，||＝2，且向量，的夹角为，若﹣λ与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．【分析】＝＝，根据﹣λ与垂直，可得（﹣λ）•＝﹣＝0，解得λ．解：＝＝．﹣λ与垂直，∴（﹣λ）•＝﹣＝﹣4λ＝0，解得λ＝．故选：C．5．已知sinα+cosα＝，则tanα+的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．2【分析】通过sinα+cosα＝，求出sinαcosα的值，然后正切化为正弦、余弦化简tanα+，即可求出值．解：sinα+cosα＝，所以2sinαcosα＝1，tanα+＝＝＝2故选：D．6．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a11＝S13＝13，则a9＝（）A．9B．8C．7D．6【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a11＝S13＝13，∴a1+10d＝13a1+d＝13，解得a1＝﹣17，d＝3．则a9＝﹣17+8×3＝7．故选：C．7．下列关于函数的说法正确的是（）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的定义域为C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递增【分析】根据正切函数的单调性，对称性以及定义域分别进行判断即可．解：A．f（）＝tan≠0，即函数的图象关于点不成中心对称，故A错误，B．由x+≠kπ+，k∈Z，得x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，故B正确，C．∵x≠kπ+，∴当x＝时，函数无意义，故C不存在单调性，故C错误，D．由C知函数在区间上不具备单调性，故D错误，故选：B．8．设0＜m＜12，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵0＜m＜12，则＝（）（m+12﹣m）×＝（5+）（5+4）＝，当且仅当即m＝4时取等号．故选：C．9．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且＝﹣5，则||等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】依题意，作出图形设＝k，由向量的加减的几何意义和数量积即可求出【解答】】解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝4，D是AB上一点，且•＝﹣5，作图如下：设＝k，∴＝﹣＝k﹣，∴•＝•（k﹣）＝k﹣•＝25k﹣5×6×＝25k﹣15＝﹣5，解得k＝，∴||＝（1﹣）||＝3，故选：C．10．已知函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则ω的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪[6，+∞）B．（﹣∞，）∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）【分析】分ω的正负讨论，要使函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3可知，﹣+2kπ∈[﹣ω，ω]或﹣+2kπ∈[ω，﹣ω]，分别求出ω的范围即可．解：当ω＞0时，要使函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则﹣ω≤﹣+2kπω，k∈Z，即，k∈Z，则可得ω；当ω＜0，则ω+2kπ≤﹣ω，k∈Z，，k∈Z，则可得ω≤﹣2，故选：D．11．定义：在数列{a n}中，若满足＝d（n∈N*，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则＝（）A．4×10002﹣1B．4×10012﹣1C．4×10022﹣1D．4×10012【分析】由题知{}是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n﹣1，再由＝求解．解：由题知{}是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n﹣1，∴＝＝（2×1001﹣1）（2×1000﹣1）＝（2×1000+1）（2×1000﹣1）＝4×10002﹣1．故选：A．12．已知函数f（x）＝A cos2（{ωx+φ}）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）++f（2020）的值为（）A．2458B．3501C．4040D．5739【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．解：∵已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为A+1＝3，故A＝2．f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），∵f（0）＝2cos2φ+1＝2，∴cosφ＝，φ＝，即f（x）＝2cos2（ωx+）+1＝cos（2ωx+）+2＝﹣sin2ωx+2．再根据其相邻两条对称轴间的距离为T＝•＝2，可得ω＝，f（x）＝﹣sin x+2，故函数的周期为＝4．∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+2+3+2＝8，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝505•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝4040，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x+2y为．由图可知，当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为0+2×1＝2．故答案为：2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）＝f（x），则φ的值为．【分析】根据条件先判断函数是偶函数，结合三角函数偶函数的性质建立方程进行求解即可．解：∵f（|x|）＝f（x），∴f（x）是偶函数，则﹣+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ+，k∈Z，∵φ∈（0，π），∴当k＝0时，φ＝，故答案为：15．＝．【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．解：原式＝＝＝＝＝，故答案为：．16．设，，满足||＝||＝1，•＝﹣，且﹣与﹣的夹角为60°，则||的最大值是2．【分析】由题意易得向量与的夹角为120°，设＝，＝，＝，易证A、O、B、C四点共圆，由正弦定理和圆的知识可得结论．解：∵||＝||＝1，•＝﹣，∴向量与的夹角为120°，设＝，＝，＝，则＝，＝，则∠ACB＝60°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∴A、O、B、C四点共圆，∵＝，∴||＝＝，由正弦定理可得外接圆直径2R＝＝2，当OC为直径时，||取最大值2故答案为：2三、解答题：本大题共70分17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，cos A＝，cos B＝﹣．（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据cos A＝，cos B＝﹣．可求得sin A，sin B，再由正弦定理可求得b；（2）求出sin C，根据面积公式S＝ab sin C代入即可．解：（1）因为0＜A＜π，0＜B＜π，cos A＝，cos B＝﹣．所以，，由正弦定理，得；（2）因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，所以△ABC的面积S＝．18．已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x+（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，f（C）＝2，若向量与共线，求a，b的值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据正弦函数的周期公式即可求解．（2）由，结合范围0＜C＜π，可求，利用向量共线的坐标运算可得b＝2a，进而由余弦定理即可解得a，b的值．解：（1）∵函数，∴，∴函数的最小正周期为π．（2）∵，，∵0＜C＜π，∴，解得∵向量共线，∴b＝2a①由余弦定理，得，∴a2+b2﹣ab＝3，②由①②得a＝1，b＝2．19．已知公比为整数的正项等比数列{a n}满足：a3﹣a4＝﹣24，a1a9＝310．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1a9＝310＝，a1＞0，q＞0，化为：a1q4＝35，由a3﹣a4＝24，可得：＝24，联立解出即可得出．（2）由b n＝（n+1）a n＝（n+1）•3n．利用错位相减法即可得出．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1a9＝310＝，a1＞0，q＞0，化为：a1q4＝35，由a3﹣a4＝24，可得：＝﹣24，联立化为：（8q2﹣9）（q2﹣9）＝0，由q＞0，且q为整数，可解得q＝3，故a1＝3．数列{a n}的通项公式为：a n＝3n．（2）由b n＝（n+1）a n＝（n+1）•3n．∴数列{b n}的前n项和S n＝2×3+3×32+4×33+……+（n+1）×3n，3S n＝2×32+3×33+……+n×3n+（n+1）×3n+1，∴﹣2S n＝6+32+33+……+3n﹣（n+1）×3n+1＝3+﹣（n+1）×3n+1，化为：S n＝．20．在△ABC中，已知：，且cos（A﹣B）+cos C＝1﹣cos2C．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）求的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和公式结合和与差公式可得a，b，c关系，即可判断△ABC的形状．（2）利用正弦定理，把边转化为角，利用三角函数的有界限即可求出范围．解：（1）△ABC为直角三角形，证明：在△ABC中，∵，根据正弦定理，得，∴b2﹣a2＝ab…①∵cos（A﹣B）+cos C＝1﹣cos2C，∴cos（A﹣B）﹣cos（A+B）＝2sin2C，化简得sin A sin B＝sin2C，由正弦定理，得ab＝c2，…②将②代入①中得b2﹣a2＝c2，即a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；（2）由（1）知，则，即，故．根据正弦定理，得．∵，∴，∴，即的取值范围是．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2；（3）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞1均成立，求a的取值范围．【分析】此题主要考查二次不等式的解法【解答】解（1）当a＝1时x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2（2）由f（x）＜3a2，∴（x﹣3a）（x+a）＜0当a＞0时解集为（﹣a，3a）当a＝0时解集为空集当a＜0时解集为（3a，﹣a）（3）由f（x）＞1得x2﹣2ax＞1，变形的2a＜，由函数单调性的相关知识：函数y ＝x﹣在x∈（2，+∞）单调递增，2a≤即a22．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），S n＝a n，且a1＝1，{b n}为等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝，n∈N*，数列{c n}的前n项和为T n，若对∀n∈N*均满足T n＞，求整数m的最大值．【分析】（1）运用数列的递推式和恒等式，化简可得a n＝，n∈N*；再由等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；（2）求得c n＝＝＝﹣，由裂项相消求和，可得T n，再由数列的单调性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m的最大值．解：（1）S n＝a n，且a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣a n﹣1，即为＝（n≥2），即有a n＝a1••…＝1••…•＝，上式对n＝1也成立，则a n＝，n∈N*；{b n}为公比设为q的等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．可得b1＝6﹣4＝2，b4＝15+1＝16，则q3＝8，即q＝2，b n＝2n，n∈N*；（2）c n＝＝＝﹣，前n项和为T n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣2，T n+1﹣T n＝c n+1＝＞0，即T n+1＞T n，可得T n递增，则T n的最小值为T1＝，可得＞，即m＜1346，则m的最大值为1345．。