描述流体运动的两种方法
流体的运动描述与速度场
流体的运动描述与速度场流体力学是研究流体运动规律及其相应性质的学科，它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
在研究流体运动过程中，描述流体运动状态和速度场是十分重要的。
本文将就流体的运动描述和速度场展开讨论，以便更好地理解流体力学的基本概念与方法。
一、流体的运动描述流体的运动描述包括欧拉法描述和拉格朗日法描述两种常用方法。
欧拉法描述是指将流体运动中某一固定位置处的流体性质随时间的变化进行描述，即研究流体性质随时间和空间的变化关系。
而拉格朗日法描述则是追踪流体中每个流体质点的轨迹，即研究流体质点在流体中运动过程中的性质变化。
这两种方法在不同问题的研究中各有优势，因此在具体应用中可以根据需要选择适合的方法进行描述。
二、速度场的概念与表示速度场是指在给定空间中各点上流体的速度分布情况。
在描述速度场时，可以使用向量场的概念和方法。
根据流体力学中的一些基本假设，流体的速度可以用速度矢量来表示。
在三维空间中，流体的速度场可以写作v(x, y, z)，其中(vx, vy, vz)分别表示速度矢量在x、y、z轴方向上的分量。
具体而言，流体速度场的刻画可以采用流线、等速线、速度梯度、速度散度等概念。
流线是指在速度场中沿着速度矢量的方向得到的轨迹线，利用流线可以描绘出速度场中流体质点的运动路径。
等速线是指速度场中具有相同速度大小的线条，能够帮助我们观察速度场中速度的分布情况。
速度梯度则表示速度场中速度变化最快的方向和速度的变化率，它是一个向量。
速度散度描述了速度场中速度的聚集与分散情况，通过计算速度场向量场的散度值，可以得到速度场中的流入流出情况。
三、速度场的性质与应用速度场在流体力学中具有重要的性质和应用。
首先，速度场具有旋度性质，即速度矢量场的旋度表示速度场中的涡旋情况。
旋度为零的速度场表示无涡旋，速度场中流体的旋转是受力矩平衡的。
其次，速度场的压力梯度将导致流体中速度场的变化，速度场描述了流体在空间中的分布和运动特性。
流体力学欧拉法和拉格朗日法
流体力学欧拉法和拉格朗日法流体力学是研究流体运动规律的学科，它是物理学、数学和工程学的交叉学科。
在流体力学中，欧拉法和拉格朗日法是两种常用的描述流体运动的方法。
欧拉法是以欧拉方程为基础的一种描述流体运动的方法。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程，它是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个基本方程组成的。
欧拉法的基本思想是将流体看作是一个连续的介质，通过对流体的宏观性质进行描述，如流体的密度、速度、压力等。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流体的流量、压力、速度等。
拉格朗日法是以拉格朗日方程为基础的一种描述流体运动的方法。
拉格朗日方程是描述流体运动的另一种基本方程，它是由质点的运动方程和流体的连续性方程组成的。
拉格朗日法的基本思想是将流体看作是由无数个质点组成的，通过对每个质点的运动进行描述，如质点的位置、速度、加速度等。
拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如流体的粘性、湍流等。
欧拉法和拉格朗日法各有优缺点，应用范围也不同。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，但对于流体的微观性质，如粘性、湍流等，欧拉法的描述能力较弱。
而拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如粘性、湍流等，但对于流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，拉格朗日法的描述能力较弱。
在实际应用中，欧拉法和拉格朗日法常常结合使用，以充分发挥它们各自的优势。
例如，在研究飞机的气动力学问题时，可以使用欧拉法来研究飞机的气动力学特性，如升力、阻力等；而在研究飞机的流场问题时，可以使用拉格朗日法来研究流体的微观性质，如湍流、涡旋等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种基本方法，它们各有优缺点，应用范围也不同。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法，以充分发挥它们的优势。
描述流体运动的两种方法
描述流体运动的两种方法(姓名：张旺龙学号：3 专业：流体力学)引言:描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。
在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。
拉各朗日方法，着眼于流体质点。
设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。
如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
一拉格朗日方法现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。
通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。
设初始时刻0t t=时，流体质点的坐标是（a,b,c），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标()x y z，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。
我们约定,,000采用a,b,c三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c代表不同的质点。
于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：()=r r（1）,,,a b c t其中r是流体质点的失径。
在直角坐标系中，有()=(),,,z z a b c t=（2）,,,,,,x x a b c t=()y y a b c t变数a,b,c,t称为拉各朗日变数。
在式（2）中，如果固定a,b,c而令t改变，则得某一流体质点的运动规律。
如果固定时间t而令a,b,c改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。
应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。
现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。
假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。
流体力学——3 流体运动学
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是一种以固定坐标系为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一个连续的介质，通过考虑流体中每个点的速度和压力来描述流体的运动。
欧拉法关注的是流体中不同位置的性质和特征的变化，如速度、压力和密度等。
通过欧拉法，可以得到流体运动的偏微分方程，如连续性方程、动量方程和能量方程等。
拉格朗日法是一种以流体质点为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一组流体质点，通过跟踪和描述每个质点的运动来描述整个流体的运动。
拉格朗日法关注的是流体中不同质点的性质和特征的变化，如位置、速度和加速度等。
通过拉格朗日法，可以得到流体质点的运动方程，如位置方程、速度方程和加速度方程等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种重要方法，各有其优势和适用范围。
欧拉法适用于研究大规模流体运动和宏观性质的变化，如流体的整体运动特性和力学过程；而拉格朗日法适用于研究小尺度流体运动和微观性质的变化，如流体颗粒的运动规律和相互作用。
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。
2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u ua u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du ua u u dt t∂==+⋅∇∂在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。
()u u ⋅∇v v 为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dzu u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)AQ udAm s =⎰质量流量 (/)m AQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()u f p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂r r r r（2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()u f p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂r r r r r 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程（1）实际流体元流的伯努利方程2211221222w p u p u z z h g g g gρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q v v ρββ=-∑r r r投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v FQ v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
流体动力基本概念
2、流线 定义：流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线 方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法描述流体运动的基础。图为流线谱中显示的流 线形状。
流线的作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近 的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …， 若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
ρdV 0 A ρv ndA t V
由奥－高公式
A
ρv n dA ( ρv ) dV
V
根据控制体与时间的无关性
ρ ρdV dV t V t V
直角坐标系下连续性方程的微分形式
ρ ( ρv ) 0 t
二、欧拉法与控制体
欧拉法（Euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为 描述对象研究流动的方法——流场法 。它不直接追究质点的运动过程，而是以充满 运动流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个 别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的 每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个 流体的运动情况。 （设立观察站的方法） 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数： 速度 （x,y,z,t）——欧拉变量
控制体：将孤立点上的观察站扩大为一个有适当规模的连续区域。控制体相对于坐 标系固定位置，有任意确定的形状，不随时间变化。控制体的表面为控制面，控制 面上有流体进出。
工程流体力学1718(2)3.1描述流体运动的两种方法
点，也就是说质点的空间坐标也会随时间发生变化。由此可 见，x, y, z 也是时间的函数。
即：x=x(t);y=y(t);z=z(t)
2.质点的加速度
第一节 描述流体运动的两种方法
u u( x, y, z, t ) 按复合函数求导原则，对时间t 求全导数，得：
第一节 描述流体运动的两种方法 1.拉格朗日法（跟踪法）描述
初始（t0）时刻:跟踪某个流体质点(a,b,c)
任意（t）时刻:质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）
基本参数： 位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t)
（流体质点的位置坐标） z z(a，b，c，t)
3. 在工程实际中，并不关心每一质点的运动。基于上述三点原因， 欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
1.研究流体在外力作用下流体运动参数（速度、加速度等）随空间和 时间的变化规律（流体运动学）；
2.研究运动流体与相接触固体壁面间的相互作用（流体动力学）。
四个基本方程：
连续性（微分）方程 ； 运动（微分）方程 能量方程（伯努利方程）； 动量方程
本章研究重点：
本章将围绕流体力学中“运动”和“受力”展开讨论。主要包括以 下几点：
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z, t) p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
独立变量： (x, y, z,t)
第一节 描述流体运动的两种方法
u u(x, y, z, t)；v v(x, y, z, t)；w w(x, y, z, t)
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描述流体运动的两种方法(姓名：张旺龙 学号：308081183 专业：流体力学)引言:描述流体运动的两种方法――拉各朗日方法和欧拉方法 设流体质点在空间中运动，我们的任务就是确定描写流体运动的方法并且将它用数学式子表达出来。
在流体力学中描写运动的观点和方法有两种，即拉各朗日方法和欧拉方法。
拉各朗日方法，着眼于流体质点。
设法描述出每个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。
如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚了。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
一 拉格朗日方法现在我们将上述描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体质点。
通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的标志。
设初始时刻0t t =时，流体质点的坐标是（a,b,c ），它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标(),,000x y z ，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么具体的方式。
我们约定采用a,b,c 三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c 代表不同的质点。
于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：(),,,a b c t =r r （1）其中r 是流体质点的失径。
在直角坐标系中，有(),,,x x a b c t = (),,,y y a b ct = (),,,z z a b c t = （2） 变数a,b,c,t 称为拉各朗日变数。
在式（2）中，如果固定a,b,c 而令t 改变，则得某一流体质点的运动规律。
如果固定时间t 而令a,b,c 改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分布。
应该指出，在拉各朗日观点中，失径函数r 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。
现在从（1）式出发来求流体质点的速度和加速度。
假设由（1）式确定的函数具有二阶连续偏导数。
速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间内位移变化率及速度变化率，设v ，v分别表示速度矢量和加速度矢量，则(),,,r a b c t t∂=∂v （3） ()22,,,r a b c t t =∂∂v （4）既然对同一质点而言，a,b,c 不变，因此上式写的是对时间t 的偏导数。
在直角坐标系中，速度和加速度的表达式是(),,,x a b c t u t ∂=∂ (),,,y a b c t v t∂=∂ (),,,z a b c t w t ∂=∂ （5）及()22,,,u x a b c t t =∂∂ ()22,,,v y a b c t t =∂∂ ()22,,,w z a b c t t =∂∂ （6）二 欧拉方法现在来介绍描写流体运动的另一种观点和方法，即欧拉方法。
和拉各朗日方法不同，欧拉方法不同，欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果，每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了，那么应该用什么物理量来表现空间点上流体运动的变化情况呢？因为不同时刻将有不同流体质点经过空间某固定点，所以站在固定点上就无法观测和记录掠过的流体质点以前和以后的详细历史。
也就是说我们无法象拉各朗日方法那样直接测量出每个质点的位置随时间的变化情况。
虽然如此，不同时刻经过固定点的流体质点的速度是可以测出的，这样采用速度矢量来描写固定点上流体运动的变化状况就是十分自然的了。
考虑到上面所说的情形，欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：(),t =v v r （7）在直角坐标系中有：(),,,u u x y z t = (),,,v v x y z t = (),,,w w x y z t = （8）要完全描述运动流体的状况还需要给定状态函数压力、密度、温度等(),,,p p x y z t = (),,,x y z t ρρ= (),,,T T x y z t = （9）变数,,,x y z t ，称为欧拉变数，当,,x y z 固定，t 改变时，（7）式中的函数代表空间中固定点上速度随时间的变化规律，当t 固定，,,x y z 改变时，它代表的是某一时刻中速度在空间的分布规律。
应该指出，有（7）式确定的速度是定义在空间点上的，它们是空间点的坐标,,x y z 的函数，所以我们研究的是场，如速度场，压力场、密度场等。
因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以广泛地利用场论的知识。
若场内函数不依赖于失径r 则称之为均匀场；反之称为不均匀场。
若场内函数不依赖时间t 则称为定常场，反之称不定常场。
三 随体导数3.1 定义求解假定速度函数（7）具有一阶连续偏导数，现在从（7）式出发求质点的加速度d dtv，设某质点在场内运动，其运动轨迹为L 。
在t 时刻，给质点位于M 点，速度为(),M t v ，过了t ∆时间后，该质点运动于M '点，速度为(),M t t '+∆v 。
根据定义，加速度的表达式是()()0,,lim t M t t M t d dt t∆→'+∆-=∆v v v（10） 从（10）式可以看到，速度的变化亦即加速度的获得主要是下面两个原因引起的。
一方面，当质点由M 点运动M '点时，时间过去了t ∆，由于场的不定常性速度将发生变化。
另一方面与此同时M 点在场内沿迹线移动了MM '距离，由于场的不均匀性亦将引起速度的变化。
根据这样的考虑，将（10）的右边分成两部分d dt =v()()0,,lim t M t t M t t ∆→''+∆-∆v v +()()0,,limt M t M t t∆→'-∆v v =()()0,,limt M t t M t t ∆→''+∆-∆v v +()()00,,limlim t MM M t M t MM t MM '∆→→'-''∆v v (11) 右边第一项当0t ∆→时M M '→，因此它是(),M t t∂∂v ，这一项代表由于场的不定常性引起的速度变化，称为局部导数或就地导数；右边第二项是(),M t Vs∂∂v ，它代表由于场的不均匀性引起的速度变化，称为位变导数或对流导数，其中s∂∂v代表沿s 方向移动单位长度引起的速度变化，而如今在单位时间内移动了V 的距离，因此s 方向上的速度变化是Vs∂∂v。
这样总的速度变化即加速度就是局部导数和位变导数之和，称之为随体导数。
于是有d V dt t s∂∂=+∂∂v v v （12） 从场论中得知()0s s∂=∇∂vv 其中0s 是曲线L 的单位切向矢量。
考虑到0Vs =v ，得()d dt t∂=+∇∂v v v v （13） 这就是矢量形式的加速度的表达式。
在直角坐标系中采取下列形式du u u u u u v w dt t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ dv v v v vu v w dt t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ （14） dw w w w w u v w dt t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3.2 级数求解从级数展开角度来求解欧拉下的加速度的表达式，用欧拉方法描述流场时，一、某空间点上的流体质点的速度是时间的函数，所以速度随时间变化，二、原来在某空间点上的流体质点经过了t ∆后到达了另一空间点，若这两点的速度不同，那么由于迁移，它也会有速度的变化。
设在t 时刻，位于(),,P x y z 点的一个微团具有速度,,u v w 。
经t ∆后，该微团移到(),,x u t y v t z w t +∆+∆+∆。
令(),,,u f x y z t =经过t ∆后，u 变成了u u +∆，即u u +∆=(),,,f x u t y v t z w t t t +∆+∆+∆+∆(),,,fx y z t =+f f f f u t v t w t t xy z t ⎛⎫∂∂∂∂∆+∆+∆+∆+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()t ∆的高阶项 （15） 略去高阶项，仅保留一阶项，得u f f f fu v w t t x y z∆∂∂∂∂=+++∆∂∂∂∂ 即u u u u u u v w t t x y z∆∂∂∂∂=+++∆∂∂∂∂ （16） 此式右侧第一项是微团在(),,x y z 处其速度随时间的变化率，即当地导数或局部导数。
后三项是由于微团流向不同的领点是而出现的速度变化率，即迁移导数。
总的称为流体质点的随体导数。
同样，,v w 也有这样的随体导数dv v v v v u v w dt t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ dw w w w w u v w dt t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3.3 微分求解随体导数的求解还可以通过直接微分的方式得到。
设与轨迹L 相对应的运动方程是 ()t =r r 或()x x t = ()y y t = ()z z t =于是速度函数可写成()()()(),,,x t y t z t t =v v （17） 对v 做复合函数微分，并考虑到d dt =rv 即 dx u dt = ， dy v dt = ， dz w dt= 于是得到d d x d y d zd t t x d t y d t z d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v =u v w t x y z∂∂∂∂+++∂∂∂∂v v v v =()t∂+∇∂vv v （18） 上述将随体导数分解为局部导数和位变导数之和的方法对于任何矢量a 和任何标量ϕ都是成立的，此时有()d dt t ∂=+∇∂a a v a (19) ()d dt tϕϕϕ∂=+∇∂v (20) 四 两种流动描述方法之间的关系欧拉方法在数学处理上的最大困难是方程式的非线性，而拉各朗日方法中的加速度项则为线性。
但是直接应用拉各朗日型的基本方程解决流体力学问题是困难的，因此在处理流动问题是，常常必须用拉各朗日的观点而却应用欧拉观点的方法，这里就必须研究拉各朗日与欧拉两种系统之间的变化关系。
为此引用雅克比行列式（Jacobian ）。
()detiix J t ξ∂=∂ (21) 拉各朗日变数ξ与欧拉变数x 可以互换的唯一条件是： ()0,J t ≠∞雅克比行列式的时间导数：()iiu dJ J J dt x ∂==∇∂u (22) 例1 讨论不可压缩流体的数学表示根据定义，质点的密度在运动过程中不变的流体的称为不可压缩流体。
换而言之，对于不可压缩流体而言，密度的随体导数为零，即0d dtρ= 这就是不可压缩流体的数学表示。