第十六章习题解答

第十六章 习题解答
16-1设某一时刻的横波波形曲线如图16-1(a)所示，水平箭头表示该波的传播方向，试分别用矢量标明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 等质点在该时刻的运动方向，并画出经过4
T 后的波形曲线。

解：波形曲线表示的是某一时刻波线上所有质点偏离平衡位置的振动位移的分布图。

将波形曲线沿波的传播方向平移，就是下一时刻波线上质点偏离平衡位置的位移分布，据此可确定各质点的运动方向，如图16-1（b ）所示。

将波形曲线图16-1(a)沿波的传播方向平移λ/4就是经过T/4后的波形曲线，如图16-1（c ）所示。

习题16-1图
16-3 一横波沿绳子传播，其波函数为()x t y ππ-=5.2cos 20.0（其中各量均采用国际单位制）。

（1）求波的振幅、波速、频率及波长；
（2）求绳上质点振动时的最大速度。

解：（1） 将已知波函数化成标准形式，并与标准形式对应项比较，即可求出各参量。

()x t y ππ-=5.2cos 20.0⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=225.12cos 20.0x t π 与波函数标准形式⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=λνπx t A y 2cos 相比较，得
20.0=A m ，25.1=νHz ， 0.2=λm
)(5.225.10.21-⋅=⨯==s m u λν
（2）质点振动时的最大速度
)(57.120.025.114.3221max -⋅=⨯⨯⨯===s m A A v πνω
16-4 一波源作简谐振动，周期为s 100
1，经平衡位置向正方向运动时，作为计时起点。

设此振动以1400-⋅s m 的速度沿直线传播，求：
（1）该波动沿某波线的方程；
（2）距波源为16m 处和20m 处质点的振动方程和初相；
（3）距波源为15m 处和16m 处的两质点的相位差。

解：（1）由题义可知s T 100
1=，1400-⋅=s m u 。

经平衡位置向正方向运动时，作为波源作简谐振动的计时起点，由旋转矢量法可得2π
ϕ-=，波长m uT 4==λ。

将其带入波动方程的标准形式⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=ϕλπ)(2cos x T t A y 可得该波动沿某波线的方程为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=241002cos ππx t A y （2）将m x 161=，m x 202=分别代入上面所得波动方程中，可得两处质点的振动方程和初相分别为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=217200cos 1616ππt A y ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=221200cos 2020ππt A y 21716πϕ-=，22120πϕ-=。

或均为2
πϕ-=，即与波源同步调。

（3）距波源为15m 处和16m 处的两质点的相位差为 2216217πππϕ∆=-=
16-5 有一波在介质中传播，其波速13100.1-⋅⨯=s m u ，振幅m A 4100.1-⨯=，频率Hz 3100.1⨯=ν，若介质的密度32100.8-⋅⨯=m kg ρ,求：
（1）该波的能流密度；
（2）1min 内垂直通过面积为0.4m 2的总能量。

解：（1）将已知数据代入波的能流密度表达式u A I 222
1ωρ=，可得 u A I 2221ωρ= ())(1058.1100.1100.1)100.12(100.82
125324
232--⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=m W π
（2）1min 内垂直通过面积为0.4m 2的总能量为
)(1079.3604.01058.165J ISt W ⨯=⨯⨯⨯==
16-6 频率为300Hz 、波速为330m ·s -1的平面简谐波在直径为16.0㎝的管道中传
播，能流密度为10.0×10-3J ·s -1·m -2。

求：
（1）平均能量密度；
（2）最大能量密度；
（3）两相邻同相位波面之间的总能量。

解：（1）将已知数据代入波的能量密度表达式2212I w A u
ρω==，可得 （1）3
510.010 3.0310330
w --⨯==⨯J ·m -3 （2）5max 2 6.0610w w -==⨯J ·m
-3 （3）2570.163303.0310 6.70104300
W w S λπ--=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯J 。

16-7 如图所示，两振动方向相同的平面简谐波分别位于A 、B 点。

设它们的相
位相同，频率均为30=νHz ，波速50.0=u m ·s -1。

求点P 处两列波的相位差。

习题16－7图
解：相位差的定义及余弦定理可得：
21
22 4.10.50r r ϕπππλ-∆===。

16-8 如图所示，B 、C 为两个振动方向相同的平面简谐波的波源，其振动表达式分别为t y π2cos 02.01=和()ππ+=t y 2cos 02.02（国际单位制）。

若两列波在P 点相遇，40.0=BP m ，50.0=CP m ，波速为0.20m·s -1，求：
（1）两列波在P 点的相位差；
（2）P 点合振动的振幅。

习题16-8图
解：（1）把已知条件代入相位差公式λπ
ϕϕϕ12122r r ---=∆
其中0,12==ϕπϕ，40.01=r m ，50.02=r m ，1=νHz ， m u 20.01
20.0==
=νλ，可得 020.040.050.020=---=∆ππϕ （2）m A A 02.021==，由于两列波在P 点的相位差0=∆ϕ，因此在P 点合振动加强，由合振动的振幅公式
ϕ∆cos 2212221A A A A A ++=，可得
P 点合振动的振幅
m A A A 04.021=+=
16-9 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为()t x y 4cos 06.01-=π和()t x y 4cos 06.02+=π（国际单位制）。

（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节点和波腹点的位置；
（2）波腹处的振幅多大？在2.1=x m 处，振幅多大？
解：（1）细绳的合振动为
()()120.06cos 40.06cos 40.12cos cos4y y y x t x t x t ππππ=+=-++=
为驻波方程。

波节位置应满足 ,2,1,0,21±±=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=k k x ππ，由此解得波节位置 ,2,1,0,21±±=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=k k x 波腹位置应满足 ,2,1,0,±±==k k x ππ，由此解得波腹位置
,2,1,0,±±==k k x
（2）波腹处的振幅等于0.12m ；在2.1=x m 处，振幅为
m x 097.02.1cos 12.0cos 12.0==ππ
16-10 一弦上的驻波方程式为)550cos()6.1cos(03.0t x y ππ=（国际单位制）。

（1）若将此驻波看成是由传播方向相反、振幅及波速均相同的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；
（2）求相邻波节之间的距离；
（3）求s t 3100.3-⨯=时位于625.0=x m 处质点的振动速度。

解：（1）将)550cos()6.1cos(03.0t x y ππ=与驻波方程t x A y ωλπcos 2cos
2=相
比较，得两列相干波的振幅 m A 2105.1203.0-⨯==；波长m 25.16.12==λ；频率Hz 2752
550==ν； 波速8.34327525.1=⨯==λνu （m·s -1）
（2）相邻波节之间的距离为625.02
25.121===-=∆+λ
k k x x x m （3）3100.3-⨯=t s 时位于625.0=x m 处质点的振动速度为 t x A v ωλπ
ωsin 2cos 2-=
()131.46100.3550sin cos 55003.0--⋅-=⨯⨯⨯-=s m πππ
16-11 在实验室中做驻波实验时，将一根长3m 的弦线一端系于电动音叉的一臂上，该音叉在垂直弦线长度的方向上以60Hz 的频率作振动，弦线的质量为60×10-3kg 。

如果要使该弦线产生有四个波腹的振动，必须对这根弦线施加多大的张力？
解：由题义可知2L λ=，于是可求出波长
113 1.522L λ==⨯=（m ）
波速 1.56090u λν==⨯=（m·s -1） 再由l T
u ρ=可求出对这根弦线施加的张力为
()3226010901623l T u ρ-⨯==⨯=（N ）。