山东省聊城市2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2019-2020学年高一下学期课后复习卷数学试题(平面向量)含答案
六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是( ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( )2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( ) A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b .12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为_______. 14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=b a . (1)求a 与b的夹角的余弦值；(2)若向量b k a +与b k a -互相垂直，求实数k 的值.17.设a 、b 是两个不共线的向量，(1)记OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？18.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(C ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( C ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( A )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a b C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( B)2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( D ) A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( C B )A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( B A )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( C D )A ．21 B ．31 C ．41 D ．6110.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( A B )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b 4 . 12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 50 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为____120⁰____.14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 2 3 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 1/3 1/2 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量k+与k-互相垂直，求实数k的值.⑴解：由题意：a（4,-3）,b（5,0）∴cosa,b=a·b/|a||b|=20/5×5=4/5∴a与b夹角的余弦值为4/5⑵解：由题意知：（a+kb）·（a-kb）=a²-k²b²=0∵a²=25=b²∴25-25k²=0∴k=1或-117.设a、b是两个不共线的向量，(1)记＝a，＝tb，＝13(a＋b)，当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－x b|的值最小？⑴解：由题意知：AB=λAC，即-a+tb=λ（b-a）解得：t=1∴当t=1时，A,B,C三点共线⑵解：由题意知：|a-xb|=√（a-xb）²解得x=-1/2∴当x=-1/2时，其最小值为√3/218.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．⑴解：设点p （cosα，sinα），AP=（cosα+1/2,sinα）,BP=（cosα-3/2,sinα） ∵AP·BP=-1/4，解得cosα=1/3∵α是锐角∴α=π/3 ⑵解：设M 点坐标为（t,0），则MP=（cosα-t,sinα） 由题意知（4+2t ）cosα-t²+4=0恒成立，解得t=-2 ∴M （-2,0）。
【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章 立体几何初步(解析版)
2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。
山东省聊城市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题
山东省聊城市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，计算20241i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．iB ．1-C ．i -D ．12．长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不构成三角形3．下列结论正确的是（ ）A ．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱B ．一个棱柱至少有6个面C ．相等的角在直观图中仍然相等D ．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥4．已知向量(),4a x =r ，()1,=r b x ，则“2x >”是“向量a r 与b r的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于任意两个向量a r ，b r，则下列命题中正确的是（ ） A ．a b a b +≥+r r r r B ．a b a b -≥-r r r rC ．若a r 与b r共线，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r D ．若a r ，b r 满足a b >r r ，且a r 与b r同向，则a b >r r6．一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系x O y '''中是边长为3的正三角形（如图所示），则原平面图形的面积是（ ）A ．B ．CD ．7．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s in 45A =，12cos 13C =，2a =，则b =（ ）A ．3326 B ．6365 C ．2113 D ．3326或63268．设向量a r 与b r的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=-r r r r ，已知a =r，a b +=r r ，1=r b ，则a b ⊕=r r（ ） ABCD二、多选题9．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，2OA =，则下列结论正确的是（ ）A ．FO OA EF =-u u u r u u u r u u u rB ．0OA OG ⋅=u u u r u u u rC ．2OA OC OF +=-u u u r u u u r u u u rD ．OE u u u r 在BO u u u r上的投影向量为u ur10．已知1z ，2z 为方程220x x m ++=（m ∈R ）的两个不相等的复数根，则（ ）A ．122z z +=-B ．1m =时，较大的根为iC ．3m =时，12z z +=D ．1212z z z z -=-11．已知点O 在ABC V 所在的平面内，且OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．若2AB =，则1AB AO ⋅=u u u r u u u rB ．若2BO BA BC =+u u u r u u u r u u u r，则B 为ABC V 的垂心C ．若BA BC BD BA BC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且()1BD BA BC μμ=+-u u u r u u u r u u u r （λ，R μ∈），则ABD BCD CD S AD S ⋅=⋅△△D ．若π3A ∠=，7b =，5c =，且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +的值为2235三、填空题12．五棱台的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则V F E +-=．13．已知复数()1cos 2sin i z θλθ=--，（λ，θ∈R ），()223i z t t =-+（t ∈R ），若12z z =，则λ的取值范围为．14．在ABC V 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a b ≠，且)()222cos sin a b C c A B -=-，则222c a b +的取值范围为．四、解答题15．已知复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()0,2-，()3,4． (1)若21z z z =，求z 的共轭复数； (2)若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16．已知向量()1,2a =r ，()2,1b =-r，()1,c λ=r ． (1)若()2a b c -⊥r r r ，求c r，()a b c ⋅+r r r ；(2)在（1）的条件下，若向量c r 与ka b +r r 平行，求c r 与a kb +r r夹角的余弦值．17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =． (1)若()()sin sin sin sin sin sin AB A B BC +-=，证明：2c b =； (2)若2a =，AD 是ABC V 的中线，求AD 的最大值． 18．阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c，则三角形的面积为S = 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则它的面积为S =()12p a b c =++，这个公式称之为海伦公式． 请回答下面的问题：(1)已知ABC V 的周长为36，且满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求这个三角形的面积S ；(2)已知ABC V的三边长分别为a b =3c =，求这个三角形的面积S ； (3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）19．如图，在ABC V 中，AP PB =uu u r uu r ，2AO OC =u u u r u u u r ，点R 为BO 和CP 的交点，设AB a =r ，AC b =r ．(1)设AR xa yb =+u u r ur r，求x ，y 的值；(2)若2a =r ，3b =r ，π,3a b =r r ，求ABR S △；(3)若H 在BC 上，RH BC ⊥，且22a b ==r r，求CH CB u u ur u u u r 的取值范围．。
(立体几何基础题)(原卷版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。
潍坊市高一数学下学期期末考试试题含解析
当 时， ,此时 ，点 ， ，故D正确，
故选:AD．
【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果,属于中档题。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】(1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）用三角函数的定义；
（2)先求正切值，再把弦化切.
【详解】(1)由题意知， ，
因为 ，
所以 。
解得 ，
所以 .
(2）当 时， ，
所以 。
【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系。
18。 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是 .
【详解】由题意，某扇形的半径为 ,圆心角为 ,
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为 。
故选:B。
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力。
4。 在 中，点 满足 ，则（ )
A。 B.
C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.
对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为 , 是空间两个不同的平面,而 ,所以平面 与 相交，即 ， 必相交于一条直线，故C正确；
对于D，当直线 与平面 相交，且 垂直于平面 内的无数条直线,若这些直线中没有相交直线，则 不一定垂直平面 ,故D 不正确，
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题(解析版)
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题一、单选题 1．若复数21iz =-+，则z =（ ）A ．2BC ．1D 【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i ⋅--===---+-+--，所以z ==故选：B2．在ABC 中，已知6a =，4b =，c =C =（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒【答案】C【分析】利用余弦定理的推论计算cos C 的值，进而求出C 的值.【详解】因为6a =，4b =，c = 所以2223616281cos 22642a b c C ab +-+-===⨯⨯， 又()0,180C ︒∈，所以60C ︒=.故选：C .3．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =．若λ为实数，(a λb +)∥c ，则λ＝（ ）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】先求出a λb +的坐标，再由(a λb +)∥c ，，列方程可求得结果 【详解】因为向量(1,2)a =，(1,0)b =， 所以(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+， 因为(a λb +)∥c ，(3,4)c =， 所以1234λ+=，解得12λ=，4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为182，那么原正方形的面积为（ ） A ．36 B ．362C ．72D ．722【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为a ，根据斜二测画法的原则可知O C a ''=，1122O A OA a ''==，高122sin 452A D O A a '''=︒==， ∴对应直观图的面积为222182a ==即272a =，故原正方形的面积为72. 故选：C.5．已知点D 是ABC 所在平面上一点，且满足12BD BC =-，则AD =（ ）A ．1122AB AC -B ．1122AB AC +C ．1322AB AC -+D ．3122AB AC -【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案． 【详解】解：由题意：D 为ABC 所在平面内的一点， 12BD BC =-，所以32CD CB =所以()33312222AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-故选：D ．6．瑞士著名数学家欧拉发现公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，2021i4πe 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】∵2021i 420212021cossin i cos 505sin 505i 4444πππππe ππ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cossin i i 4422ππ=--=--， ∴2021i4πe表示的复数在复平面内对应的点22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.7．已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G 是△ABC 的重心. 【详解】因为0GA GB GC ++=，所以 GA GB GC CG +=-=.以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG GD =，所以13GO CO =，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A 2310 B ．298aC 232 D 210 【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且11222EF AD a ==， 所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ， 其中22EF a =，12BC a =，22152BE C F AB AE a ==+=， 过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ， 所以，四边形EFHG 为矩形，则2GH EF ==， 所以，1122BC EF BG C H -==， 所以，梯形1BC FE 的高22225232244a a h BE BG ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 梯形1B CFE 的面积223219228a S a ⎫=⨯=⎪⎪⎭.故选：B.9．已知非零向量a ，b ，下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a ，b 为单位向量，则a b =C ．若a b >且a 与b 同向，则a b >D ．a b a b +≥+【答案】A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A ，若a b =，则两向量的大小相等，方向相同，故a b =成立，故A 对， 对于B ，若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，故a b =不成立，故B 错， 对C ，因为两向量不能比较大小，故C 错，对于D ，根据平面向量的三角形法则a b a b +≤+成立，故D 错， 故选：A二、多选题10．下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内B ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线C ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D ．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】BC【分析】由公理1判断A ，由公理3判断B ，由空间中点、线、面的位置关系判断C 和D .【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A 错误；由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B 正确；因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C 正确； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D 错误. 故选：BC .11．已知△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =，下列结论正确的是（ ） A ．sin 2sin C B =B ．若30B ∠=︒，则△ABC 为直角三角形C ．若60BAC ∠=︒，则△ADC 为等边三角形D ．若30BAD ∠=︒，则△ABD 为等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=，利用正弦定理即可判断A ； 若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，可求得角C ，即可判断B ；若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，结合sin 2sin C B =，求得△ABC 的内角，即可判断CD. 【详解】解：做出图形：由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=， 在△ABD ，△CAD 中，由正弦定理得sin sin AD BDB α=，sin sin AD CDC α=， 两式相除得sin 2sin C BDB CD==，所以sin 2sin C B =. 对于A ，由以上可知，A 正确；对于B ，若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，故90C =︒，故B 正确； 对于D ，若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，所以120C B =︒-，代入sin 2sin C B =得()sin 1202sin B B ︒-=，即sin120cos cos120sin 2sin B B B ︒-︒=，即33cos sin 22B B =，所以3tan 3B =，所以30B =︒，90C =︒，故△ABD 为等腰三角形，△ADC 为直角三角形，故C 错误，D 正确. 故选：ABD.12．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱11AD 始终与水面EFGH 平行 D ．当1E AA ∈时，AE BF +是定值 【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水面四边形EFGH 的面积是改变的可判断B ；由11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ，可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D .【详解】根据面面平行性质定理，可得BC 固定时，在倾斜的过程中，始终有//////AD EH FG BC ， 且平面//AEFB 平面DHGC ，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A 正确； 水面四边形EFGH 的面积是改变的，故B 错误；因为11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ， 所以11//A D 水面EFGH 正确，故C 正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE 面积不变， 即当E 在1AA 时，AE BF +是定值.故D 正确. 故选：ACD .三、填空题13．已知复数z 满足2z =，则34z i +-的最小值是______． 【答案】3【分析】根据绝对值不等式a b a b a b -≤+≤+，求出34z i +-的最小值即可． 【详解】∵复数z 满足2z =， ∴3434523z i i z +-≥--=-=， ∴34z i +-的最小值是3． 故答案为3．【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________.【答案】10【分析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解． 【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+=．故答案为：10．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=__________．21. 【分析】利用余弦定理求出BC 的数值，正弦定理推出ACB ∠的余弦值，利用()cos cos 30ACB θ=∠+︒展开求出cos θ的值．【详解】解：如图所示，在ABC 中，40AB =，20AC =，120BAC ∠=︒， 由余弦定理得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=， 所以7.BC =由正弦定理得21sin sin AB ACB BAC BC ∠∠=⋅=． 由120BAC ∠=知ACB ∠为锐角，故227cos 1sin ACB ACB ∠=-∠ 故()21cos cos 30cos cos30sin sin3014ACB ACB ACB θ∠∠∠=+=-=． 21.四、双空题16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ､Q 是地球表面上的两点.①若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ 的面积为___________.②若26NP NQ PQ ===，则球面NPQ △的面积___________. 【答案】23R π 2R π【分析】利用PQ 所在的经度求出球面三角形PNQ 面积，再利用已知可得三角形PNQ 为等边三角形，进而可以求解．【详解】解：PQ 在赤道上，且经度分别为40︒和100︒，上半球面面积为221422R R ππ⨯⨯=，球面PNQ 面积为226023603R R ππ︒⨯=︒， 当26RNP NQ PQ ==PNQ 为等边三角形， 根据题意构造一个正四面体N PQS -，如图所示： 其中心为O ，O 是高NH 的靠近H 的四等分点， 则1cos cos 3OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-=-=-， 由余弦定理可得：22222221cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅， 解得26PN ，正好为题目所给的长度， 所以球面PNQ 的面积为22144PNQS R R ππ=⨯=， 故答案为：23R π；2R π．五、解答题17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C －中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面1EFA ∥平面BCHG ． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析【分析】（1）通过证明//BC GH 来证得,,,B C H G 四点共面. （2）通过面面平行的判定定理来证得平面1EFA ∥平面BCHG . 【详解】（1）由于,G H 分别是1111,A B AC 的中点，所以11//GH B C ， 根据三棱柱的性质可知，11//BC B C ， 所以//BC GH ，所以,,,B C H G 四点共面.（2）由于,E F 分别是,AB AC 的中点，所以//BC EF ，由于EF ⊂/平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，所以//EF 平面BCHG .根据三棱柱的性质可知11//,AG BE AG BE =， 所以四边形1BEA G 是平行四边形，所以1//A E BG ，由于1A E ⊂/平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，所以1//A E 平面BCHG . 由于11,,EF A E E EF A E ⋂=⊂平面1EFA ，所以平面1EFA ∥平面BCHG .18．已知复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根.（1）求a ，b 的值；（2）若复数z 满足i z a b =+，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积.【答案】（1）3a =，3b =；（2）在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为圆，18S π=.【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a ，再根据0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根结合韦达定理即可求得b ；（2）设()i,,z x y x y R =+∈，根据i z a b =+，即可求得在复平面内z 对应的点Z 的轨迹，从而得出答案.【详解】解：（1）∵复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，∴22430320a a a a ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得3a =， ∴02i z =，由韦达定理可得，0032i 6i z b z b +=+⎧⎨=⎩，解得3b =； （2）∵复数z 满足i z a b =+，∴z =设()i,,z x y x y R =+∈，则有2218x y +=，∴在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为∴218S πr π==.19．已知ABC的面积为①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-. (1)b 和c 的值.(2)sin()A B -的值.【答案】(1)若选①：2b =，c =②：8b =，c =(2)若选①；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【详解】（1）若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=， ∴c =若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，sin B ==，∵211sin 22S ac B c ===∴a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；（2）若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得62sin sin A B =，∴sin A =sin B ， ∵,(0,)2A B π∈，∴cos Acos B ，∴sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-. 若选择条件②： 由正弦定理得sin sin a b A B =，∴1sin sin 3aA B b ==， ∵(0,)2A π∈，∴cos 3A ==∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯-=-． 20．已知向量a 与b 的夹角为34πθ=，且3a =，22b =. （1）若2ka b +与34a b +共线，求k ；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值.【答案】（1）32；（2. 【分析】（1）可设()234ka b a b λ+=+，可得出关于λ、k 的方程组，解出这两个未知数即可得解；（2）计算出()a a b ⋅+、a b +的值，利用平面向量的数量积可求得a 与a b +的夹角的余弦值.【详解】（1）若2ka b +与34a b +共线，则存在λ，使得()234ka b a b λ+=+即()()3240k a b λλ-+-=， 又因为向量a 与b 不共线，所以30240k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得1232k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以32k =； （2）cos 36a b a b θ⎛⋅=⋅=⨯=- ⎝⎭， 222912a b a a b b +=+⋅+=- ()296cos ,35a ab a a ba ab a a b a a b ⋅++⋅-<+>====⋅++21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【答案】（1）3R r =；（2）123::3S S S =；（3）3:8. 【分析】（1）根据题意分析出△ABC 为直角三角形，及30ABC ∠=︒，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形， 故30ABC ∠=︒，所以：AC R =，3BC R ，所以32BC R r == （2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=， 故小圆锥的母线长为R 3R ，所以213πS R =，2232πS R =⋅，234S πR =⋅，故123::3S S S .（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π. 故两个圆锥的体积和为32πR ；体积之比为：334:3:823R R ππ=. 22．如图，某市政府计划在长为1km 的道路AB 一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC （ACB ∠为直角）和以BC 为直径的半圆形区域拼接而成.点P 为半圆弧上的一点（异于B ､C ），CH AB ⊥.设,62ππA θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足CAB PBC ∠=∠，且CA CP +达到最大值.求θ为何值时，CA CP +最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足π3PBA ∠=，且CH CP +达到最大值.问当θ为何值时，CH CP +取得最大值.【答案】（1）3πθ=时，AC CP +的最大值为54；（2）512πθ=. 【分析】（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，则cos AC θ=，2sin PC θ=，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH =⋅⋅=⋅，得sin cos CH θθ=，在直角△PBC 中，sin sin 6πPC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，1AB =千米，则在直角△ABC 中，cos AC θ=，sin BC θ=，在直角△PBC 中，2sin sin PC BC θθ=⋅=，2cos cos 1AC CP θθ+=-++，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当1cos 2θ=，即3πθ=时，AC CP +的最大值为54； （2）在直角△ABC 中，由1122ABC SCA CB AB CH =⋅⋅=⋅， 解得sin cos sin cos 1θθCH θθ==， 在直角△PBC 中，sin sin sin 326πππPC BC θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以31sin cos sin cos 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故23131cos 21sin cos sin cos 222θCH CP θθθθθ-++=+11sin 22sin 2423πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以当512πθ=时，CH CP +.。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
期末考试综合检测试卷-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题(人教A版2019必修第二册)
高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。