第三章 时域分析法(3)稳定性与代数判据

2、Routh判据
A、方法： （1）列出系统闭环特征方程 an s n an1s n1 a1s a0 0 （2）列写Routh计算表
sn S n-1 S n-2 S n-3 s2 s1 s0
an a n 1 A1 B1 D1 E1 F1
an 2 a n 3 A2 B2 D2
j 1 k 1
k knk 为复根的实部
xo (t ) B(t ) Aj e Ak e k t sin(dk t k )
s jt j 1 k 1
n1
n2
k knk 为复根的实部
t 瞬态项 0 ，则 xo (t ) B(t ) ， 由稳定性定义， 系统回到原平衡状态或新的平衡，该系统稳定。
1 s 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) 1 G (s) H ( s)
1 令K p lim G ( s ) H ( s )，则 ss S 0 K p 1 K p：位置无偏系数
2、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数
1 s 2 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) sG ( s) H ( s)

系统稳态偏差与两个因素有关
1.系统结构（反映在 传函) 2.输入信号Xi(s)
1 1 G( s) H ( s)
， G(s)H(s)－开环

因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般 根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态 偏差来判别。本节研究的就是不能跟踪上述 典型输入而引起的稳态偏差。
1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数
(1)s 4 3s3 s 2 3s 1 0 (2)s3 2s 2 s 2 0
试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定， 指出右根的个数。
（3）Routh表中第k行的数据全为0，说明复平面内存
在大小相等符号相反的根。可能是大小相等符号相反 的实根、或成对的纯虚根、或对称于虚轴的两对共轭 复根。 a.利用k-1行的元素构成辅助方程； b.求辅助方程对s的导数，将其系数组成新行代替第 k行数据； c.继续计算Routh表。
一、系统的误差及偏差

误差e(t) （输出端定义）
e(t ) xor (t ) xo (t ) 希望值－实际输出
E1 (s) X or (s) X o (s)

) 偏差 (t（输入端定义 ）
E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) X o ( s ) H ( s )
控制工程基础
第三章 系统的时间响应分析（3）
控制系统时域分析的内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

时间响应及其组成 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 高阶系统的时间响应 系统稳定性的初步概念 Routh(劳斯)稳定判据 系统误差分析与计算
3.5 系统稳定性的初步概念
一、稳定的定义
二、稳定的充要条件
一、稳定的定义
举例：炮瞄雷达系统是一个位置 随动系统，其输出即炮筒位置能 跟随输入即飞机位置在广阔范围 内任意变化。假设其控制部分采 用液压控制，如图所示：
可以看出，系统的稳定与否由过渡过程随着时 间的推移是否逐渐衰减并趋于零来决定的，所 以教材P164关于稳定的定义是这样叙述的：
D，当n<4时，Routh判据可做如下简化
1) n 1 a1s a0 0 稳定条件：a0、a1 0
2) n 2 a2 s a1s a0 0
2
稳定条件：a0、a1、a2 0
3) n 3 a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 稳定条件为： a0、a1、a2、a3 0 a2 a1 a0 a3 0
例4 设系统的特征方程为 (1)s 6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0
(2)s5 2s 4 24s3 48s 25s 50 0
试用Routh判据判断系统的稳定性，若不 稳定，指出不稳定的根的个数。
注：运用Routh判据时，为简化计算，可用一个 整数乘或除一整行而不改变稳定性结论。
系统有n个特征根，其中n1个实根si， n2对共轭复根si+1,i+2; 2 j 1 n j d si+1,i+2=σ±jω n n
根据前面所学知识，系统响应为：
稳态项
n1 s jt n2
瞬态项
xo (t ) B(t ) Aj e Ak e k t sin(dk t k )
1 令K v lim sG ( s) H ( s)，则 ss S 0 Kv K v：速度无偏系数
3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数
1 s 3 1 s ss lim 2 S 0 1 G ( s ) H ( s ) s G(s) H (s)
1 令K a lim s G ( s) H ( s)，则 ss S 0 Ka
这种过程进行到n+1行，第n+1行只有一个元素:a0
B、判据充要条件
若Routh表中左端第一列各元素均为正，则系统 特征方程式所有的根都具有负实部（位于复平 面左侧），此时系统稳定。
例1 设系统的特征方程为：
s 4 6s 3 12s 2 11s 6 0
试用Routh判据判断系统的稳定性。
ss lim (t ) lim sE ( s )
t s 0
三、与输入有关的稳态偏差
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
E ( s) 1 X i ( s) 1 G( s) H ( s)
ss lim (t )
t
1 lim sE ( s ) lim s X i ( s) s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
二、稳定的充要条件－仅指线性系统（包括小
偏差下线性化系统） 假设系统的微分方程为：
an xo (t ) an 1 xo bm xi
( m) (n) ( n 1)
o (t ) a0 xo (t ) (t ) a1 x i (t ) b0 xi (t ) (t ) b1 x
例5，单位反馈系统的开环传递函数为
k Gk ( s) s(0.1s 1)(0.25s 1)
试确定系统稳定的k值的范围。
3.6系统稳态误差分析与计算
一、系统的误差e(t)及偏差 (t ) 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差
(t ) bm 1 xi
( m 1)
( n m)
则其传递函数为：
X o ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( S ) X i ( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0
特征方程为：
an s n an1 s n1 a1 s a0 0
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
输出偏离希望值时（一般情况）
E(s) X i (s)－X o (s) H (s) ＝X i (s)－ [ X or (s) E1 (s)]H (s)
X i ( s) X i ( s)－[ E1 ( s)]H ( s) H ( s)
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
表中
an 2 1 an A1 a n 1 a n 1 a n 3 an 4 1 an A2 a n 1 a n 1 a n 5
1 a n 1 B1 A1 A1 1 a n 1 B2 A1 A1 an 3 A2 an 5 A3
闭环传函分母和外界输入无关； 传函分子与输入作用于系统的位置有关； 稳定性和传函分子即零点无关，仅与极点有 关，说明稳定性系统本身固有的特性，由结 构参数决定； 开环系统总是稳定的，仅对存在反馈的闭环 系统才讨论稳定性。

Routh稳定判据－避开对特征方程根的直接
求解，讨论特征根的分布。
对控制系统的性能的基本要求是：稳定性、 快速性、准确性。可见，稳定性是对系统性能的 首要要求，因为不稳定的系统是不能正常工作的。 分析系统的稳定性和使系统处于稳定的工作状态 是自动控制的基本问题之一，那么什么样的系统 是稳定的？如何判断一个系统是否稳定？这就是 我们第五节和第六节所要讨论的问题－用时域分 析法来研究系统稳定性问题。

下面通过讨论si和σk的取值研究稳定条件 1. 对于实指数项有：
si 0, e 0(t )
si t
对于复指数项有：
k 0, e
kt
0(t )
曲线衰减
si t kt s 0 , 0 , 则 e 发散， e 发散。 2. 反之，若 i k 对照定义，此时系统不稳定。 3. 当σk中至少一个为0时，响应存在等幅振荡分量， 此时临界稳定，这样的系统在实际工程中也是不稳 定的。
（2）Routh表某一行第一列元素为0，其余不全为0。 这样计算下一行时会出现 ，无法继续进行计算。 这时可用一个很小的正数ε来代替0继续计算。 0上下符号相同说明存在成对的纯虚根，若第一列其它 元素均为正，则系统临界稳定；0上下符号不同，系统 不稳定，右根的个数由变号次数决定。 例3 设系统的特征方程为
1、系统稳定性的初步鉴别（必要条件）

对于特征方程
an s n an1s n1 a1s a0 0
式中所有系数均为实数，且an>0，要使全部特 征根都具有负实部，必要条件是特征方程的所有 系数均大于0，即ai>0(i=1,2,……,n)。