根与系数的关系.1根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系及应用题
一元二次方程根与系数的关系及应用题一、 根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。
4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。
若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。
如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是 ；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求： （1）11αβ+；（2）()()33++βα的值； （3）22αβ+； （4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有 个。
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
一元二次方程的根与系数关系
知识创造未来一元二次方程的根与系数关系一元二次方程是数学中经常接触的基础知识，它的形式为ax²+bx+c=0，a、b、c代表三个系数，x代表未知数。
其中a不为0，因为当a为0时，方程就变成了一元一次方程。
对于一元二次方程，我们可以通过求解它的根来得出x的值。
那么，一元二次方程的根与系数关系是什么呢？首先，我们可以利用求根公式得出一元二次方程的两个根：x1=(-b+√(b²-4ac))/2a和x2=(-b-√(b²-4ac))/2a。
在这个公式中，我们可以看到a、b、c三个系数的重要性。
其次，我们来探讨一下一元二次方程的根与系数的关系。
当a>0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，若b²-4ac>0，方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，方程无实根，有两个共轭虚根。
最后，我们来总结一下一元二次方程的根与系数的关系。
在一元二次方程中，若a>0，则与b²-4ac的大小有关，若b²-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b²-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b²-4ac<0，则方程无实根，有两个共轭虚根。
而当a<0时，情况与a>0时类似，只是有些细节上的差异。
掌握这些规律，可以更好地求解一元二次方程，提高数学学习的效率。
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数学中根与系数的关系
数学中根与系数的关系稿子一：嗨呀，亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里超有趣的根与系数的关系！你知道吗，这就像是数学世界里的小秘密。
比如说一元二次方程ax² + bx + c = 0 ，它的两个根 x₁和 x₂，它们和系数之间有着神奇的联系。
那系数 a、b、c 就像是方程的“家长”，而根 x₁和 x₂就是“孩子”。
这“家长”和“孩子”之间的关系可紧密啦！韦达定理告诉我们，x₁ + x₂就等于 b/a ，x₁ × x₂呢，就等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，我们通过知道“家长”的情况，就能猜出“孩子”之间的某种规律。
比如说，如果系数 a 是正数，b 是负数，那大概能猜到两个根相加是个正数，是不是很有意思？而且哦，在解题的时候，根与系数的关系可帮了大忙啦！有时候我们不需要费劲地去求出根具体是多少，通过它们和系数的关系就能得到很多有用的信息。
比如说，要判断两个根的正负，或者计算两根之和、两根之积的范围，都能靠这个关系轻松搞定。
怎么样，是不是觉得根与系数的关系不再那么枯燥，反而有点可爱啦？稿子二：嘿，朋友们！咱们来唠唠数学里那个神奇的根与系数的关系。
这玩意儿啊，就像是数学给咱们设的一个小魔法。
咱就拿一元二次方程来说，一旦有了它，根和系数就像一对默契的小伙伴。
你看啊，当方程ax² + bx + c = 0 摆在那，它的根 x₁和 x₂可没闲着。
它们和系数 a、b、c 之间有着特殊的约定。
比如说，x₁ + x₂就等于 b/a ，这就好像是它们之间的秘密暗号。
而 x₁ × x₂等于 c/a ，是不是很奇妙？有时候，咱们做题遇到难题，感觉走投无路的时候，想起这个根与系数的关系，就像找到了一把神奇的钥匙。
比如说，题目告诉你方程的一个根，让你求另一个根，这时候根与系数的关系就能大显身手啦。
还有哦，如果让你判断根的大小、正负啥的，只要看看系数的情况，心里就大概有底了。
根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程的两根为，且，则。
4、已知是方程的两个根，那么：；；。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则；。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。
1元二次方程根与系数的关系
1元二次方程根与系数的关系1元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个方程的根可以通过求解方程的判别式来得到。
判别式D=b²-4ac可以判断方程的根的情况。
根据判别式的值，可以分为以下三种情况：1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。
其中，“±”表示两个不同的解。
2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。
3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。
其中，“±”表示两个不同的解，而√(-D)表示虚数单位i乘以根号下的-D。
接下来，我们将具体讨论根与系数之间的关系。
我们来看当a=1时的情况。
也就是1x²+bx+c=0。
根据判别式D=b²-4ac，我们可以得到此时的判别式为D=b²-4c。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√D)/(2a)得到。
2. 当D=0时，方程有两个相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=-b/(2a)得到。
3. 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
此时，方程的根可以通过求解公式x=(-b±√(-D))/(2a)得到。
接下来我们来看根与系数的具体关系。
首先考虑D>0的情况。
根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²>4c。
也就是说，系数b的平方大于4倍系数c。
当b²=4c时，判别式D=0，方程有两个相等的实根。
当b²<4c时，判别式D<0，方程没有实根。
然后考虑D=0的情况。
根据判别式D=b²-4c，我们可以得到b²=4c。
专题一、根与系数的关系
专题一、根与系数的关系知识提炼：21、一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，用来判断一元二次方程的实根个数。
当$\Delta>0$ 时，方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有一个实数根；当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根。
2、一元二次方程的求根公式为 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
一元二次方程的根有以下基本结论：（1）若有无理根，则必成对出现；（2）若 $a+b+c=0$，则有一个根为1；（3）若 $a-b+c=0$，则有一个根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的两个根为$x_1$ 和 $x_2$，那么：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。
经典考题赏析：例1（天津中考）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+(m-2)=0$ 的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根；B、有两个相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定。
例2（山东中考）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为0，则$m$ 的值为（）A、1；B、2；C、1或2；D、无法确定。
例3（河南中考）已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+1-3m=0$ 的两个实数根，且 $x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)>0$，那么实数 $m$ 的取值范围是？例4（全国联赛）已知 $t$ 是实数，若 $a,b$ 是关于一元二次方程 $x^2-2x+t-1=0$ 的两个非负实根，则 $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$ 的最小值是多少？例5（北京市）已知关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x+2k-4=0$ 有两个不相等的实数根。
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解： a 2, b 5, c 7 解： a 2, b 3, c 1
=b2 4ac=52 4 2 7
=81>0
b5 x1 x2 a = 2
x1x2
c a
7 2
2
=b2
x1
x24ac==ba5>30
43 2
2
1
∴x原1x2方 程ac 无12实数根
3、 4x2 8x 3 0
2x 12x 3 0
x1
=
1 2
，x2
=
3 2
a 4, b 8, c 3
x1 x2 2
=b a
3 x1x2 4
=c a
4、 6y2 y 15 0
2y 33y 5 0
y1
=
3 2
，y2
=
5 3
5 x1 x2 2
=b a
x1 x2
3 2
=c a
2、 2x2 x 6 0
x 22x 3 0
x1
=
2，x2
=
3 2
a 2, b 1, c 6
1 x1 x2 2
=b a
x1x2
3
=c a
6、用十字相乘法解一元二次方程：
b x1 x2 a = 5
x1x2
c a
6
=b2 4ac=32 4 2 5
=49>0
x1
x2
b a
3 2
x1x2
c a
5 2
8、不解方程，写出方程两个根的：
3、 2x2 5x 7 0
4、 2x2 3x 1 0
△>0,方程有 两个不相等的 实数根：
2、 2x2 2 2x+1 0
解： a 2,b 2 2,c 1
且=b2 4ac
2
2
2 4 21 0
b b2 4ac 2 2 0
x=
2a
4
2 2
即：x1 x2
2 2
△=0,方程有 两个相等的实 数根：
x 2x 3 0
x1=2，x2 = 3
4、 m2 5m 6 0
m 1m 6 0
m1= 1，m2 =6
6、用十字相乘法解一元二次方程：
1、 2x2 5x 3 0
x 12x 3 0
x1
=
1，x2
=
3 2
a 2, b 5, c 3
a 6, b 1, c 15
x1
x2
1 6
=b a
5 x1x2 2
=c a
7、一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0的
求根公式：x b b2 4ac 2a
x1= b
b2 4ac ,
2a
b x2 =
21.2 21.1根与系数的关系
昆十八中 钟伟林
学习目标:
1、会用根的判别式来判断一元二次 方程根的情况。
2、探索一元二次方程的根与系数的 关系。
3、会用根与系数的关系解决简单问题。
1、求根公式：
一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0的
求根公式：x b b2 4ac 2a
其中： b2 4ac称为根的判别式
2、解一元二次方程：
1、 x2 4x 7 0
解： a 1,b 4, c 7
且=b2 4ac 42 417 44
x= b b2 4ac 4 44
2a
2
2 11
即：x1 2 11，x2 2+ 11
b2 4ac 2a
有：x1
+x2
=
b a
c x1x2 = a
8、不解方程，写出方程两个根的和与积：
1、 x2 5x 6 0
2、 2x2 3x 5 0
解： a 1, b 5, c 6 解： a 2, b 3, c 5
=b2 4ac=52 41 6 =1>0
4、 m 22 +3 0
∴方程没有实数根
∴方程没有实数根
5、用十字相乘法解一元二次方程：
1、 x2 5x 6 0
x 2x 3 0
x1= 2，x2 = 3
3、 x2 7x 10 0
x 2x 5 0
x1=2，x2 =5
2、 x2 x 6 0
3、 x2 17 8x
解： x2 8x 17 0 a 1,b 8,c 17
且=b2 4ac 82 4117
4 0
原方程无实数根.
△<0,方程没 有实数根：
3、归纳：
对于一元二次方程：ax2 +bx+c 0a 0
其中：判别式 b2 4ac 当△>0时,方程有两个不相等的实数根； 当△=0时,方程有两个相等的实数根； 当△<0时,方程没有实数根。
4、不解方程，用根的判别式判断方程的根的情况：
1、 2x2 3x 1 0
2、 3x2 6x+3 0
解： a 2, b 3, c 1 ∴方程有两个相
=b2 4ac=32 4 2 1 等的实数根
=17>0
∴方程有两个不相等的实数根
3、 a2 2a 1 0