专题3 巧用根与系数关系解题（含答案）
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
专题3：根与系数的关系(含答案)
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 （1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 （1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0 （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a 为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，解得：m＞-，∵二次项系数≠0，∴m≠0，∴当m＞-且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2=，x1x2=，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．例2.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x==2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．例3.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0 ∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-，x1•x2=，n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，∴x2-x1-m=-m=-m=0，解得：m=-2，m=4，∵m＞0，∴m=4．例4..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5．∵m＞2，∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1•x2=m2+5＞0，∴x1＞0、x2＞0．∵x12+x22=-2x1•x2=|x1|+|x2|+2x1•x2，∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，解得：m=3．例5.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k-3）2=0，∴k=，方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-）=0，∴k=，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=，αβ=，∵+=1，∴==1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=×=；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m （2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=或m=-1，所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. （1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1•x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组，解之得：，∴x1•x2=-k2=-16，∴k=±4．5. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜，∴k=-2．6. 解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+m-3=0 解得m=．7. 解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵∴当时，x12+x22的值最小．此时，即最小值为．。
2017专题3：根与系数的关系(含答案)
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m 的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m 的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且点B （m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足+=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a 为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，例3.解得：m＞-，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例4.∴当m＞-且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6.∴x1+x2=，x1x2=，例7.∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，例8.解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．例9.例10.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.（2）∵x==2m±3，例13.∴x1=2m-3，x2=2m+3，例14.∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，例15.∴m=5．例16.例17.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），例18.=m2+8m+16=（m+4）2例19.又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），例22.∴x1+x2=-，x1?x2=，例23.n=x2-x1-m，且点B（m，n）在x轴上，例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0，例25.解得：m=-2，m=4，例26.∵m＞0，∴m=4．例27..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，例28.∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．例29.（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，例30.∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．例31.∵m＞2，例32.∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，例33.∴x1＞0、x2＞0．例34.∵x12+x22=-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，例35.∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，例36.解得：m=3．例37.例38.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，例39.∴方程总有实根；例40.解：（2）∵两实数根互为相反数，例41.∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；例42.（3）①当b=c时，则△=0，例43.即（2k-3）2=0，∴k=，例44.方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45.②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-）=0，例46.∴k=，例47.方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，例48.∴c=2，C△ABC=10，例49.当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，例50.综上所述，△ABC的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=，αβ=，∵+=1，∴==1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=×=；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=或m=-1，所以存在正数m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.（1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1?x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组，解之得：，∴x1?x2=-k2=-16，∴k=±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1?x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+m-3=0解得m=．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵∴当时，x12+x22的值最小．此时，即最小值为．。
根与系数的关系典型例题
根与系数的关系典型例题1. 介绍根与系数的关系说到根与系数的关系，大家是不是会想起那些让人头疼的数学公式？其实，这里面有很多有趣的故事和小秘密！首先，我们得知道，根就是方程的解，而系数则是那些在方程里“跑龙套”的数字。
就好比一部电影，主角是演员，系数就是幕后制作人。
没有系数，根就像失去了方向的小船，根本不知道往哪儿开！那么，什么是根与系数的关系呢？简单来说，根与系数之间有一套默契的“交往规则”。
比方说，如果你有一个二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，它的根分别是 ( r_1 ) 和( r_2 )，那么根据我们耳熟能详的维达定理，咱们可以轻松得到一些好玩的关系：根的和是 ( r_1 + r_2 = frac{b{a )，根的积是 ( r_1 times r_2 = frac{c{a )。
这就好比，你在一场聚会上认识了两个新朋友，没想到他们之间还有些神秘的联系。
1.1. 举个例子比如，我们来看看具体的例子吧。
假设有个方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )。
大家觉得这个方程复杂吗？其实一点也不！我们首先可以把它简化成 ( x^2 2x + 1 = 0 )。
这看起来是不是像是某个经典的双人舞？没错，它的根就是 ( r_1 = 1 ) 和 ( r_2 = 1 )，这两个根实质上是同一个！所以根的和 ( r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2 )，而根的积 ( r_1 times r_2 = 1 times 1 = 1 )。
让我们看看它们和系数之间的关系：根的和是 ( frac{4{2 = 2 )，根的积是( frac{2{2 = 1 )。
哎呀，真是太巧合了，根和系数简直是一对欢喜冤家！1.2. 总结小技巧所以，记住了哈，根与系数的关系不仅能帮助我们解方程，还能让我们在数学的世界里游刃有余。
我们只要掌握这几个小技巧，简单明了，就能在考试时轻松应对。
就像打游戏升级一样，搞定了根与系数的关系，接下来的题目也能轻松通关，绝对让你赢得“数学大咖”的称号。
初中数学_巧用根与系数的关系解方程
巧用根与系数的关系解方程湖北省黄石市下陆中学周国强如果实数、满足+=-,=,那么和是方程(≠0)的两个根．依此解一类方程，常会取得事半功倍之效．请看几例：例1解方程-= 6．分析：原方程可化为+= 6,而×=5，故可构造以和为根的一元二次方程,先求，继而解得，=-2,=．例2解方程（+1）(+2)( +3)( +4)=120．分析：原方程可化为(+5+6)( +5+4)=120，即(+5+6) （--5-4）=-120，而(+5+6)+ （--5-4） =2，故可构造以(+5+6)和（--5-4）为根的一元二次方程-2-120=0．解得=12，=-10,当=12时，+5+6=12，解得=-6,=1；当=-10时，+5+6 =-10（方程无实根）；故原方程的根为=-6,=1．例3解关于的方程+=．分析：考虑到（）+（）=-,而（）+（）=（+）-2×，所以×=[--()]= 0，故可构造以和为根的一元二次方程-=0，解得=,=．例4解方程+=2．分析：考虑到+（）=+=()，又+（）=（+）-2×=（）-,所以（）+2×- 8 = 0，即（+4）（-2）= 0 ．因为＞0，所以只有=2，即×= 2,故可构造以和为根的一元二次方程-2+2 = 0，解得==．即==，经验=是原方程的根．例5解方程（+2-6）+(-2)= 0．分析：由非负数性质得，+2=6，及=2，即×2= 8，故可构造以和2为根的一元二次方程-6+8 = 0,解出的值后，继而求得原方程的解为：,,,．由以上几例可以看出，用韦达定理解方程，关键是将方程变形为“+=，=”这种模型，再构造相应的一元二次方程，从而求出原方程的解．。
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
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专题3 巧用根与系数关系解题知识解读根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12cx x a ⋅=；反之，如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b cx x a a++=的两个根．数学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，1211x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩：；（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（5）有一根为0，必有0c a=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0ba -<．培优学案典例示范例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程． 【解答】 跟踪训练1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程． 【提示】只需求出221211x x +和221211x x ⋅的值． 【解答】2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根． 例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！【解答】 跟踪训练1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22123x x +=，求m 的值． 【提示】先把2212x x +变形为()212122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值． 【解答】2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．【提示】将原式变形为()2121231680x x x x +-=-． 【解答】例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式． 【解答】 跟踪训练若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()21212x x x x ++的最小值．【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围． 【解答】例4 已知βα，是方程0132=-+x x 的两个根，求βαα-+22的值.【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312-=，所以原式()4311=+=+-=βα.技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能另辟蹊径.易求31,3122ββαα-=-=，所以原式()()()43123131123222222=+++=++=---+=αββαβαβαα.技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法： （1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即23-=m ，又122-=-=n m αβ，故4132=n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=2222B A ，，则有()822=++-+=+βααββαB A ，()()03--=++=βαβαB A .两式相加，得82=A ，所以422=-+βαα.技巧4：常值代换.常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式，一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.易得312+=α，所以原式()43332222=++=+-+=ααβαααα.技巧5：拆项转化.拆项转化就是围绕“将未知式转化为已知式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多重拆法，下面给出两种拆法：（1）()413222=+-=--+=-+βαβαααβαα.（2）()()()()432313231322222=-⨯++-=-++-=-++=-+βαββααββααβαα.技巧6：减元转化.消元作为一种数学思想，不仅能够用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或已知式，下面给出几种转化方法：（1）由题意，得()βββα--=-=+33，.所以原式()4333222=++=---+=ααααα.（2）由题意，得αβαβ11=-=，.所以原式()431131222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=ααααααα.（因为0132=-+αα，所以31-=-αα）总之，求两根非对称式值的四路是灵活多样的，这诸多的思路都体现了“利用条件把非对称式转化为对称式或已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值的问题时，就会有新的发现。
【解答】跟踪训练已知βα，是方程0872=+-x x 的两个根，且βα>，试求232βα+的值.【提示】对于根与系数的关系，我们习惯使用的是关于两根的对称式，，这个题目并没有出现对称式，因此我们加上一个和题目要求的结论相对的一个式子，通过两式的加减来组成我们所要的对称式.【解答】例5 当m 为何值时，一元二次方程0152=-+-m x x 的两根大于2？【提示】思路1：方程有两根都大于2的条件是0≥∆，()()()()022*******>-->-+-x x x x ，，由此得到关于m 的不等式组，解得5421-<≤-m ；对于一元二次方程根的分布问题，一般由韦达定理和根的判别式得到一个不等式组，然后解不等式组即可.思路2：原方程两根都大于2，相对于抛物线m x x y -+-=152与x 轴有交点，且交点都在点（2,0）的右侧（如图3-1），所以()⎪⎩⎪⎨⎧>-+⨯->=-=≥--=∆,02252,2252014252m a b x m 对称轴 ∴5421-<≤-m .本题既可以从代数的角度求解，也可以利用二次函数的图像分析，两种思路所得到的不等式组本质上是一样的，不过利用图象去分析更想象直观，便于理解.【解答】跟踪训练是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程()()023122=+-++k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k 的取值范围；若没有，简述理由.【提示】设()()()23122+-++=k x k x x f ，则其图象为开口向上的抛物线.根据题意，若方程有两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x 轴应有两个交点或一个交点，且交点都在2与4之间（如图3-2）.符合条件的k 值应满足下列条件：()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--=-<>+--+=>+---=≥++-=∆.421222,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，解这个不等式组即可. 【解答】例6 已知a ，b ，c 是△ABC 三边的长，b ＞a =c ，则方程022=+-c bx ax 的两根的差的绝对值等于2，求△ABC 中最大角的函数.【提示】利用一元二次方程根与系数的关系及两根差的绝对值为2的已知条件可探索出a ，b 之间的关系，再利用等腰三角形的性质和锐角三角函数求出顶角的大小，从而解决问题.【解答】跟踪训练1.已知关于x 的方程()()0012≥=+++-n m x n m x 的两个实数根为βα，.且βα≤（1）试用含有βα，的代数式表示m 和n . （2）求证：βα≤≤1；（3）若点P （α，β）在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分别为A （1,2），B （），C （1,1），问是否存在点P ，使45=+n m ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【提示】（1）由根与系数关系直接得到结论； （2）将()()βα--11变形为()αββα++-1； （3）要使45=+n m 成立，只需491=++=+n m βα，然后分三种情况讨论； ①当点P （α，β）在BC 边上运动时，②当点P （α，β）在AC 边上运动时， ③当点P （α，β）在AB 边上运动时. 【解答】2.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点（-1,1），（0,0），（，）……都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.（1）若点P （2，m ）是反比例函数()0≠=n xny 的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数13-+=s kx y （k ，s 是常数）图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若二次函数12++=bx ax y （a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”()()2211,,,y x B y x A 且满足2,22211=-<<-x x x ，令4815722+-=b b t ，试求t 的取值范围. 【提示】（1）由“梦之点”的定义，求出P 点坐标，代入反比例函数即可； （2）可假设存在“梦之点”，设出它的坐标并代入函数式，在求该坐标的过程中，通过对常数k ，s 的取值进行分类讨论，从而确定“梦之点”存在性；（3）利用“梦之点”两坐标相等的特点，把问题转化为一元二次方程的问题，利用一元二次方程根与系数的关系，求出a ，b 关系式；再利用21,x x 取值情况求出a ，b 取值范围；最后利用二次函数的增减性求t 的取值范围. 【解答】例7 （全国初中数学联赛初赛）已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围.【提示】用含t 的式子表示出ab 和a +b ，构成一元二次方程求解. 【解答】跟踪训练（全国初中数学联赛决赛）已知实数a ，b 满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211b a +的值.【提示】由已知条件可得()()8,40222=++=++b a ab b a b a .设y ab x b a ==+,，则有8,4022=+=+y x y x ，联立解得6,2==y x 或2,6==y x .构造以a ，b 为实数根的一元二次方程求解.【解答】培优训练直击中考 1.☆已知函数xy 1=的图象在第一象限的一支曲线上有点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两根21,x x 判断正确的是（）A.0,12121>⋅>+x x x xB.0,02121>⋅<+x x x xC.0,12121>⋅<+x x x xD.2121x x x x ⋅+与 的符号都不确定2.★方程012222=+-++k k kx x 的两个实数根1x ，2x 满足42221=+x x ，则k 的值为 3.★★已知关于x 的一元二次方程011222=-+++m x m x ）（. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足2122116x x x x -=-）（，求实数m 的值.挑战竞赛1.★太如图3－3，已知直线y ＝－x ＋2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线xky =交于E ，F 两点.若AB ＝2EF ，则k 的值是（ ）xy 图3-3ABEFOA .－1B .1C .21 D .43 2.★★（全国初中数学联赛）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，求）（）（1122-⋅-b a 的最小值.3.★太★（数学周报杯竞赛题）已知a ，b 为正整数，关于x 的方程022=+-b ax x 的两个实数根为1x ，2x ，关于y 的方程022=++b ay y 的两个实数根为1y ，2y ，且满足20082211=⋅-⋅y x y x .求b 的最小值.。