【中考冲刺】初三数学培优专题 04 根与系数关系(含答案)(难)
九年级数学培优-专题4-根与系数关系
（3）已知 x, y 均为实数，且满足 xy x y 17 ， x y xy 66 ，求 x x y x y xy y 的值.
【例 6】 a, b, c 为实数，ac 0 ， 且 2a 3b 5c 0 而小于 1 的根. 1
专题 4 根与系数关系
例题与求解
【例 1】设关于 x 的二次方程 (m2 4) x 2 (2m 1) x 1 0 (其中 m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ， 则 s 的取值范围是_________. 【例 2】 如果方程 ( x 1)( x 2 2 x m) 0 的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数 m 的取值 范围是_________. A. 0 m 1 B. m
2 2
st 4s 1 的值. t
【例 5】 （1）若实数 a, b 满足 a 2 5 8a ， b b 1
（2）关于 x, y, z 的方程组
3x 2 y z a 有实数解 ( x, y, z ) ，求正实数 a 的最小值； xy 2 yz 3zx 6
2 2
4.已知 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根， 则 ( x1 2 x2 )( x2 2 x1 ) 的最大值____.
1 1 (a2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2)
1 ___. (a2007 2)(b2007 2)
5.设 x1 , x2 是方程 x 2 2(k 1) x (k 2 2) 0 的两个实根，且 ( x1 1)( x2 1) 8 ，则 k 的值为（ A. 3 或 1 B. 3 C. 1 D. k
【常考压轴题】根与系数的四种考法—2023-2024学年九年级数学上册(人教版)(解析版)
根与系数的四种考法【知识点精讲】根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程a x 2+b x+c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．类型一、整体代换求值【答案】/【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌【答案】【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式进行计算即可．【详解】解：根据题意得，，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两4-0.25-122x x +=128x x =-122x x +=128x x =-121214x x x x +=-14-2x x 12b x x +=-12cx x =41232x x +=121x x =-1232x x +=121x x =-()2221212122x x x x x x +=+-()23212æö=-´-ç÷èø1741741x 2x ()200ax bx c a ++=¹z根，则有，．例3．已知是方程的两个实数根，则的值是 ．【答案】【分析】利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入计算即可．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，∴把代入方程得：， 可得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．【分析】首先得到代数式 x1x2=1， x12−2021x1=-1，然后整体代入求值． 【详解】解：∵ x2−2021x+1=0 的两根分别为 x1，x2，∴有 x1x2=1， x12−2021x1=-1，∴原式=，故答案为-1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解决问题的关键．【变式训练1】已知关于x 的方程有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m 的值． 【答案】(1) (2)【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围； （2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关12b x x a +=-12cx x a =a b ，230x x +-=23a b --1a b +x a =23a b --a b ，230x x +-=1a b +=-x a =230x x +-=230a a +-=23a a =-()23331a b a b a b --=---=-+=122121112202120211x x x x x x -=-=-220x x m ++=1x 2x 21212(1)2()0x x x x -++=1m <1m =-0D >m 1x 2x 2221212()7x x x x ++=2230m m +-=于的方程求得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．，即；（2）解：由根与系数的关系可知：，，，，解得或， 而， 的值为．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为 ． 【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，原式=． 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．类型二、降幂思想求值例．若，是方程的两根，则 ．【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得，，则，，代入代数式即可求解．m !x 220x x m ++=\2242410b ac m D =-=-´´>1m <122x x +=-12x x m ×=!21212(1)2()0x x x x -++=2(1)40m \--=12\-=±m 3m =1m =-1m <m \1-0D >Û1x 2x 20x px q ++=12x x p +=-12x x q =a b 230x x --=222a b a ab +++822133030a b ab b b a a +==---=--=，，，22133030a b ab b b a a +==---=--=，，，23b b =+23a a =+3263a b a =++++-2()6a b =++216=´+88a b 2340x x +-=3103a a b -+=21-2340a a +-=3a b +=-32340a a a +-=234+=a a【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴，， 即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是 .【答案】-42【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1，再化简求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵方程x2=-x+1的两个根是x1，x2， ∴x12=1-x1， x22=1-x2，x1+x2=-1， ∴x15=(x12)2・x1=(1-x1) 2・x1=(1-2x1+ x12)・x1=(1-2x1+1-x1)・x1=(2-3x1)・x1=2x1-3x12=2x1-3(1-x1)=5x1-3， x23= x22・x2=(1-x2)・ x2=x2- x22=x2-(1-x2)=2x2-1， ∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20(-1)-22=-42．故答案为：-42．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则【答案】【分析】，是方程的两个实数根，可得再把降次化为，从而可得答案.【详解】解： ，是方程的两个实数根，a b 2340x x +-=2340a a +-=3a b +=-32340a a a +-=234+=a a 3243a a a =-3103a a b -+243103a a a b =--+23933a a a b =--++()()2333a a a b =-+++343321=-´-´=-21-21x x =-+12,x x 5312410x x +´12b x x a +=-12cx x a =a b 2310x x +-=32310a b -=109-a b 2310x x +-=22+3,1,=3+1,31,a b ab a a b b =-=--=-+32310a b -()3019a b +-!a b 2310x x +-=22+3,1,=3+1,31,a b ab a a b b \=-=--=-+()()323103311031a b a a b \-=-+--+故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.【变式训练3】设a 、b 是方程的两实数根，则 ．【答案】2022【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．【详解】解：是的两实数根，，，，，，则，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．类型三、构造方程化简求值【答案】或【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b 时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．2933010a a b =-++-()93133010a a b =--+++-3093010a b =-+-()()301930319109.a b =+-=喘-=-109-220210x x --=320222021a b +-=220210a a --=22021a a =+22021a a -=1a b +=1b a =-,a b !220210x x --=220210a a \--=111a b -+=-=22021a a \=+22021a a -=1b a =-33202220212022(1)2021a b a a +-=+--3202220222021a a =+--2(2022)1a a =-+2021(2022)1a a =+-+21a a =-+20211=+2022=a b 2310a a --=2310b b --=a b =a b 2310x x --=3a b +=1ab =-z 【详解】解：①当时，原式． ②当时，可以把，看作是方程的两个根．由根与系数的关系，得，．∴．故本题答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“”的情况．【答案】/【分析】根据已知判断出m ，n 是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m ，n 是方程的两实数根，∴，，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m ，n 是方程的两实数根是解题的关键．【答案】【分析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解．【详解】解：，，，，，分别是方程的两个实数根，，，a b ==b a a b +112=+=a b ¹a b 2310x x --=3a b +=1ab =-b a a b +=()2292111a b ab ab +-+==--211-a b =2-0.5-220x x --=m ()n m n ¹220m m --=220n n --=220x x --=1m n +=mn 2=-111122m n m nmn ++===--12-220x x --=4-a b 240t t +-=1a b +=-4ab =-224a a b b +=+=!24a a \+=24b b +=a b ¹a \b 240t t +-=1a b \+=-4ab =-， 故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．类型四、求参数值（易错点）例．已知关于的一元二次方程有两个不相等．．．．．的实数根，且，则实数 ．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得， ∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴ 故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程的实数根，满足，则m 的取值范围是 ．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m 的不等式组，通过解该不等式组，求得m 的取值范围．【详解】解：由题意得：， 所以，\()()()22222124944a b ab b a a b a bab ab +-=---´-++===-94-x 22220x mx m m ++-+=12122x x x x ++×=m =22220x mx m m ++-+=212122,2x x m x x m m +=-=-+12122x x x x ++×=m x 22220x mx m m ++-+=()()22242480m m m m D =--+=->m>2212122,2x x m x x m m +=-=-+12122x x x x ++×=2222m m m -+-+=123,0m m ==3m =2410x x m -+-=12,x x 121235x x x x -->45m <£12124,1x x x x m +==-121233(1)4x x x x m --=´--依题意得：，解得4＜m≤5． 故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m 的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0）①当b2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m 的值为 ． 【答案】3【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而即可确定m 的值，此题得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，， ∵，∴，∴，，∵方程有两个实数根，∴，解得：， ∴， 故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m 的一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是 ．【答案】 【分析】根据题意可得出，，整体代入，即2(4)4(1)03(1)45m m ì---³í´-->î1x 2x 22210x mx m m -+--=121211x x x x +=-121211x x x x +=-1x 2x 22210x mx m m -+--=122x x m +=2121x x m m =--121211x x x x +=-22)111(m m m -=--13m =24m =-22210x mx m m -+--=2224144()()0m m m m D =----=+³1m ³-3m =121211x x x x +=-x 2410x x m -+-=1x 2x 21112432x x x x -+>m 25<£m 211410x x m -+-=121x x m =-21112432x x x x -+>可求出．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式，可求出，最后取其公共解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根是，，∴，， ∴，∴．∵，∴，解得：．∵该方程有两个实数根，∴，解得：，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．课后训练【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m 的方程，解方程后代入检验即可．【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a 和b ， ∴，∵，∴，∴，检验：均为该方程的解； ∵，m>20D ³5m £x 2410x x m -+-=1x 2x211410x x m -+-=12111c m x x m a -===-21141x x m -=-()211124313122x x x x m m m -+=-+-=-21112432x x x x -+>222m ->m>2()()2244410b ac m D =-=---³5m £25<£m 25<£m 20(0)ax bx c a ++=¹24b ac D =-0D >Δ0=Δ0<12b x x a +=-12cx x a ×=()2212a b m ab m +=+=+，D ()2212a b m ab m +=+=+，111a ba b ab ++==()22112m m +=+1202m m ==，1202m m ==，0D ³z∴不成立， ∴， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．2．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，， ∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a ＜0，b ＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a ，b 是方程的两个根，∴，， ∴a ＜0，b ＜0，∴0m =2m =1x 2x 2210x x +-=1212x x x x+-×=1-12x x +12x x ×1x2x 2210x x +-=122x x +=-121x x ×=-()1212211x x x x +-=---=-1-()200ax bx c a ++=¹12b x x a +=-12cx x a ×=6a b +=-4ab =2)2)a b abab +-+=14=-2640x x ++=6a b +=-4ab =222)))2)b a a b b aa b a b aba b abab +=--=++=+-=z ∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b 的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，即可求解．【详解】解：方程的两根分别为，，， ，，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，那么，．【答案】【分析】先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以． 故答案为：．2(6)2427144--´=´=-´=-112202310x x -+=11220231x x -=-121x x ×=211122023x x x x -×!2202310x x -+=12,x x \121x x ×=112202310x x -+=\11220231x x -=-\222111112122023202320231x x x x x x x x -=-=-=-×1-()200ax bx c a ++=¹12,x x 12cx x a ×=12b x x a +=-32123x x +=122x x =12121211x x x x x x ++=123x x +=122x x =1212121132x x x x x x ++==32z m【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．【答案】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得，，再利用完全平方公式可得，结合【详解】解：∵关于的二次方程的两个实根为和，∴，，∴，∵∴，∴， ∴，∴． 故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题的关键是牢记当一元二次方程有两个实数根时，，． 7．已知是方程的两根，则= ． 【答案】【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得可得再整体代入求值即可．【详解】解：∵是方程的两根，∴ ∴∴∴12x x ，()200ax bx c a ++=¹1212,b cx x x x a a +=-=12x x p +=-122x x ×=()()22121221248x x x x x p x -=-+-=12x x -=x 220x px ++=1x 2x 12x x p +=-122x x ×=()()22121221248x x x x x p x -=-+-=12x x -=()2128x x-=288p -=216p =4p =±4±()200ax bx c a ++=¹12b x x a +=-12cx x a ×=m n ，2210x x +-=3536m n nm +-+3-22,1,210,m n mn m m +=-=-+-=()32221225,m m m m m m =-+=--+=-+m n ，2210x x +-=22,1,210,m n mn m m +=-=-+-=23212,2,m m m m m =-=-()32221225,m m m m m m =-+=--+=-+3536m n nm +-+，故答案为：.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握“利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键．8．如果一元二次方程的两个根为，，则 ．【答案】【分析】将代入方程可得，利用一元二次方程根与系数的关系求得和的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，由一元二次方程根与系数的关系可得：，，∵，∴， 故答案为：．【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【分析】由题意易得，则有是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：∵， 2553+6m n mn =-++-()53+4m n mn =+-()()5231+4=´--´-103+4=-+3=-3-2320x x +-=1x 2x 32111223+2=x x x x x +-4-1x 21132x x +=()12x x +12x x 1x 2320x x +-=211320x x +-=21132x x +=123x x +=-122x x =-()322111221111223232x x x x x x x x x x x +-+=+-+()()()32111221122121232222=2×32=4x x x x x x x x x x x x x ----+-+=-+=+-4-()200ax bx c a ++=¹1x 2x 12bx x a +=-12c x x a =221410b b +×+=1,a b 22410x x ++=20,420b b b ¹++=∴，∵，∴是方程的两个根，∴，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．221410b b +×+=22410a a ++=1,a b 22410x x ++=14112,22a a b b +=-=-×=()22222221111122232a b a a a b b b b +æö=+=+-×=--´=ç÷èø。
初三数学中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习训练题含答案
2019 初三数学中考复习一元二次方程的根与系数的关系 专题复习训练题．若对于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0 有一个根为－ 1，则另一个根为 ()1A ．－2B ．2C ．4D ．－ 32．已知：x 1、x 2 是一元二次方程 x 2＋2ax ＋b ＝0 的两根，且 x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则 a 、b 的值分别是 ( )A ．a ＝－ 3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝1C ． ＝－ 3，b ＝－ 1 D ．a ＝－ 3，b ＝1a223. 已知 2 是对于 x 的方程 x 2－2mx ＋3m ＝0 的一个根，而且这个方程的两个根恰巧是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为 () A ．10B ．14C ．10 或 14D ．8 或 104．一元二次方程 x 2－3x －2＝0 的两根为 x 1、x 2，则以下结论正确的选项是 ( )A ．x 1＝－ 1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－ 2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝25. 已知 x 1、x 2 是对于 x 的方程 x 2＋ax －2b ＝0 的两实数根，且 x 1＋x 2＝－ 2，x 1·x 2＝1，则 b a 的值为 ()11A. 4 B ．－ 4C ．4D ．－ 1．假如对于x 的方程2－7x ＋m ＝0 的两个实根互为倒数，那么 m 的值为 ()62x11A. 2B ．－ 2C ．2D ．－ 27. 设 x 1、x 2 是方程 x 2＋5x －3＝0 的两个根，则 x 21＋x 22的值是 ()A ．19B ．25C ．31D ．30．已知m 、n是对于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0 的两个解，若 (m－1)(n－81)＝－ 6，则 a 的值为 ()A．－10B． 4C．－ 4D．109. 方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且知足x1＋x2＝x1x2，则 m 是()A．－2 或 3B．3C．－2D．－3 或 210.已知对于 x 的方程 x2＋mx－6＝ 0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是，m＝.11.方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，则(x1－1)(x2－1)＝.12.已知方程 x2－3x＋m＝0 的一个根为 1，则它的另一个根为，m＝.13.已知对于 x 的一元二次方程 x2－x－3＝0 的两个实数根分别为α、β，则 ( α＋3)( β＋3)＝.14．已知对于 x 的方程 x2－6x＋k＝0 的两根分别是 x1、x2，且知足 1 ＋1＝3，x1x2则 k 的值是.15．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC 的两条直角边长，且S△ABC ＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程.16.设 x1、x2是方程 2x2＋4x－3＝0 的两根，利用根与系数关系求以下各式的值．(1)(x1＋1)(x2＋1)；(2)x21x2＋x1x2217.已知对于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有实数根，务实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且知足 x12＋x22＝31＋|x1x2|，务实数 m 的值．18. 已知 x1、x2是方程 x2－4x＋2＝0 的两根，求：11(1)x 1＋x 2的值；(2)x 21＋x 22的值．19. 对于 x 的一元二次方程 x 2＋3x ＋m －1＝0 的两个实数根分别为 x 1、x 2.(1)求 m 的取值范围；(2)若 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求 m 的值．20. 已知：对于 x 的方程 x 2＋2x －k ＝0 有两个不相等的实数根．(1)求 k 的取值范围；(2)若 α、β是这个方程的两个实数根，求：α ＋ β的值； 1＋α 1＋β(3)依据 (2)的结果你能得出什么结论？参照答案：1---9ADBCACCCC10. －3 111. －2 12. 2 213. 9 14. 215. 不独一，如 x 2－5x ＋6＝0516. (1) 解：原式＝ x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－ 2；(2) 解：原式＝ x 1x 2(x 1＋x 2)＝317. 解： (1)∵对于 x 的一元二次方程 x 2－(2m ＋3)x ＋m 2＋2＝0 有实数根，∴ Δ≥0，即 (2m ＋3)2－4(m2＋2)≥0，∴ m ≥－121；(2)依据题意得 x 1＋x 2＝2m ＋3，x 1x 2＝m 2＋2，∵ x 21＋x 22＝31＋|x 1x 2|，∴ (x 1＋x 2)2－ 2x 1x 2＝31＋|x 1x 2|，即(2m ＋3)2－2(m 2＋2)＝31＋m 2＋2，解得 m ＝－ 14 或 m ＝2.x 1＋x 218. 解： (1)∵x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝2，∴原式＝ x 1x 2 ＝2；(2)原式＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－4＝12.1319. 解：(1)∵方程有两个实数根，∴ Δ≥0，∴9－4×1×(m －1) ≥0，解得： m ≤ 4 ；(2) ∵x 1＋x 2＝－ 3，x 1x 2＝ m －1，∵ 2(x 1＋ x 2)＋ x 1x 2 ＋10＝0，∴ 2×(－3)＋ m － 1＋ 10＝0，∴ m ＝－ 3.20. 解： (1) ＝4＋4k ，∵方程有两个不等实根，∴ ＞0，即 4＋4k ＞0，∴ k ＞－1；(2) 由 根 与 系 数 关 系 可 知 α＋ β＝ － 2 ， αβ＝ － k ， ∴ α ＋β ＝ 1＋α1＋βα ＋β ＋β1＋αα＋β＋2αβ －2－2k1＝ ＝＝2；1＋α 1＋β1－1＋α＋β＋αβ 2－k(3)由(1)可知， k ＞－ 1 时， α ＋β的值与 k 没关．1＋α 1＋β。
中考数学专题 根与系数的关系_答案
专题 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
初三上学期一元二次方程韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案word版本
韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ） （A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)
根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。
分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。
一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0，配方得：(x+m)2=m2―m+2，即x=―m±当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=―4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2< x2<4，那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A．12<x3<1B．―4<x3<―2C．―12<x3<―14D．―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，再设方程cx2―bx+a=0的为m，n，根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1)，mn=x1⋅x2，从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，然后由1<x1<2<x2<4，求出―1x1，―1x2的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，∴x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，设方程cx2―bx+a=0的两根为m，n，则m+n=bc ，mn=ac，∵m+n=bc =―ba⋅(―ac)，mn=1x1⋅x2，∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1)，∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，∵1<x1<2，2<x2<4，∴12<1x1<1，14<1x2<12，∴―1<―1x1<―12，―12<―1x2<―14，∵―1x1<―1x2，∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．―34C．―1D．―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，进而推出x13=3px1+2x1―2px12，则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=―2p，x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，x1x2=―3p―2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1―2px12，∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，∵x12＋x13=4―(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4，∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4，∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4，∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4，∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4，∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0，∴―2p4p2+6p+4+p―1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=―1，p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=―1不符合题意，∴p1+p3=―34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2，x2=n―2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1―a，>0，所以①正确；∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2―a+1，∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，即(x―1)2+a2―a=0，∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m―2，x2=n―2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解，c、d是方程x2―8ax―9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0，代入可得a2―72a+9c―8ac=0，同理可得c2―72c+9a―8ac=0，两式相减即可得a+c 的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x2―8cx―9d=0的根，所以a2―8ac―9d=0，又d=8a―c，所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2―a，bc=4，a=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0，即(a2+4)(a―4)≥0，∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4．又当a=4，b=c=―1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2，∵a≥4，故2a―2≥6，当a=4，b=c=―1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a―2，即可求出b―2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2，x1x2=a―2，进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1，设a+1a―4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2―2=0，∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a―2，∴b―2c=2a―2(a―2)=4；∵x1+x2=―2，x1x2=a―2，a=―2a++1，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2―4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2―44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn，∴m、n为t2―44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=―ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5；（2）∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根，∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5，又∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2―n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2―1，∴3×m24=m2―1，解得：m1=―2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=―2时，x2=―1，则x1=3x2=―3<x2，与x1>x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=―m2―m∵αβ=―2，∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2；（2）解：设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m，∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m 的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m 的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，因为1α+1β=―1，所以2m+3m 2=1，解得m 1=3，m 2=―1，结合m >―34，即可作答；（3）因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6，则(α―2)(β―2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0，即m >―34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1，且α+β=―b a =―(2m +3)，αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0，解得：m 1=3，m 2=―1∵由（1）知m >―34，∴m =3检验：当m =3时，m 2≠0，即m =3；（3）证明：因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式，得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6，∵(m+2)2≥0，∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2，∴α―2>0，∴β―2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．【思路点拨】（1α+β=―4,αβ=1，再求得(α―β)2的值，进而求得|α―β|的值．++α+β=―4,αβ=1代（2入计算即可；（3+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16，=4（负值舍去）；（3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=―2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数，则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，∵m―1m =1―1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1―10+1=―8<0，不符合题意；当m=―1时，Δ=1+10+1=12>0，m―1m =―1―1―1=2，为整数，符合题意；∴m的值为―1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=―2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为：x=若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2―10m+1为完全平方数，设m2―10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n―k)=24，∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11（不合题意，舍去）或k=232n=25（不合题意，舍去）∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25；当m 2―10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m 2―10m +1=25时，解得m =―2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或―2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x 1,x 2，根据两个整数实根，则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m 2+a 2m ―12a =0，m 2+b 2m ―12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m 2+m ―2≠0，∴m ≠―2或m =1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1，解得：m =m 2+m ―2=2，解得：m =m 2+m ―2=3，解得：m =m 2+m ―2=4，解得：m =―3或m =2m 2+m ―2=6，解得：m =m2+m―2=12，解得：m=当m=―3时，7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2―6a+2=0，b2―6b+2=0，当a=b时，a=b=3当a≠b时，a、b是方程x2―6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上，△ABC的面积为1或15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3，mn =ca =―1，再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，即得出s +t =―b a =3，s ⋅t =ca =―1，从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13，即t ―s =t ―s =―【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――31=3，x 1⋅x 2=c a =―11=―1．故答案为：3，―1；（2）∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =3，mn =ca =―1，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11；（3）∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0，t 2―3t ―1=0，∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，∴s +t =―ba =3，st =ca =―1，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知，1s ―1t 的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x ―2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x ―3)(x ―1)，x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx ―5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1，x 2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x ―2)=0，∴3x +1=0或x ―2=0，∴x =―13或x =2，则此多项式的零点为―13或2；故答案为：―13或2；（2）解：∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，得a ―(a ―1)―a2=0，解得a =2，∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1)，令2x+1=0，解得x=―12，∴多项式B的另一个零点为―12；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，令cx―5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=―1，即2ax+b=0时，x=―1，则―2a+b=0①，令M=bx2―4cx―2a―4=0，根据题意，方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1，x2=5，∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4，x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5，∴c=b②，5b―2a―4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2+2．由(x1+1)(x2+1)=8，可得x1x2+(x1+x2)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，再由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0．最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1)，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k2+2k―3=0，解得：k1=―3，k2=1．当k=―3时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=―3不符合题意；当k=1时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2―x―1=0，∴a=1，b=―1，c=―1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3；②猜想：s n=s n―1+s n―2．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，∵s=α+β，s=α+β，s=α+β，∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”，根与系数关系“x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=―1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，将x12+x22转化即可求解；（2）根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上，得出A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，根据AB=（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4，令m2―12m+4=k2(k为正整数)，得出(m+k―6)(m―k―6)=32，又m+k―6>m―k―6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=―1时，方程为x2―x―4=0，Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0，∴x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9；（2）将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，又Δ=(m+2)2―4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2，即10(x1―x2)2=10，(x1―x2)2=1，(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1，(m+2)2―4×4m=1，(m―6)2=33，m1=6+2=6―（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数，不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数)，(m―6)2―32=k2，(m+k―6)(m―k―6)=32，m+k―6>m―k―6，当①∴m+k―6=32,m―k―6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k―6=16,m―k―6=2，解得m=15，∴方程x2―17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k―6=8,m―k―6=4，解得m=12，∴方程x2―14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出ab +ba 的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =―c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，再根据c 2―4×16c≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1x 2=k +1，再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，∴a +b =―15，ab =5，∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43，∴ab +b a =43；（2）∵a +b +c =0，abc =16，∴a +b =―c ，ab =16c ，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2―4×16c≥0，∴c 2―43c≥0，∵c 是正数，∴c 3―43≥0，∴c 3≥43，∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =―2时，y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2．理由如下：∵x2―y+k=0①x―y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x―1，∴x2+k=x―1，即x2―x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<―34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=(x1―1)(x2―1)，∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=―2，k2=0（舍去），∴k的值为―2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x 1=―7，x 2=―2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32，代入x 1+x 2+x 1x 2=―1，即可求出k 1=2，k 2=―1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x 1=―1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=―1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m <0且m ≠―1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x 2+9x +14=0，(x +2)(x +7)=0，∴x +2=0或x +7=0，∴x 1=―7，x 2=―2．∵―7<―2，3<―7―2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32．∵x 1+x 2+x 1x 2=―1，∴―k+72+k 2+32=―1，解得：k 1=2，k 2=―1．分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=―72，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =―1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=―2，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=―1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1―m)x―m=0，(x+1)(x―m)=0，∴x+1=0或x―m=0，∴x1=―1，x2=m或x1=m，x2=―1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠―1，∴(1―m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠―1．分类讨论：①当―1<m<0时，∴x1=―1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<―1m<4，解得：―13<m<―14；②当m<―1时，∴x1=m，x2=―1，∵3<x1x2<4，∴3<m―1<4，解得：―4<m<―3．综上所述，m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3．。
中考数学根与系数关系培优练习含答案
中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
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根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ） A ．31-或 B ．3- C ．1 D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11. 设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a 故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0+=，得0b ca a =，即)12120x x x ++=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x ；假设21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =++=+=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。