运用平方差公式分解因式优质课教学设计完美版
用平方差公式因式分解公开课教案
用平方差公式因式分解公开课教案一、教学目标：1. 让学生掌握平方差公式的概念和应用。
2. 培养学生运用平方差公式进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 平方差公式的定义和特点。
2. 平方差公式的记忆方法。
3. 运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤。
三、教学重点：1. 平方差公式的记忆和应用。
2. 运用平方差公式进行因式分解的方法和技巧。
四、教学难点：1. 平方差公式的灵活运用。
2. 因式分解中的特殊情况的处理。
五、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养学生的思维能力和创新能力。
一、平方差公式的定义和特点1. 引入平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)2. 解释平方差公式的概念和特点3. 让学生熟记平方差公式二、平方差公式的记忆方法1. 平方差公式记忆口诀：平方差，加减号，乘积不变性质牢2. 讲解记忆方法，引导学生自主记忆3. 进行记忆测试，检查学生掌握情况三、运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤1. 讲解因式分解的方法和步骤2. 示例题：因式分解ax^2 + bx + c3. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识四、平方差公式的灵活运用1. 讲解平方差公式的灵活运用方法2. 示例题：解决实际问题中的应用3. 让学生尝试解决实际问题，提高应用能力五、因式分解中的特殊情况1. 讲解特殊情况：完全平方公式和平方差公式的结合2. 示例题：因式分解中含有完全平方项的题目3. 让学生练习特殊情况下的因式分解，巩固知识点六、练习题讲解和分析1. 讲解练习题，分析解题思路和方法2. 引导学生总结解题规律，提高解题能力3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养思维能力七、课堂小结1. 总结本节课所学知识：平方差公式、因式分解的方法和步骤2. 强调平方差公式的记忆和应用重要性3. 布置课后作业，巩固所学知识八、课后作业布置1. 布置练习题：因式分解和应用平方差公式2. 提醒学生按时完成作业，加强练习3. 鼓励学生自主学习，提高解题能力九、作业讲解和反馈1. 讲解作业题目，分析学生解题情况2. 针对学生错误进行讲解和指导3. 给予学生鼓励和反馈，提高学习积极性十、课程总结和反思1. 总结本节课的教学目标和内容2. 反思教学过程中的优点和不足3. 提出改进措施，为下一节课做好准备六、教学活动设计：1. 导入新课：通过复习完全平方公式，引导学生发现平方差公式的规律。
《利用平方差公式进行因式分解》教案 (公开课)2022年湘教版数学
第1课时 利用平方差公式进行因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式以下多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．应选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】 利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4. 解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )； (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】 利用因式分解整体代换求值x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值．解析：第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】 利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的根本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，那么可以使运算简便．【类型三】 因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影局部的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影局部的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．那么S 阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm 2)．答：所有阴影局部的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提〞得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
《运用平方差公式分解因式》课时教学设计
巩固提升
分解因式:
(1)x5－x3
(2)2x4-32y4
挑战自我:
把下列多项式因式分解：
１、a3x2– a3y2
2、– a4+ 16
3、a4x2- a4y2
4、(a+b)2– (a-b)2
小结：
1.能用平方差公式分解因式的多项式特点。
2.若多项式中有公因式，应先考虑提取公因式，
5分钟
10分钟
5分钟
1:什么叫多项式的因式分解?
判断下列变形过程，哪些是因式分解？
(1) (x+2)(x-2)=x2- 4
(2)x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3)7m-7n-7=7(m-n-1)
(4)4x2- 9=(2x+3)(2x- 3 )
你们能快速计算：
752－252＝？吗？
752- 252=(75+25)(75-25）
教学重点：掌握平方差公式的特点及能熟练地运用平方差公式进行因式分解;
教学难点：把多项式进行必要的变形，灵活运用平方差公式进行因式分解。
教学过程
教学环节
问题与任务
时间
教师活动
学生活动
一、复习回顾
二、创设问题情,引入新课
三、探究新知，得出平方差公式
四、应用举例，巩固新知
五、反思归纳小结拓展
六、当堂检测
六、布置作业课外延伸
从问题入手，在产生疑惑的过程引导学生逆向思维，引入新课。
在学生对平方差公式的特征进行分析的活动中，深化学生对法则的认识和理解
通过题组的设置训练学生利用平方差公式因式分解的条件
通过举例，让学生进一步认识公式中的a和b
用平方差公式分解因式》教学设计
用平方差公式分解因式》教学设计用平方差公式分解因式》教学设计一、设计思想本节课旨在引导学生有效预，通过预设问题引发学生思考，回答相关问题，对比整式的乘法、提公因式法和公式法。
学生自主探究，并利用数形结合的思想验证平方差公式。
通过质疑的方式加深对平方差公式结构特征的认识，让学生在应用平方差公式分解因式时注意到其前提条件。
通过例题练巩固教材，让学生更加熟练、准确，培养学生综合应用能力。
二、教材分析本节课是整式乘法的平方差公式的逆向应用，是解高次方程的基础，在教材中具有重要地位。
以学生自主探索为主，充分认识分解因式。
明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，培养学生合情推理能力，同时也培养了学生爱思考、善交流的良好研究惯。
三、学情分析本课程所教授的学生程度相对较好，已经研究了乘法公式中的平方差公式，为本节课的教学奠定了良好基础。
同时，学生已经建立较好的预惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
但是，对一些相对落后的学生来说，应注重突出重点，分析透彻。
在教学时充分考虑到学生已经掌握平方差公式的前提，通过问题引发学生思考，提高学生兴趣，培养学生自主探索、合作交流的能力，在轻松的氛围中完成教学任务，从而增强学好数学的愿望与信心。
四、教学目标一）知识与技能1.掌握运用平方差公式分解因式的方法。
2.掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合应用。
二）过程与方法1.经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。
2.通过乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。
3.通过活动4，将高次偶数指数向下次指数的转化，培养学生的化归思想。
4.通过活动1，学生可以掌握一种新的因式分解方法：利用整式乘法的平方差公式，得到a2-b2=(a+b)(a-b)。
5.通过活动4，学生可以自主发现问题、提出问题，并与他人合作解决问题，体验到合作的重要性。
因式分解-平方差公式(教学设计)
14.3.2运用平方差公式分解因式教学设计【教学目标】1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式；3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式；4.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.【教学重点】灵活运用平方差公式进行各种因式分解【教学难点】高次指数的转化、两种因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的灵活运用。
【教材分析】本节课位于人教版八年级上册第14.3.2提公因式法后，起承上启下作用。
使学生知道当多项式的各项含有共因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解。
【学情分析】本班学生基础知识一般，学生之间个体差异很大，个别学生学习态度不端正，意志力不强，大部分学生好动。
【教学方法】合作探究法及引导发现法【媒体选择】多媒体课件【教学过程】活动一、复习:运用平方差公式计算1）（a+2)(a-2)； 2）(x+2y) (x-2y) ；3) (t+4s)(-4s+t)； 4) (m²+2n²)(2n²- m²) .设计意图：进一步明确平方差公式，复习旧知识，为新知识的学习做准备．活动二、新课引出教师出示3x3-12x让学生分解因式，让学生在解题过程中发现问题，进而引入新课。
小组讨论：1、什么叫因式分解？你能将多项式x2 –25，9 x2- y2改写成多项式乘多项式吗？它们有什么共同特征？2、尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同组交流。
活动三、新知的分析、概括、总结观察发现：a2-b2=(a+b)(a-b) x2 –25=(x+5)(x-5) 9 x2- y2=(3x+y)(3x-y)1、能用平方差公式分解因式的多项式有几项？各项指数都是几？各项符号相同还是相反？2、分解的结果是什么形式？描述一下。
设计意图：通过设置问题，说明平方差公式可以用来分解因式。
用平方差公式分解因式教学设计【精品】
此时，教师给出例题
例题：分解因式：
教师引导：由学生尝试平方差公式进行因式分解，然后由学生对前一位同学的答案进行点评，指出做错的地方或做得好的地方。
总结因式分解的步骤：一提（提公因式）；二套（套平方差公式）；三查（检查是否分解彻底）。
第二环节 新知学习:
（4）分解因式到每一个多项式因式都不能再分解为止。
第四环节知识整理，归纳小结:
反思一下，说说你的学习心得，学习技巧。
学生思考并讨论归纳本节课的内容。
作业：课本119页—第2题
临近下课，通过让学生练习，在练习中归纳，点燃学生主题意识的再度爆发。同时，学生的知识学习得到了自我评价和巩固。
七、板书设计
14.3.2因式分解——平方差公式
五、教学重点及难点
本节课理解用平方差公式因式分解本节因式分解的关键，而学生由整式乘法到因式分解的变形是ห้องสมุดไป่ตู้个逆向思维。因此本课的学习重点、难点为：
重点：利用平方差公式分解因式
难点：灵活运用提公因式法和平方差公式法分解因式
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
在前两节课已经学习了因式分解的概念，还学习了提公因式法分解因式。给学生一定的时间，由学生给出答案，并复习提公因式法进行因式分解。
引导：（1）多项式的因式分解与整式乘法是互为相反的变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式——平方差公式。
（2）运用平方差因式分解时，多项式只有两项，而且是每项都是平方的形式，两项的符号相反。
（3）当多项式有公因式时，应先提公因式，并且要提得彻底，若还能分解，再考虑是否可以运用平方差公式分解。
情感、态度与价值观
初中二年级下学期数学《用平方差公式分解因式》教学设计
4.3用平方差公式分解因式一、学习目标1．使学生掌握用平方差公式分解因式，体会转化思想．2．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.3．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力，训练学生对平方差公式的运用能力.4.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维和推理能力.二、学习重点与难点重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、学习过程（一）分享学习目标，达成互启共识1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）复习，引入微视频复习线段的比较方法.（二）创设旧知情境，导入新课课题出示问题和图片：如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2－b2=（a+b）（a－b）（三）观察特征，探索新知想一想：多项式a2－b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.乘法公式：（a+b）（a－b）=a2－b2左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=（a+b）（a－b）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.归纳：用平方差公式进行因式分解：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2；（2）x2-y2；（3）-x2-y2；（4）-x2+y2；（5）x2-25y2；（6）m2-1（四）典例精析，巩固新知例1 分解因式：（1）4x2－9；（2）（x+p）2－（x+q）2;解：（1）4x2－9=（2x）2－32=（2x+3）（2x-3）;（2）（x+p）2－（x+q）2=[(x+p)+（x+q）][(x+p)-（x+q）]=（2x+p+q）（p-q）方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.针对训练1:分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.注意：若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.例2 把下列各式分解因式:（1）x4－y4; （2）a3 b－ab.解：（1）x4－y4=（x2+y2）（x2－y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）.(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．针对训练2:分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.例3 计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.解：（1）原式=（101+99）（101-99）=400(2)原式＝4(53.52-46.52）＝4（53.5+46.5）（53.5-46.5）＝4×100×7＝2800方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．(五）课堂收获，感悟新知你还有疑问吗？____________________________________从本节课主要知识、易错点、数学思想方法三方面进行复盘总结。
（完整版）利用平方差公式进行因式分解教学设计
（完整版）利用平方差公式进行因式分解教学设计利用平方差公式进行因式分解教学目标：知识与技能：1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.2.会用平方差公式进行因式分解.3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.情感态度与价值观：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.教学重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.教学难点：用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.教学过程一、新课导入导入一:【问题】填空.(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)=.它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2=.[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.导入二:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.[设计意图]复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.二、新知构建1、用平方差公式分解因式请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.(1)左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:a2-b2=(a+b)(a-b).(2)左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.2、例题讲解[过渡语]同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩固所学的知识.(教材例1)把下列各式因式分解:(1)25-16x2;(2)9a2-b2.解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.(教材例2)把下列各式因式分解:(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x.解:(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)]2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.[设计意图]教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.三、课堂小结平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.四、检测反馈1.下列因式分解正确的是()A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.x2+y2=(x+y)2D.x2-y2=(x-y)2解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.2.分解因式:a3-4a=.解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).3.(2015·恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.解:(3a-2b)2-(2a+3b)2=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)=(5a+b)(a-5b).五、布置作业【必做题】教材第100页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第100页习题4.4的1,2题.六、板书设计公式法（利用平方差公式进行因式分解）一、用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b)二、例题讲解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为 设计意图 =(2x+p+q)(p －q) 9(a+b)2－4(a －b)2 =[3(a+b)]2－[2(a －b)]2
=[3(a+b)+2(a －b)] [3(a+b)－2(a －b)] =(5a+b)(a+5b) 三、课堂训练
1.下列分解因式是否正确： （1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y) （2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b) （3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b)
2.把下列各式分解因式： （1）
36－x 2
（2） －9
1
b 2 +a 2 （3） x 4－16y 4
（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7）25(a+b)2－4(a －b)2 3.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。
4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=2
1
，求x －y 的值。
四、小结归纳
1.明确分解因式的顺序是：
先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止．
2.运用平方差公式分解因式的步骤：
①先写成平方的形式；②再写成和与差的积．
五、作业设计 1计算：
① 22218b a
教学程序及教学内容
二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。
学生认真思考，教师加以点拨。
学生在做练习题时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运算理由。
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。
在此基础上加深知识的应用. 学生做题，教师纠正讲解。
学生总结，教师强调。
师生行为
设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a 、b 不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想。
加强学生对要分解的多项式结构特征的认识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用平方差公式法进行分解因式．
让学生正确运用平方差公式法进行分解因式，对所学知识心中有数。
设计意图
板书设计。